高中數(shù)學(xué)人教A版1第一章常用邏輯用語(yǔ)命題及其關(guān)系 模塊綜合評(píng)價(jià)(一)_第1頁(yè)
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模塊綜合評(píng)價(jià)(一)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題意的)1.如圖所示,從A地到B地要經(jīng)過(guò)C地和D地,從A地到C地有3條路,從C地到D地有2條路,從D地到B地有4條路,則從A地到B地不同走法的種數(shù)是()A.9B.24C.3D.解析:由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同走法的種數(shù)是3×2×4=24.答案:B2.某商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān),則其回歸方程可能是()\o(y,\s\up12(^))=-10x+200 \o(y,\s\up12(^))=10x+200\o(y,\s\up12(^))=-10x-200 \o(y,\s\up12(^))=10x-200解析:由于銷售量y與銷售價(jià)格x負(fù)相關(guān),故排除B,D.又當(dāng)x=10時(shí),A中的y=100,而C中y=-300,故C不符合題意.答案:A3.從3名男生和3名女生中,選出3名分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)的課代表,要求至少有1名女生,則選派方案共有()A.19種 B.54種C.114種 D.120種解析:選出的3名中全是男生的選法有Aeq\o\al(3,3)種,從6人中選出3人有Aeq\o\al(3,6)選法,所以至少有1名女生的選派方案有Aeq\o\al(3,6)-Aeq\o\al(3,3)=120-6=114(種).答案:C4.下面是調(diào)查某地區(qū)男、女中學(xué)生喜歡理科的等高條形圖,陰影部分表示喜歡理科的百分比,從圖可以看出()A.性別與喜歡理科無(wú)關(guān)B.女生中喜歡理科的比例約為80%C.男生比女生喜歡理科的可能性大些D.男生中不喜歡理科的比例約為60%解析:由圖可知,女生中喜歡理科的比例約為20%,男生中喜歡理科的比例約為60%,因此男生比女生喜歡理科的可能性大些.答案:C5.若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)-\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則展開(kāi)式中含eq\r(x)項(xiàng)的系數(shù)為()A.-240 B.-270C.240 D.270解析:由題意知,不妨令x=1,則(3-1)n=32,解得n=5.展開(kāi)通項(xiàng)為T(mén)r+1=Ceq\o\al(r,5)·(3eq\r(x))5-r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,\r(x))))eq\s\up12(r)=(-1)r·Ceq\o\al(r,5)35-r·xeq\f(5,2)-r,當(dāng)r=2時(shí),T3=(-1)2·Ceq\o\al(2,5)33·xeq\s\up12(\f(1,2))=270eq\r(x),所以展開(kāi)式中含eq\r(x)項(xiàng)的系數(shù)為270.答案:D6.ξ,η為隨機(jī)變量,且η=aξ+b,若E(ξ)=,E(η)=,則a,b可能的值為()A.2, B.1,4C., D.,解析:由E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b=1.6a+b=,把選項(xiàng)代入驗(yàn)證,只有A答案:A7.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ=-1,0,1,對(duì)應(yīng)P=eq\f(1,2),eq\f(1,6),eq\f(1,3),且設(shè)η=2ξ+1,則η的期望為()A.-eq\f(1,6)\f(2,3)\f(29,36)D.1解析:E(ξ)=-1×eq\f(1,2)+0×eq\f(1,6)+1×eq\f(1,3)=-eq\f(1,6),所以E(μ)=E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=eq\f(2,3).答案:B8.某校1000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)X服從正態(tài)分布,其密度函數(shù)曲線如圖所示,則成績(jī)X位于區(qū)間(52,68]的人數(shù)大約是()A.997B.954C.682D.341解析:由題圖知X~N(μ,σ2),其中μ=60,σ=8,所以P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(52<X≤68)=6.所以人數(shù)為6×1000≈682.答案:C9.隨機(jī)變量ξ的概率分布規(guī)律為P(X=n)=eq\f(a,n(n+1))(n=1,2,3,4),其中a為常數(shù),則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)<X<\f(13,4)))=()\f(2,3)\f(3,4)\f(4,5)\f(5,16)解析:因?yàn)镻(X=n)=eq\f(a,n(n+1))(n=1,2,3,4),所以eq\f(a,2)+eq\f(a,6)+eq\f(a,12)+eq\f(a,20)=1,所以a=eq\f(5,4).所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)<X<\f(13,4)))=P(X=2)+P(X=3)=eq\f(5,4)×eq\f(1,6)+eq\f(5,4)×eq\f(1,12)=eq\f(5,16).答案:D10.