醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)函數(shù)解析

醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)函數(shù)解析實數(shù)、區(qū)間與鄰域1.1函數(shù)常量與變量1.1.3函數(shù)的定義隱函數(shù)單值函數(shù)和多值函數(shù)函數(shù)的定義2/6/202321.1.4反函數(shù)基本初等函數(shù)奇偶性初等函數(shù)單調(diào)性復(fù)合函數(shù)有界性周期性1.1.6分段函數(shù)1.1.7函數(shù)的簡單性質(zhì)1.1.5初等函數(shù)1.1函數(shù)2/6/202331.1.1實數(shù)、區(qū)間與鄰域1.實數(shù)實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)兩部分組成，全體實數(shù)可以用數(shù)軸上點的坐標來表示，每一實數(shù)構(gòu)成的集合稱為實數(shù)集。實數(shù)必是數(shù)軸上某一點的坐標，反之，數(shù)軸上沒一點的坐標必是一個實數(shù)。每一實數(shù)集與數(shù)軸上的全體點形成一一對應(yīng)的關(guān)系。2/6/202342.區(qū)間區(qū)間是指介于某兩個數(shù)之間的全體在數(shù)軸上，區(qū)間是介于某兩個點之間實數(shù)，而這兩個數(shù)叫做區(qū)間的端點。的一條線段上點的全體，兩點間的距離也就是線段的長度，稱為區(qū)間的長度。區(qū)間可以分成以下幾類：開區(qū)間，閉區(qū)間，半開區(qū)間2/6/20235上述區(qū)間都稱為有限區(qū)間.如果區(qū)間的兩個端點中至少有一個是(無限數(shù)）例如則稱該區(qū)間為無限區(qū)間。都是無限區(qū)間.全體實數(shù)構(gòu)成的集合R可記作也是無限區(qū)間在以上區(qū)間中，由于a，b是兩個實數(shù)，因此2/6/202363.鄰域我們把以點為中心，某一很小的正數(shù)稱為在后面的章節(jié)中經(jīng)常會用到一種特殊的開為半徑的開區(qū)間區(qū)間，稱之為鄰域。的鄰域，其中點，即記為稱為該鄰域的中心，稱為該鄰域的半徑。正數(shù)2/6/20237將點的全體，即的一切點x距離小于表示與點鄰域鄰域，記為的去心所得到的的實數(shù)全體，稱為點鄰域中去掉中心點，即稱為稱為其中的2/6/202381.1.2常量與變量1.常量在某一現(xiàn)象或過程中始終保持同一數(shù)值不變的量稱為常量。2/6/202392.變量在某一現(xiàn)象或過程中量有變化，可以取不注意一個量是常量還是變量不是絕的，同的數(shù)值，這種量稱為變量。常量與變量是相對“場合”而言的。2/6/2023101.1.3函數(shù)的定義1.函數(shù)的定義數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域因變量自變量2/6/202311注意：函數(shù)的兩要素為：定義域和對應(yīng)法則兩個函數(shù)f(x)，g(x)相等是指：它們定義域相同，且對于定義域內(nèi)任意一點x，都有f(x)=g(x)2/6/202312（1）函數(shù)的定義域的確定函數(shù)的定義域D通常按以下兩種情形確定：①當函數(shù)是用抽象的算式（解析式）表達②當函數(shù)在實際中應(yīng)用時，其定義域不僅要使構(gòu)成的集合。時，其定義域是使算式有意義的一切實數(shù)函數(shù)的表達式有意義，還要有實際意義來確定。其定義域是2/6/202313對應(yīng)法則---函數(shù)的表示法列表法圖像法解析法（2）函數(shù)對應(yīng)法則的表達形式2/6/202314函數(shù)的表達主要是用解析法，下面舉一個解析法表達的函數(shù)例假設(shè)16歲以上的成年人每天服用某藥物的劑該函數(shù)的定義域是，但在定義域的不同區(qū)間上，函數(shù)關(guān)系是用兩個解析式表示的。量Q是2mg，而16歲以下的未成年人每天服用該藥物的劑量Q與年齡t成正比，比例系數(shù)為歲，則劑量Q與年齡t的函數(shù)關(guān)系為2/6/2023152.單值函數(shù)和多值函數(shù)在函數(shù)定義1-1中，如果自變量x在D內(nèi)任取一個值，對應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的，這樣的函數(shù)又確定了一個稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù)注意：在本書中，若無特殊說明，所稱的函數(shù)例如在方程都有兩個y值與之對應(yīng)中，對于每一個以x為自變量、y為因變量的多值函數(shù).因此，方程都是單值函數(shù).2/6/2023163.隱函數(shù)稱這種方式表達的函數(shù)為顯函數(shù)。如果因變量y是用x的明顯表達式表示出來的，而有些函數(shù)的表達方式卻不是這樣，因變量與系隱含在這個方程中，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)。自變量的對應(yīng)關(guān)系是由一個方程確定的，函數(shù)關(guān)都是隱函數(shù).例如2/6/202317如果變量y與x滿足一個方程那么就說方程當變量x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時相應(yīng)地總有滿足這方程的y值與之對應(yīng)，在該區(qū)間內(nèi)確定了以x為自變量y為因變量的隱函數(shù).在一定條件下，有些隱函數(shù)可以化成顯函數(shù)，但顯化有時很困難，甚至不可能。2/6/2023181.1.4反函數(shù)定義1-2量，哪個是因變量并不是絕對的，要根據(jù)所研究一個叫做因變量，但在實際問題中，哪個是自變的具體問題而定。在函數(shù)定義中的兩個自變量，一個叫做自變量，反函數(shù)的一般定義如下：都有唯一的且滿足如果對于每一個設(shè)f(x)是定義在D上的一個函數(shù)，值域為W.2/6/202319關(guān)系式x

