高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù)任意角的三角函數(shù) 校賽得獎(jiǎng)

課題名稱：任意角的三角函數(shù)（1）課程模塊及章節(jié)：第四章第二節(jié)備課時(shí)間：2023-2-20學(xué)科：數(shù)學(xué)備課組：高一數(shù)學(xué)主備教師：張國(guó)彪備課組長(zhǎng)：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、保德懷、龍清華、張國(guó)彪。教師二次備課教學(xué)背景分析初中學(xué)過(guò):銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)定義推廣到任意角,任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點(diǎn).過(guò)去習(xí)慣于用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的“比值”來(lái)定義，這種定義方法能夠表現(xiàn)出從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的推廣，有利于引導(dǎo)學(xué)生從自己已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，但它對(duì)準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的本質(zhì)有一定的不利影響，“從角的集合到比值的集合”的對(duì)應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對(duì)應(yīng)關(guān)系有沖突，而且“比值”需要通過(guò)運(yùn)算才能得到，這與函數(shù)值是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)也有不同，這些都會(huì)影響學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解.通過(guò)單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數(shù)值的求法,最終得到任意角三角函數(shù)的定義.根據(jù)角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào).最后主要是借助有向線段進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三角函數(shù).講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)熟記任意角的三角函數(shù)的定義．(2)已知角α終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角α的各三角函數(shù)值．2．過(guò)程與方法(1)通過(guò)直角三角形中三角函數(shù)定義到單位圓中三角函數(shù)定義，最后到直角坐標(biāo)系中一般化的三角函數(shù)定義，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維方法和能力．(2)樹立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)．(3)通過(guò)對(duì)定義域、三角函數(shù)值的符號(hào)、誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生分析、探究、解決問(wèn)題的能力．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度(自變量)與比值(函數(shù)值)的一種聯(lián)系方式．(2)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào))，以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式．公式一是本小節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn)．難點(diǎn)：利用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫三角函數(shù)，三角函數(shù)的符號(hào)以及三角函數(shù)的幾何意義．教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法問(wèn)題學(xué)習(xí)法、自主學(xué)習(xí)與合作探究相結(jié)合。教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動(dòng)學(xué)生為主的活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。數(shù),你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎?學(xué)生開始思考。創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲。目標(biāo)引領(lǐng)把目標(biāo)板書在黑板的右上角，并引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行解讀。一起朗讀目標(biāo)。以目標(biāo)引領(lǐng)學(xué)習(xí)的全過(guò)程?；顒?dòng)導(dǎo)學(xué)使銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在終邊上任取一點(diǎn)P，PM⊥x軸于M，設(shè)P(x，y)，|OP|＝r.(1)角α的正弦、余弦、正切分別等于什么？(2)對(duì)于確定的銳角α，sinα、cosα、tanα的值是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變？(3)在問(wèn)題1中，取|OP|＝1時(shí)，sinα，cosα，tanα的值怎樣表示？1．單位圓：在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓．2．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)那么：圖1－2－1(1)y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；(2)x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x；(3)eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．對(duì)于確定的角α，上述三個(gè)值都是唯一確定的．故正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)．3．正弦函數(shù)sinα的定義域是R；余弦函數(shù)cosα的定義域是R；正切函數(shù)tanα的定義域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z)).