通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)72名不同性別的大學(xué)生在購(gòu)買(mǎi)食物時(shí)是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明,得到如下列聯(lián)表:分類女男總計(jì)讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明162844不讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明20828總計(jì)363672請(qǐng)問(wèn)性別和讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有關(guān)系的程度為()A.99%的可能性B.%的可能性C.%的可能性D.%的可能性解析:由題意可知a=16,b=28,c=20,d=8,a+b=44,c+d=28,a+c=36,b+d=36,n=a+b+c+d=72.代入公式K2=eq\f(n(ad-bc)2,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)),得K2=eq\f(72×(16×8-28×20)2,44×28×36×36)≈.由于K2≈>,我們就有%的把握認(rèn)為性別和讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有關(guān)系,即性別和讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有%的可能是有關(guān)系的.答案:C11.某日A,B兩個(gè)沿海城市受臺(tái)風(fēng)襲擊的概率相同,已知A市或B市至少有一個(gè)受臺(tái)風(fēng)襲擊的概率為,若用X表示這一天受臺(tái)風(fēng)襲擊的城市個(gè)數(shù),則E(X)=()A.B.0.2C.D.解析:設(shè)A,B兩市受臺(tái)風(fēng)襲擊的概率均為p,則A市或B市都不受臺(tái)風(fēng)襲擊的概率為(1-p)2=1-,解得p=或p=(舍去).法一P(X=0)=1-=,P(X=2)=×=,所以E(X)=0×+1×+2×=.法二X~B(2,,E(X)=np=2×=.答案:D12.假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1-p,且各引擎是否有故障是獨(dú)立的,已知4引擎飛機(jī)中至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行,飛機(jī)就可成功飛行;2個(gè)引擎飛機(jī)要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行,飛機(jī)才可成功飛行.要使4個(gè)引擎飛機(jī)更安全,則p的取值范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3),1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(2,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3)))解析:4個(gè)引擎飛機(jī)成功飛行的概率為Ceq\o\al(3,4)p3(1-p)+p4,2個(gè)引擎飛機(jī)成功飛行的概率為p2,要使Ceq\o\al(3,4)p3(1-p)+p4>p2,必有eq\f(1,3)<p<1.答案:B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在題中橫線上)13.抽樣調(diào)查表明,某校高三學(xué)生成績(jī)(總分750分)X近似服從正態(tài)分布,平均成績(jī)?yōu)?00分.已知P(400<X<450)=,則P(550<X<600)=________.解析:由下圖可以看出P(550<X<600)=P(400<X<450)=.答案:14.某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下:ξ78910Pxy已知ξ的期望E(ξ)=,則y的值為_(kāi)_______.解析:由表格可知:x+++y=1,7x+8×+9×+10×y=,聯(lián)合解得y=.答案:15.(a+x)(1+x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=________.解析:由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,故(a+x)(1+x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為4ax,4ax3,x,6x3,x5,其系數(shù)之和為4a+4a+1+6+1=32,解得答案:316.某射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊,直到第一次命中為止,每次射擊的命中率為,現(xiàn)共有子彈4顆,命中后剩余子彈數(shù)目的數(shù)學(xué)期望是________.解析:設(shè)ξ為命中后剩余子彈數(shù)目,則P(ξ=3)=,P(ξ=2)=×=,P(ξ=1)=××=,E(ξ)=3×+2×+=.答案:三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知(1+3x)n的展開(kāi)式中,末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121.求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解:由題意知:Ceq\o\al(n,n)+Ceq\o\al(n-1,n)+Ceq\o\al(n-2,n)=121,即Ceq\o\al(0,n)+Ceq\o\al(1,n)+Ceq\o\al(2,n)=121.所以1+n+eq\f(n(n-1),2)=121,即n2+n-240=0.解得n=-16(舍去)或n=15.所以在(1+3x)15展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第八、第九兩項(xiàng),即T8=Ceq\o\al(7,15)(3x)7=Ceq\o\al(7,15)·37x7,T9=Ceq\o\al(8,15)(3x)8=Ceq\o\al(8,15)·38x8.18.(本大題滿分12分)五位師傅和五名徒弟站一排.(1)五名徒弟必須排在一起共有多少種排法?(2)五名徒弟不能相鄰共有多少種排法?