的與之對應(yīng)，則確定了一個定義在W上、以y為自變量、x為因變量的新函數(shù)，稱為y=f(x)

的反函數(shù)，記為互為反函數(shù)而原來的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù)，或稱它們我們通常用x表示自變量，y表示因變量這時我們說因此，可以把改寫為是y=f(x)的反函數(shù)。2/6/202320表示變量y和x的同一種函數(shù)關(guān)系，y=f(x)和的圖形以y=x為軸翻轉(zhuǎn)它們的圖形是同一條曲線；y=f(x)

注意：就得到的圖形.也就是說它們的圖形是關(guān)于y=x對稱。2/6/202321見圖1-1圖1-12/6/202322例求下列函數(shù)的反函數(shù)：由改變變量的記號，即得到反函數(shù)為：由y=5x+6，解得（1）y=5x+6，解得改變變量的記號，即得到反函數(shù)為：解：（2）（1）2/6/202323注1：并不是任何函數(shù)y=f(x)

都有反函數(shù)，因為對于y的某些值，滿足y=f(x)這一條件的x值可能不止一個.有些函數(shù)的反函數(shù)存在，但不一定能夠注2：用一個顯函數(shù)表示出來，即由y=f(x)可能解不出x=g(y),

但反函數(shù)存在，這時y=f(x)

的反函數(shù)表示為隱函數(shù)形式.2/6/2023241.1.5初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)3.初等函數(shù)

2/6/202325冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)六類函數(shù)：1.基本初等函數(shù)常函數(shù)、2/6/2023261.基本初等函數(shù)常函數(shù)常函數(shù)的定義域為它的圖形是一條水平直線。2/6/202327冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域依例如而定，的定義域為的定義域為的定義域為的定義域為但不論取何值，當x>0時，它總是有定義的，其圖象都經(jīng)過(1,1)點.為實數(shù)與與1.基本初等函數(shù)2/6/202328冪函數(shù)為實數(shù)1.基本初等函數(shù)2/6/2023291.基本初等函數(shù)2/6/202330指數(shù)函數(shù)不論a為何值，函數(shù)圖象均經(jīng)過(0,1)點.定義域值域當a>1時，ax單調(diào)增；當0<a<1時，ax單調(diào)減.1.基本初等函數(shù)2/6/202331對數(shù)函數(shù)不論a為何值，函數(shù)圖象均過(1,0)點.定義域值域當a>1時，logax嚴格單增；當0<a<1時，logax

