2023屆云南省大理州體育中學(xué)高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
2023屆云南省大理州體育中學(xué)高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題含解析_第2頁
2023屆云南省大理州體育中學(xué)高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題含解析_第3頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.為虛數(shù)單位,則的虛部為()A. B. C. D.2.已知,為兩條不同直線,,,為三個不同平面,下列命題:①若,,則;②若,,則;③若,,則;④若,,則.其中正確命題序號為()A.②③ B.②③④ C.①④ D.①②③3.已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點(diǎn),其橫坐標(biāo)分別為,則()A. B. C. D.4.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.5.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.106.已知向量,,若,則()A. B. C.-8 D.87.若非零實(shí)數(shù)、滿足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.8.已知集合,,則()A. B. C. D.9.已知四棱錐,底面ABCD是邊長為1的正方形,,平面平面ABCD,當(dāng)點(diǎn)C到平面ABE的距離最大時,該四棱錐的體積為()A. B. C. D.110.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn).若的內(nèi)切圓與線段在其中點(diǎn)處相切,與相切于點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)滿足:(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.12.已知函數(shù),,若對任意的,存在實(shí)數(shù)滿足,使得,則的最大值是()A.3 B.2 C.4 D.5二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知邊長為的菱形中,,現(xiàn)沿對角線折起,使得二面角為,此時點(diǎn),,,在同一個球面上,則該球的表面積為________.14.已知函數(shù)在上僅有2個零點(diǎn),設(shè),則在區(qū)間上的取值范圍為_______.15.若四棱錐的側(cè)面內(nèi)有一動點(diǎn)Q,已知Q到底面的距離與Q到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k,且動點(diǎn)Q的軌跡是拋物線,則當(dāng)二面角平面角的大小為時,k的值為______.16.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的模為____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)與交于、兩點(diǎn),中點(diǎn)為,的垂直平分線交于、.以為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.(1)求的直角坐標(biāo)方程與點(diǎn)的直角坐標(biāo);(2)求證:.18.(12分)某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品,每件產(chǎn)品不合格的概率均為,現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù),要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過合格檢驗(yàn),已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品,且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立.若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次,所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多,該工廠提出以下檢驗(yàn)方案:將產(chǎn)品每個一組進(jìn)行分組檢驗(yàn),如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格,則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格,若檢驗(yàn)不合格,則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品,再對該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn),如此,每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)次或次.設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品,記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為.(1)求的分布列及其期望;(2)(i)試說明,當(dāng)越小時,該方案越合理,即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少;(ii)當(dāng)時,求使該方案最合理時的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù).19.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,為正三角形,平面平面分別是的中點(diǎn).(1)證明:平面(2)若,求二面角的余弦值.21.(12分)記拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在拋物線上,且直線的斜率為1,當(dāng)直線過點(diǎn)時,.(1)求拋物線的方程;(2)若,直線與交于點(diǎn),,求直線的斜率.22.(10分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若恒成立,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】,故虛部為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念,注意復(fù)數(shù)的虛部為,不是,本題為基礎(chǔ)題,也是易錯題.2、C【解析】

根據(jù)直線與平面,平面與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及判定定理可得,若,,則,故①正確;若,,平面可能相交,故②錯誤;若,,則可能平行,故③錯誤;由線面垂直的性質(zhì)可得,④正確;故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷直線與平面,平面與平面的位置關(guān)系,屬于中檔題.3、A【解析】

畫出函數(shù)的圖像,函數(shù)對稱軸方程為,由圖可得與關(guān)于對稱,即得解.【詳解】函數(shù)的圖像如圖,對稱軸方程為,,又,由圖可得與關(guān)于對稱,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.4、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導(dǎo)函數(shù)符號可判斷在上單調(diào)遞增,即可排除AC選項(xiàng).【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當(dāng)時,;又當(dāng)時,,故在上單調(diào)遞增,所以,綜上,時,,即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,故排除A,C.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系,屬于中檔題.5、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?,,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.6、B【解析】

先求出向量,的坐標(biāo),然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量,,則,,又,則,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

令,則,,將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后,然后取絕對值作差比較可得.【詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用作差法比較大小,同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.8、D【解析】

先求出集合B,再與集合A求交集即可.【詳解】由已知,,故,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道容易題.9、B【解析】

過點(diǎn)E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因?yàn)槠矫鍭BE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.設(shè),將表示成關(guān)于的函數(shù),再求函數(shù)的最值,即可得答案.【詳解】過點(diǎn)E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,所以平面ABCD,所以.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為1的正方形,,所以.因?yàn)槠矫鍭BE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE,所以點(diǎn)H到平面ABE的距離,即為H到EF的距離.不妨設(shè),則,.因?yàn)?,所以,所以,?dāng)時,等號成立.此時EH與ED重合,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)到面的距離的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力,求解時注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.10、D【解析】

可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為,設(shè),,可得,由切線的性質(zhì):切線長相等推得,解得、,并設(shè),求得的值,推得為等邊三角形,由焦距為三角形的高,結(jié)合離心率公式可得所求值.【詳解】可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為,為切點(diǎn),且為中點(diǎn),,設(shè),,則,且有,解得,,設(shè),,設(shè)圓切于點(diǎn),則,,由,解得,,,所以為等邊三角形,所以,,解得.因此,該橢圓的離心率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義和性質(zhì),注意運(yùn)用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì),切線的性質(zhì),考查化簡運(yùn)算能力,屬于中檔題.11、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由,則,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為,對于恒成立,然后構(gòu)造函數(shù),然后求出的范圍,進(jìn)一步得到的最大值.【詳解】,,對任意的,存在實(shí)數(shù)滿足,使得,易得,即恒成立,,對于恒成立,設(shè),則,令,在恒成立,,故存在,使得,即,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增.,將代入得:,,且,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn)存在定理和不等式恒成立問題,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