(3)師傅和徒弟相間共有多少種排法?解:(1)先將五名徒弟看作一人與五位師傅排列有Aeq\o\al(6,6)種排法,五名徒弟在內(nèi)部全排列有Aeq\o\al(5,5)種,據(jù)乘法原理排法共有Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(5,5)=86400(種).(2)先將五位師傅全排列有Aeq\o\al(5,5)種排法,再將五名徒弟排在五位師傅產(chǎn)生的六個(gè)空位上有Aeq\o\al(5,6)種排法,據(jù)乘法原則,排法共計(jì)Aeq\o\al(5,6)Aeq\o\al(5,5)=86400(種).(3)先將五位師傅排列有Aeq\o\al(5,5)種排法,再將五名徒弟排在五位師傅產(chǎn)生的六個(gè)空位中前五位或后五位上有2Aeq\o\al(5,5)種排法,據(jù)乘法原理排法共有2Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(5,5)=28800(種).19.(本小題滿分12分)(2023·福建卷)某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤,該銀行卡將被鎖定,小王到銀行取錢(qián)時(shí),發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率;(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,則P(A)=eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\f(3,4)=eq\f(1,2).(2)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3,又P(X=1)=eq\f(1,6),P(X=2)=eq\f(5,6)×eq\f(1,5)=eq\f(1,6),P(X=3)=eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×1=eq\f(2,3).所以X的分布列為:X123Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(2,3)所以E(X)=1×eq\f(1,6)+2×eq\f(1,6)+3×eq\f(2,3)=eq\f(5,2).20.(本小題滿分12分)一臺(tái)機(jī)器使用時(shí)間較長(zhǎng),但還可以使用,它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺陷,每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷零件的多少隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化,下表為抽樣試驗(yàn)結(jié)果:轉(zhuǎn)速x/(轉(zhuǎn)·秒-1)1614128每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷的零件數(shù)y/件11985(1)已知y與x有線性相關(guān)關(guān)系,寫(xiě)出線性回歸方程;(2)若實(shí)際生產(chǎn)中,允許每小時(shí)的產(chǎn)品中有缺陷的零件最多為10個(gè),那么機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度需控制在什么范圍內(nèi)?解:(1)eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))=,eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))=,所以線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))=6x-5.(2)由eq\o(y,\s\up12(^))=6x-5≤10,得x≤9.所以機(jī)器的轉(zhuǎn)速應(yīng)控制在9轉(zhuǎn)/秒以下.21.(本小題滿分12分)為了研究“教學(xué)方式”對(duì)教學(xué)質(zhì)量的影響,某高中老師分別用兩種不同的教學(xué)方式對(duì)入學(xué)數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個(gè)高一新班進(jìn)行教學(xué)(勤奮程度和自覺(jué)性都一樣).以下莖葉圖為甲、乙兩班(每班均為20人)學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī).(1)現(xiàn)從甲班數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué),求成績(jī)?yōu)?7分的同學(xué)至少有一名被抽中的概率;(2)學(xué)校規(guī)定:成績(jī)不低于75分的為優(yōu)秀.請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面的2×2列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.分類甲班乙班合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)下面臨界值表供參考:P(K2≥k)Keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考公式:K2=\f(n(ad-bc)2,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d))))解:(1)甲班成績(jī)?yōu)?7分的同學(xué)有2個(gè),其他不低于80分的同學(xué)有3個(gè)“從甲班數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)”的一切可能結(jié)果組成的基本事件有Ceq\o\al(2,5)=10(個(gè)),“抽到至少有一個(gè)87分的同學(xué)”所組成的基本事件有Ceq\o\a

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