(1)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－1,2)，cosα的值為()A．－eq\f(\r(5),5)B．－eq\r(5)\f(2\r(5),5)D．eq\f(\r(5),2)(2)已知θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(a，a)(a≠0)，求sinθ，cosθ，tanθ.【解】(1)由題意得：r＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)，cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(\r(5),5).當(dāng)a>0時(shí)，r＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，得sinθ＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，tanθ＝eq\f(a,a)＝1；當(dāng)a<0時(shí)，r＝eq\r(a2＋a2)＝－eq\r(2)a，得sinθ＝eq\f(a,－\r(2)a)＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(a,－\r(2)a)＝－eq\f(\r(2),2)，tanθ＝eq\f(a,a)＝1.即a>0時(shí)，sinθ＝eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，tanθ＝1；a<0時(shí)，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，tanθ＝1.(1)已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值；(2)已知角α的終邊在直線y＝eq\r(3)x上，求sinα，cosα，tanα的值．【解】(1)r＝eq\r(－4a2＋3a2)＝5|a|.若a＞0，則r＝5a，α是第二象限角，則sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(3a,5a)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－4a,5a)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(3a,－4a)＝－eq\f(3,4)，若a＜0，則r＝－5a，α是第四象限角，則sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).因?yàn)榻铅恋慕K邊在直線y＝eq\r(3)x上，所以可設(shè)P(a，eq\r(3)a)(a≠0)為角α終邊上任意一點(diǎn)．則r＝eq\r(a2＋\r(3)a2)＝2|a|(a≠0)．若a＞0，則α為第一象限角，r＝2a，所以sinα＝eq\f(\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，tanα＝eq\f(\r(3)a,a)＝eq\r(3).若a＜0，則α為第三象限角，r＝－2a，所以sinα＝eq\f(\r(3)a,－2a)＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(a,2a)＝－eq\f(1,2)，tanα＝eq\f(\r(3)a,a)＝eq\r(3).學(xué)生帶著問(wèn)題去閱讀課本。學(xué)生自己進(jìn)行嘗試和記憶?？偨Y(jié)規(guī)律提高學(xué)習(xí)效率。學(xué)生自己動(dòng)手嘗試，檢驗(yàn)所學(xué)。教師通過(guò)親身畫圖形，講解，引導(dǎo)回憶、類比舊知理解新知。通過(guò)例1來(lái)加深對(duì)“任意角的三角函數(shù)”的定義的認(rèn)識(shí)理解。通過(guò)變式，增強(qiáng)理解與把握。當(dāng)堂評(píng)價(jià)1．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))等于()\f(1,2)B．－eq\f(1,2)\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)【解】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).2．下列說(shuō)法：①終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等；②終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等；③若sinα>0，則α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，則cosα＝－eq\f(x,\r(x2＋y2))，其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3【解】根據(jù)誘導(dǎo)公式(一)可知①正確；因?yàn)閟in0＝sinπ＝0，故②不正確；③中因?yàn)閟ineq\f(π,2)＝1>0，但eq\f(π,2)不是第一、二象限角，故③錯(cuò)誤；④中應(yīng)為cosα＝eq\f(x,\r(x2＋y2))，所以只有①正確，應(yīng)選B.使得lg(cosαtanα)有意義的角α是第________象限角．學(xué)生合作交流。學(xué)生自己檢測(cè)自己的學(xué)習(xí)效果。通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生鞏固新知，達(dá)成目標(biāo)。板書設(shè)計(jì)任意角的三角函數(shù)（1）任意角的三角函數(shù)的定義:例學(xué)習(xí)目標(biāo)三角函數(shù)：變式練習(xí)1、……正弦、余弦、正切：2、……教學(xué)反思課題名稱：任意角的三角函數(shù)（2）課程模塊及章節(jié)：第四章第二節(jié)備課時(shí)間：2023-02-20學(xué)科：數(shù)學(xué)備課組：高一數(shù)學(xué)主備教師：張國(guó)彪備課組長(zhǎng)：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、保德懷、龍清華、張國(guó)彪。教師二次備課教學(xué)背景分析初中學(xué)過(guò):銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)定義推廣到任意角,任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點(diǎn).