嚴格單減.1.基本初等函數(shù)2/6/202332三角函數(shù)常用的包括以下幾種：有界函數(shù)(1)正弦函數(shù)y

=sinx.定義域值域奇函數(shù)，周期1.基本初等函數(shù)2/6/202333有界函數(shù)（2）余弦函數(shù)y

=cosx.定義域值域偶函數(shù)，周期1.基本初等函數(shù)2/6/202334（3）正切函數(shù)

y=tanx定義域值域奇函數(shù)，周期1.基本初等函數(shù)2/6/202335（4）余切函數(shù)

y=cotx定義域值域奇函數(shù)，周期1.基本初等函數(shù)2/6/202336反三角函數(shù)反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù).由于三角函數(shù)都是周期函數(shù)，故對于值域的每個y值，與之對應(yīng)的x值有無窮多個，因此，在三角函數(shù)的整個定義域上，其反函數(shù)是不存在的,必須限制在三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間上才能建立反三角函數(shù).1.基本初等函數(shù)2/6/202337記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反正弦函數(shù)奇函數(shù)，單調(diào)增.（1）反正弦函數(shù)正弦函數(shù)y

=sinx，在上單調(diào)增，定義域值域1.基本初等函數(shù)2/6/202338記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反余弦函數(shù),單調(diào)減.（2）反余弦函數(shù)余弦函數(shù)y

=cosx，在上單調(diào)減，其定義域值域1.基本初等函數(shù)2/6/202339（3）反正切函數(shù)記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反正切函數(shù)，奇函數(shù)，單調(diào)增。正切函數(shù)y

=tanx，在上單調(diào)增，其定義域值域1.基本初等函數(shù)2/6/202340（4）反余切函數(shù)記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反余切函數(shù)單調(diào)減.余切函數(shù)y

=cotx，在其定義域值域上單調(diào)減，1.基本初等函數(shù)2/6/2023412.復(fù)合函數(shù)掌握：復(fù)合?分解f(u)稱為外函數(shù)，g(x)稱為內(nèi)函數(shù)，u稱為中間變量.2/6/202342例（1）設(shè)則故與可以復(fù)合成復(fù)合函數(shù)：復(fù)合注兩個函數(shù)y=f(u)與u=g(x)可復(fù)合成復(fù)合函數(shù)當且僅當2/6/202343注（2）設(shè)則故與不能復(fù)合成復(fù)合函數(shù).求兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，實際上就是將外函數(shù)表達式中的自變量用內(nèi)函數(shù)表達式來代替，從而得到復(fù)合函數(shù)的表達式.2/6/202344例已知求f(x－1),f(－x)解：已知外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)，求復(fù)合函數(shù)的問題，直接代入即可.2/6/202345解：故有求f(x).令解得反函數(shù)為因為從而例已知2/6/202346解例2/6/202347綜上所述2/6/202348把一個復(fù)合函數(shù)分解成幾個簡單的函數(shù)很重要，分解的關(guān)鍵是分解出來的簡單函數(shù)都是基本初等函數(shù)或是由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運算得到的函數(shù)(簡單函數(shù)）．分解將下列復(fù)合函數(shù)分解為簡單函數(shù)例#2/6/2023493.初等函數(shù)由常數(shù)和五類基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算與有限次的復(fù)合所得到的且僅用一個解析式表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù).本書中討論的函數(shù)基本上都是初等函數(shù)．例如：注并非所有函數(shù)都是初等函數(shù).2/6/2023501.1.6分段函數(shù)在定義域的不同部分內(nèi)用不同的解析式表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。但這也不是絕對的，例如分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).2/6/202351注用解析式表示函數(shù)，并不要求函數(shù)在整個集上，函數(shù)表達式不一樣.如例中的符號函數(shù)y=sgnx

這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).定義域D上有統(tǒng)一的解析表達式，在D不同子#2/6/202352注2分段函數(shù)的解析式不只一個，但它是一個函數(shù)，其定義域是各段之并.圖象分段就是分段函數(shù).分段函數(shù)的圖像應(yīng)分段作出，但不要認為#2/6/2023535.函數(shù)的簡單性質(zhì)（1）單調(diào)性（2）奇偶性（3）周期性（4）有界性2/6/202354xyoxyo（1）單調(diào)性2/6/202355偶函數(shù)yxox-x（2）奇偶性2/6/202356奇函數(shù)yxox-x2/6/202357例例解：2/6/202358（通常說周期函數(shù)的周期是指