分別取,的中點(diǎn),,連接,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設(shè)球心為,半徑為,,由勾股定理可得、,再根據(jù)球的面積公式計(jì)算可得;【詳解】如圖,分別取,的中點(diǎn),,連接,則易得,,,,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設(shè)球心為,半徑為,,可得,解得,.故該球的表面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球的計(jì)算,屬于中檔題.14、【解析】

先根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因?yàn)樵谏嫌袃蓚€零點(diǎn),所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以,所以,,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題,難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解,關(guān)鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域,同時要注意新元的范圍.15、【解析】

二面角平面角為,點(diǎn)Q到底面的距離為,點(diǎn)Q到定直線得距離為d,則.再由點(diǎn)Q到底面的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k,可得,由此可得,則由可求k值.【詳解】解:如圖,設(shè)二面角平面角為,點(diǎn)Q到底面的距離為,點(diǎn)Q到定直線的距離為d,則,即.∵點(diǎn)Q到底面的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k,∴,則,∵動點(diǎn)Q的軌跡是拋物線,∴,即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得:().故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,由四棱錐的側(cè)面與底面的夾角求參數(shù)值,屬于中檔題.16、【解析】,所以.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)見解析.【解析】

(1)將曲線的極坐標(biāo)方程變形為,再由可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,求出點(diǎn)、的坐標(biāo),即可得出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求得,寫出直線的參數(shù)方程,將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理求得的值,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】(1)曲線的極坐標(biāo)方程可化為,即,將代入曲線的方程得,所以,曲線的直角坐標(biāo)方程為.將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程得,聯(lián)立,得或,則點(diǎn)、,因此,線段的中點(diǎn)為;(2)由(1)得,,易知的垂直平分線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入的普通方程得,,因此,.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化,同時也考查了直線參數(shù)幾何意義的應(yīng)用,涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.18、(1)見解析,(2)(i)見解析(ii)時平均檢驗(yàn)次數(shù)最少,約為594次.【解析】

(1)由題意可得,的可能取值為和,分別求出其概率即可求出分布列,進(jìn)而可求出期望.(2)(i)由記,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證出;記,當(dāng)且取最小值時,該方案最合理,對進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】(1)由題,的可能取值為和,故的分布列為由記,因?yàn)?,所以在上單調(diào)遞增,故越小,越小,即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少,該方案越合理記當(dāng)且取最小值時,該方案最合理,因?yàn)?,,所以時平均檢驗(yàn)次數(shù)最少,約為次.【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望,考查了分析問題、解決問題的能力,屬于中檔題.19、(1)或;(2).【解析】

(1)利用絕對值的幾何意義,將不等式,轉(zhuǎn)化為不等式或或求解.(2)根據(jù)-2在R上恒成立,由絕對值三角不等式求得的最小值即可.【詳解】(1)原不等式等價于或或,解得:或,∴不等式的解集為或.(2)因?yàn)?2在R上恒成立,而,所以,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值不等式的解法和不等式恒成立問題,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20、(1)詳見解析;(2).【解析】

(1)連接,由菱形的性質(zhì)以及中位線,得,由平面平面,且交線,得平面,故而,最后由線面垂直的判定得結(jié)論.(2)以為原點(diǎn)建平面直角坐標(biāo)系,求出平面平與平面的法向量,,最后求得二面角的余弦值為.【詳解】解:(1)連結(jié)∵,且是的中點(diǎn),∴∵平面平面,平面平面,∴平面.∵平面,∴又為菱形,且為棱的中點(diǎn),∴∴.又∵,平面∴平面.(2)由題意有,∵四邊形為菱形,且∴分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則設(shè)平面的法向量為由,得,令,得取平面的法向量為∴二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】處理線面垂直問題時,需要學(xué)生對線面垂直的判定定理特別熟悉,運(yùn)用幾何語言表示出來方才過關(guān),一定要在已知平面中找兩條相交直線與平面外的直線垂直,才可以證得線面垂直,其次考查了學(xué)生運(yùn)用空間向量處理空間中的二面角問題,培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象力.21、(1)(2)0【解析】

(1)根據(jù)題意,設(shè)直線,與聯(lián)立,得,再由弦長公式,求解.(2)設(shè),根據(jù)直線的斜率為1,則,得到,再由,所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,然后直線的方程與直線的方程聯(lián)立解得交點(diǎn)H的縱坐標(biāo),說明直線軸,直線的斜率為0.【詳解】(1)依題意,,則直線,聯(lián)立得;設(shè),則,解得,故拋物線的方程為.(2),因?yàn)橹本€的斜率為1,則,所以,因?yàn)?,所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.直線的方程為,即①直線的方程為,即②聯(lián)立①②解得即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,即直線軸,故直線的斜率為0.如果直線的斜率不存在,結(jié)論也顯然成立,綜上所述,直線的斜率為0.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系,還考查推理論證能力

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