過(guò)去習(xí)慣于用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的“比值”來(lái)定義，這種定義方法能夠表現(xiàn)出從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的推廣，有利于引導(dǎo)學(xué)生從自己已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，但它對(duì)準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的本質(zhì)有一定的不利影響，“從角的集合到比值的集合”的對(duì)應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對(duì)應(yīng)關(guān)系有沖突，而且“比值”需要通過(guò)運(yùn)算才能得到，這與函數(shù)值是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)也有不同，這些都會(huì)影響學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解.通過(guò)單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數(shù)值的求法,最終得到任意角三角函數(shù)的定義.根據(jù)角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào).教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)熟記任意角的三角函數(shù)的定義．(2)已知角α終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角α的各三角函數(shù)值．(3)記住三角函數(shù)的定義域、值域、誘導(dǎo)公式一．2．過(guò)程與方法(1)通過(guò)直角三角形中三角函數(shù)定義到單位圓中三角函數(shù)定義，最后到直角坐標(biāo)系中一般化的三角函數(shù)定義，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維方法和能力．(2)樹立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)．(3)通過(guò)對(duì)定義域、三角函數(shù)值的符號(hào)、誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生分析、探究、解決問(wèn)題的能力．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度(自變量)與比值(函數(shù)值)的一種聯(lián)系方式．(2)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào))，以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式．公式一是本小節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn)．難點(diǎn)：利用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫三角函數(shù)，三角函數(shù)的符號(hào)以及三角函數(shù)的幾何意義．教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法問(wèn)題學(xué)習(xí)法、自主學(xué)習(xí)與合作探究相結(jié)合。教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動(dòng)學(xué)生為主的活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課【復(fù)習(xí)回顧】三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)在各象限角的符號(hào)；誘導(dǎo)公式（一）：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等；三角函數(shù)的定義域.學(xué)生開始回憶。創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲。目標(biāo)引領(lǐng)把目標(biāo)板書在黑板的右上角，并引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行解讀。一起朗讀目標(biāo)。以目標(biāo)引領(lǐng)學(xué)習(xí)的全過(guò)程?；顒?dòng)導(dǎo)學(xué)【問(wèn)題1】所有與角α終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有怎樣的大小關(guān)系？為什么？【提示】相等，因?yàn)槿呛瘮?shù)值大小只與相關(guān)角的終邊位置有關(guān)．【問(wèn)題2】在平面直角坐標(biāo)系中，任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)P作PM⊥x軸，過(guò)A(1,0)作AT⊥x軸，交終邊或其反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，如圖所示：結(jié)合三角函數(shù)的定義，你能得到sinα，cosα，tanα與MP，OM，AT的關(guān)系嗎？【提示】可以，sinα＝|MP|，cosα＝|OM|，tanα＝|AT|.求下列各式的值：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan4π.【解】(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π))＋coseq\f(12,5)π·tan4π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan0＝sineq\f(π,6)＋0＝eq\f(1,2).求下列各三角函數(shù)的值．(1)sin(－1410°)；(2)coseq\f(33,4)π；(3)tan1200°.【解】(1)eq\f(1,2).(2)eq\f(\r(2),2).(3)－eq\r(3).在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊范圍，并由此寫出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).【解】(1)作直線y＝eq\f(\r(3),2)，交單位圓于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖(1)中陰影部分)即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)))≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)).(2)作直線x＝－eq\f(1,2)，交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC與OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖(2)中的陰影部分)即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)))≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)).