高中數(shù)學北師大版本冊總復(fù)習總復(fù)習 2023版第3章2指數(shù)擴充及其運算性質(zhì)

§2指數(shù)擴充及其運算性質(zhì)2．1指數(shù)概念的擴充2．2指數(shù)運算的性質(zhì)1.理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，會進行分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化．(重點)2.了解無理數(shù)指數(shù)冪的概念，了解無理數(shù)指數(shù)冪可以用實數(shù)指數(shù)冪逼近的思想方法．(易混點)3.掌握指數(shù)的運算性質(zhì)，能熟練地進行指數(shù)的運算．(重難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1分數(shù)指數(shù)冪閱讀教材P64～P66的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題．1.定義給定正實數(shù)a，對于任意給定的正整數(shù)m，n(m，n互素)，存在唯一的正實數(shù)b，使得bn＝am，把b叫作a的eq\f(m,n)次冪，記作b＝，它就是分數(shù)指數(shù)冪．2.幾個結(jié)論(1)正分數(shù)指數(shù)冪的根式形式：＝eq\r(n,am)(a>0)．(2)負分數(shù)指數(shù)冪的意義：＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)表示eq\f(2,3)個2相乘．()(2)＝eq\r(m,an)(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．()(3)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．()【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2指數(shù)運算的性質(zhì)閱讀教材P66～P67的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題．若a>0，b>0，對任意實數(shù)m，n指數(shù)運算有以下性質(zhì)：(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝；(3)(ab)n＝anbn；(4)當a≠0時，有eq\f(am,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am－nm>n，,1m＝n，,a－n－mm<n；))(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))n＝eq\f(an,bn)(b≠0)．＋＋＝________.【解析】原式＝＋＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))－1＋23＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)＋8＋eq\f(1,2)＝11.【答案】11[小組合作型]根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化將下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式．(1)eq\r(3,a)·eq\r(4,a)；(2)eq\r(a\r(a\r(a)))；(3)eq\r(3,a2)·eq\r(a3)；(4)(eq\r(3,a))2·eq\r(ab3).【精彩點撥】利用根式與分數(shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化式子：＝eq\r(n,am)和＝＝eq\f(1,\r(n,am))進行轉(zhuǎn)化，注意其中字母a要使式子有意義．【嘗試解答】(1)原式＝·＝；(2)原式＝··＝；(3)原式＝·＝；(4)原式＝()2··＝.根式與分數(shù)指數(shù)冪互化的關(guān)鍵與技巧：1關(guān)鍵：解決根式與分數(shù)指數(shù)冪的相互轉(zhuǎn)化問題的關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用a>0，m，n∈N＋，且n>1.2技巧：當表達式中的根號較多時，要搞清被開方數(shù)，由里向外用分數(shù)指數(shù)冪的形式寫出來，然后再利用相關(guān)的運算性質(zhì)進行化簡.[再練一題]1.用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式．(1)eq\r(3,a)·eq\r(6,－a)(a<0)；(2)eq\r(3,ab2\r(ab)3)(a，b>0)；(3)(b<0)；(4)eq\f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))(x≠0)．【解】(1)原式＝·＝·＝(a<0)；(2)原式＝＝(·)eq\f(1,3)＝(a，b>0)；(3)原式＝(b<0)；(4)原式＝.分數(shù)指數(shù)冪的運算計算下列各式．【精彩點撥】(1)將負分數(shù)指數(shù)化為正分數(shù)指數(shù)，將小數(shù)指數(shù)化為分數(shù)指數(shù)；(2)將根式化為分數(shù)指數(shù)冪．進行分數(shù)指數(shù)冪的運算要熟練掌握分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，并靈活運用.一般地，進行指數(shù)冪運算時，化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分數(shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分數(shù)運算，同時還要注意運算順序問題.[再練一題]2.計算或化簡．[探究共研型]條件求值探究1已知＋＝3，求a＋a－1的值．【提示】(＋)2＝9，∴a＋a－1＝7.探究2在探究1的條件下，求a2＋a－2的值．【提示】(a＋a－1)2＝49，∴a2＋a－2＝47.已知eq\f(3,2)a＋b＝1，求eq\f(9a×3b,\r(3a))的值．【精彩點撥】應(yīng)先化成同底數(shù)冪的形式．解決此類問題的思路步驟如下：[再練一題]3.若x>0，y>0，且x－eq\r(xy)－2y＝0，求eq\f(2x－\r(xy),y＋2\r(xy))的值.【導學號：04100042】【解】∵x－eq\r(xy)－2y＝0，x>0，y>0，∴(eq\r(x))2－eq\r(xy)－2(eq\r(y))2＝0，∴(eq\r(x)＋eq\r(y))(eq\r(x)－2eq\r(y))＝0，由x>0，y>0得eq\r(x)＋eq\r(y)>0，∴eq\r(x)－2eq\r(y)＝0，∴x＝4y，∴eq\f(2x－\r(xy),y＋2\r(xy))＝eq\f(8y－2y,y＋4y)＝eq\f(6,5).1.下列各式正確的是()A．(eq\r(3,a))3＝a B．(eq\r(4,7))4＝－7C．(eq\r(5,a))5＝|a| \r(6,a6)＝a【解析】(eq\r(4,7))4＝7，(eq\r(3,a))3＝a，(eq\r(5,a))5＝a，eq\r(6,a6)＝|a|，故選A.【答案】A2.計算的結(jié)果等于()\f(1,9) \f(1,3)C．±eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)【解析】＝＝eq\f(1,3).【答案】B3.(1)eq\r(3,a5)＝________.(2)＝________.【解析】(1)eq\r(3,a5)＝.(2)＝＝eq\f(1,\r(3,a2)).【答案