求函數(shù)y＝eq\r(2cosx－1)的定義域．【解】由題意得：2cosx－1≥0，則有cosx≥eq\f(1,2).如圖在x軸上取點(diǎn)M1使OM1＝eq\f(1,2)，過(guò)M1作x軸的垂線交單位圓于點(diǎn)P1，P2，連接OP1，OP2.則OP1與OP2圍成的區(qū)域(如圖中陰影部分)即為角x的終邊的范圍．∴滿足cosx≥eq\f(1,2)的角的集合即y＝eq\r(2cosx－1)的定義域?yàn)椋篹q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)))≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)).學(xué)生帶著問(wèn)題去閱讀課本。學(xué)生自己進(jìn)行嘗試和記憶?？偨Y(jié)規(guī)律提高學(xué)習(xí)效率。學(xué)生自己動(dòng)手嘗試，檢驗(yàn)所學(xué)。教師通過(guò)親身畫圖形，講解，引導(dǎo)回憶、類比舊知理解新知。通過(guò)例2來(lái)加深對(duì)“任意角的三角函數(shù)”的誘導(dǎo)公式一的認(rèn)識(shí)理解。通過(guò)例3來(lái)加深對(duì)“三角函數(shù)線及其應(yīng)用”的認(rèn)識(shí)理解及運(yùn)用。通過(guò)變式，增強(qiáng)理解與把握。當(dāng)堂評(píng)價(jià)1．下列函數(shù)值為eq\f(1,2)的是()A．sin390°B．cos750°C．tan30°D．cos150°2．已知α＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，則cos2α的值為()\f(\r(3),2)\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(\r(3),2)3．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－3,4)，則sinα＋cosα＝()\f(3,5)B．－eq\f(4,5)\f(1,5)D．－eq\f(1,5)4．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(5，a)，且tanα＝－eq\f(12,5)，求sinα＋cosα的值．5.已知角α的終邊在直線y＝2x上，則sinα＋2cosα的值為________．學(xué)生合作交流。學(xué)生自己檢測(cè)自己的學(xué)習(xí)效果。通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生鞏固新知，達(dá)成目標(biāo)。板書設(shè)計(jì)任意角的三角函數(shù)（2）誘導(dǎo)公式一:例學(xué)習(xí)目標(biāo)誘導(dǎo)公式一的運(yùn)用：變式練習(xí)1、……2、……教學(xué)反思課題名稱：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）課程模塊及章節(jié)：第四章第二節(jié)備課時(shí)間：2023-2-20學(xué)科：數(shù)學(xué)備課組：高一數(shù)學(xué)主備教師：張國(guó)彪備課組長(zhǎng)：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、保德懷、龍清華、張國(guó)彪。教師二次備課教學(xué)背景分析由圓的幾何性質(zhì)出發(fā),利用三角函數(shù)線,探究同一個(gè)角的不同三角函數(shù)之間的關(guān)系；學(xué)習(xí)已知一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值；利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明三角恒等式等.通過(guò)例題講解，總結(jié)方法.通過(guò)做練習(xí),鞏固所學(xué)知識(shí).通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，牢固掌握同角三角函數(shù)的三個(gè)關(guān)系式并能靈活運(yùn)用于解題，提高學(xué)生分析，解決三角問(wèn)題的能力；進(jìn)一步樹立化歸思想方法和證明三角恒等式的一般方法.教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)能根據(jù)三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及它們之間的聯(lián)系．(2)熟練掌握已知一個(gè)角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法．2．過(guò)程與方法通過(guò)由三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式過(guò)程，使學(xué)生學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)提出問(wèn)題，獲得研究思路，這是數(shù)學(xué)研究中的常用思想方法．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)對(duì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過(guò)程，學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，化歸與轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)形結(jié)合的思想分析解決問(wèn)題，培養(yǎng)探究精神和創(chuàng)新意識(shí)．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式．難點(diǎn)：三角函數(shù)值的符號(hào)的確定，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變式應(yīng)用．教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法問(wèn)題學(xué)習(xí)法、自主學(xué)習(xí)與合作探究相結(jié)合。利用三角函數(shù)線的定義,推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:及,并靈活應(yīng)用求三角函數(shù)值,化減三角函數(shù)式,證明三角恒等式等.教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動(dòng)學(xué)生為主的活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課與初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來(lái)研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化．學(xué)生開始思考。創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲。目標(biāo)引領(lǐng)把目標(biāo)板書在黑板的右上角，并引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行解讀。一起朗讀目標(biāo)。以目標(biāo)引領(lǐng)學(xué)習(xí)的全過(guò)程?；顒?dòng)導(dǎo)學(xué)【問(wèn)題導(dǎo)思】(1)sin290°＋cos290°＝12＋02＝1；(2)sin230°＋cos230°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝1；(3)eq\f(sin60°,cos60°)＝tan60°＝eq\r(3)；(4)eq\f(sin150°,cos150°)＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3).結(jié)合以上四例的結(jié)果，試猜想：sin2α＋cos2α＝？(α∈R)；eq\f(sinα,cosα)＝？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).你能用三角函數(shù)的定義驗(yàn)證嗎？1.平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2．語(yǔ)言敘述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.(1)若cosα＝－eq\f(3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則tanα＝________.(2)已知sinα＝m(|m|<1)，求tanα，cosα.【解】(1)因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，cosα＝－eq\f(3,5)，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3).當(dāng)－1<m<1，m≠0時(shí)，若α在第一、四象限，則cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－m2)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(m,\r(1－m2))＝eq\f(m\r(1－m2),1－m2)；若α在第二、三象限，則cosα＝－eq\r(1－m2)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－m\r(1－m2),1－m2).若m＝0，則α＝kπ(k∈Z)，所以tanα＝0，cosα＝±1.已知α是第三象限角且tanα＝2，求下列各式的值．cosα，sinα；(2)eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)；(3)eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(2,5)cos2α.【解】(1)由tanα＝2，知eq\f(sinα,cosα)＝2，sinα＝2cosα，則sin2α＝4cos2α.又因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，所以4cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(1,5).由α在第三象限知cosα＝－eq\f(\r(5),5).∴sinα＝2cosα＝－eq\f(2\r(5),5).(2)法一由(1)可知：原式＝eq\f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5))),5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5))))＝eq\f(\f(－6\r(5),5),\f(－11\r(5),5))＝eq\f(6,11)，∴原式＝eq\f(6,11).法二原式＝eq\f(\f(4sinα,cosα)－2·\f(cosα,cosα),\f(5cosα,cosα)＋\f(3sinα,cosα))＝eq\f(4tanα－2,5＋3tanα)＝eq\f(4×2－2,5＋3×2)＝eq\f(6,11)(3)法一由(1)可知：eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(2,5)cos2α＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))2＋eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))2＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,25)＝eq\f(7,25).法二原式＝eq\f(\f(1,4)sin2α＋\f(2,5)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(sin2α,4cos2α)＋\f(2cos2α,5cos2α),\f(sin2α,cos2α)＋\f(cos2α,cos2α))＝eq\f(\f(1,4)tan2α＋\f(2,5),tan2α＋1)＝eq\f(\f(1,4)×4＋\f(2,5),4＋1)＝eq\f(7,25).∴原式＝eq\f(7,25).學(xué)生帶著問(wèn)題去閱讀課本。學(xué)生自己動(dòng)手嘗試。學(xué)生自己動(dòng)手嘗試。教師通過(guò)分析、講解，給學(xué)生起一個(gè)引導(dǎo)示范的作用。通過(guò)例1來(lái)加深對(duì)“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”的理解與運(yùn)用。通過(guò)兩道變式，增強(qiáng)學(xué)生的理解與把握。當(dāng)堂評(píng)價(jià)1．已知α是第四象限角，cosα＝eq\f(12,13)，則sinα等于()\f(5,13)B．－eq\f(5,13)\f(5,12)D．－eq\f(5,12)【解】由條件知sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－eq\f(5,13).2．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，則sin4α－cos4α的值為()A．－eq\f(1,5)B．－eq\f(3,5)\f(1,5)D．eq\f(3,5)【解】sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－eq\f(3,5).3．若tanα＝2，則eq\f(2sinα－cosα,sinα＋2cosα)的值為()A．0\f(3,4)C．1D．eq\f(5,4)【解】eq\f(2sinα－cosα,sinα＋2cosα)＝eq\f(2tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(4－1,2＋2)＝eq\f(3,4).學(xué)生合作交流。學(xué)生自己檢測(cè)自己的學(xué)習(xí)效果。通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生鞏固新知，達(dá)成目標(biāo)。板書設(shè)計(jì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:例學(xué)習(xí)目標(biāo)1、平方關(guān)系：變式練習(xí)1、……2、商數(shù)關(guān)系：2、……教學(xué)反思課題名稱：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2）課程模塊及章節(jié)：第四章第二節(jié)備課時(shí)間：2023-2-20學(xué)科：數(shù)學(xué)備課組：高一數(shù)學(xué)主備教師：張國(guó)彪備課組長(zhǎng)：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、保德懷、龍清華、張國(guó)彪。教師二次備課教學(xué)背景分析由圓的幾何性質(zhì)出發(fā),利用三角函數(shù)線,探究同一個(gè)角的不同三角函數(shù)之間的關(guān)系；學(xué)習(xí)已知一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值；利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明三角恒等式等.通過(guò)例題講解，總結(jié)方法.通過(guò)做練習(xí),鞏固所學(xué)知識(shí).通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，牢固掌握同角三角函數(shù)的三個(gè)關(guān)系式并能靈活運(yùn)用于解題，提高學(xué)生分析，解決三角問(wèn)題的能力；進(jìn)一步樹立化歸思想方法和證明三角恒等式的一般方法.教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)能根據(jù)三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及它們之間的聯(lián)系．(2)熟練掌握已知一個(gè)角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法．2．過(guò)程與方法通過(guò)由三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式過(guò)程，使學(xué)生學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)提出問(wèn)題，獲得研究思路，這是數(shù)學(xué)研究中的常用思想方法．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)對(duì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過(guò)程，學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，化歸與轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)形結(jié)合的思想分析解決問(wèn)題，培養(yǎng)探究精神和創(chuàng)新意識(shí)．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式．難點(diǎn)：三角函數(shù)值的符號(hào)的確定，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變式應(yīng)用．教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法問(wèn)題學(xué)習(xí)法、自主學(xué)習(xí)與合作探究相結(jié)合。利用三角函數(shù)線的定義,推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:及,并靈活應(yīng)用求三角函數(shù)值,化減三角函數(shù)式,證明三角恒等式等.教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動(dòng)學(xué)生為主的活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課與初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來(lái)研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化．學(xué)生開始思考。創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲。目標(biāo)引領(lǐng)把目標(biāo)板書在黑板的右上角，并引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行解讀。一起朗讀目標(biāo)。以目標(biāo)引領(lǐng)學(xué)習(xí)的全過(guò)程?；顒?dòng)導(dǎo)學(xué)(1)化簡(jiǎn)：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝________.(2)化簡(jiǎn)：eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),cos10°－\r(1－sin280°)).2．(sinα±cosα)2展開式是什么？【解】(1)原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β＝1.(2)原式＝eq\f(\r(cos10°－sin10°2),cos10°－cos80°)＝eq\f(cos10°－sin10°,cos10°－sin10°)＝1.若把題(2)改為：eq\f(\r(1＋2sin10°cos10°),cos10°＋\r(1－sin280°))，如何化簡(jiǎn)呢？原式＝eq\f(\r(cos10°＋sin10°2),cos10°＋cos80°)＝eq\f(cos10°＋sin10°,cos10°＋sin10°)＝1.求證：(1)eq\f(sinα－cosα＋1,sinα＋cosα－1)＝eq\f(1＋sinα,cosα)；(2)2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0.【證明】(1)左邊＝eq\f(sinα－cosα＋1sinα＋cosα＋1,sinα＋cosα－1sinα＋cosα＋1)＝eq\f(sinα＋12－cos2α,sinα＋cosα2－1)＝eq\f(sin2α＋2sinα＋1－1－sin2α,sin2α＋cos2α＋2sinαcosα－1)＝eq\f(2sin2α＋2sinα,1＋2sinαcosα－1)＝eq\f(2sinαsinα＋1,2sinαcosα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝右邊．∴原等式成立．(2)左邊＝2[(sin2θ)3＋(cos2θ)3]－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝(2sin4θ－2sin2θcos2