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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.2.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.3.為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)(指標(biāo)值滿(mǎn)分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)4.已知向量,滿(mǎn)足,在上投影為,則的最小值為()A. B. C. D.5.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知命題,且是的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.7.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足(為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.8.函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線(xiàn)所示,圖中圓與的圖象交于兩點(diǎn),且在軸上,則下列說(shuō)法中正確的是A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)在單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)9.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.10.已知拋物線(xiàn):,點(diǎn)為上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),又知點(diǎn),則的最小值為()A. B. C.3 D.511.已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為,離心率為,、分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),若為銳角三角形,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.橢圓的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,若,則的大小為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn),是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值為_(kāi)_____________.14.下圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的S的值是______.15.曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)與軸及直線(xiàn)=所圍成的三角形面積為,則實(shí)數(shù)=____。16.函數(shù)滿(mǎn)足,當(dāng)時(shí),,若函數(shù)在上有1515個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的范圍為_(kāi)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,滿(mǎn)足.有三個(gè)條件:①;②;③.其中三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確,請(qǐng)選出正確的條件完成下面兩個(gè)問(wèn)題:(1)求;(2)設(shè)為邊上一點(diǎn),且,求的面積.18.(12分)已知,,函數(shù)的最小值為.(1)求證:;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.19.(12分)表示,中的最大值,如,己知函數(shù),.(1)設(shè),求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)試探討是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.20.(12分)在中,角所對(duì)的邊分別是,且.(1)求角的大小;(2)若,求邊長(zhǎng).21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線(xiàn)的普通方程及直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值與最小值.22.(10分)已知在平面四邊形中,的面積為.(1)求的長(zhǎng);(2)已知,為銳角,求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小,利用作差法,結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系,進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,,所以最??;而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,綜上可知,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形,對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,作差法比較大小,屬于中檔題.2、D【解析】
由圖象可以求出周期,得到,根據(jù)圖象過(guò)點(diǎn)可求,根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知,所以,,又圖象過(guò)點(diǎn),所以,故可取,所以令,解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),利用“五點(diǎn)法”求函數(shù)解析式,屬于中檔題.3、D【解析】
根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙,故A正確;對(duì)于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分,故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),故B正確;對(duì)于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為,乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為,故C正確;對(duì)于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分,不是最強(qiáng)的,故D錯(cuò)誤;故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計(jì)算,考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
根據(jù)在上投影為,以及,可得;再對(duì)所求模長(zhǎng)進(jìn)行平方運(yùn)算,可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)和夾角運(yùn)算,代入即可求得.【詳解】在上投影為,即又本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查向量模長(zhǎng)的運(yùn)算,對(duì)于含加減法運(yùn)算的向量模長(zhǎng)的求解,通常先求解模長(zhǎng)的平方,再開(kāi)平方求得結(jié)果;解題關(guān)鍵是需要通過(guò)夾角取值范圍的分析,得到的最小值.5、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
求出命題不等式的解為,是的必要不充分條件,得是的子集,建立不等式求解.【詳解】解:命題,即:,是的必要不充分條件,,,解得.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍,其思路方法:(1)解決此類(lèi)問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí),一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).7、D【解析】
由已知等式求出z,再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得,即可得虛部.【詳解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共軛復(fù)數(shù)=-1+,虛部為1故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖象,求得函數(shù),再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象,可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為,即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式,以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
設(shè)非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算,同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
由,再運(yùn)用三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)和最小,即可求解.【詳解】.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的定義,合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵,注意拋物線(xiàn)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用,屬于中檔題.11、A【解析】
由已知先確定出雙曲線(xiàn)方程為,再分別找到為直角三角形的兩種情況,最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得,,所以,從而雙曲線(xiàn)方程為,不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)右支上運(yùn)動(dòng),則,當(dāng)時(shí),此時(shí),所以,,所以;當(dāng)軸時(shí),,所以,又為銳角三角形,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)及其應(yīng)用,本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況,即為直角三角形,是一道中檔題.12、C【解析】
根據(jù)橢圓的定義可得,,再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,,又,則,由余弦定理可得.故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義,考查余弦定理,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn),為垂足,則由拋物線(xiàn)的定義可得,則,為銳角.故當(dāng)和拋物線(xiàn)相切時(shí),的值最小.再利用直線(xiàn)的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo),從而求得的最小值.【詳解】解:由題意可得,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),準(zhǔn)線(xiàn)方程為,過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn),為垂足,則由拋物線(xiàn)的定義可得,則,為銳角.故當(dāng)最小時(shí),的值最小.設(shè)切點(diǎn),由的導(dǎo)數(shù)為,則的斜率為,求得,可得,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的定義,性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,直線(xiàn)的斜率公式,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.14、【解析】
根據(jù)流程圖,運(yùn)行程序即得.【詳解】第一次運(yùn)行,;第二次運(yùn)行,;第三次運(yùn)行,;第四次運(yùn)行;所以輸出的S的值是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查算法流程圖,是基礎(chǔ)題.15、或1【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可得切線(xiàn)的斜率,以及切線(xiàn)方程,求得切線(xiàn)與軸和的交點(diǎn),由三角形的面積公式可得所求值.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為,可得切線(xiàn)的斜率為3,切線(xiàn)方程為,可得,可得切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為,,切線(xiàn)與的交點(diǎn)為,可得,解得或?!军c(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程,以及直線(xiàn)方程的運(yùn)用,三角形的面積求法。16、【解析】
由已知,在上有3個(gè)根,分,,,四種情況討論的單調(diào)性、最值即可得到答案.【詳解】由已知,的周期為4,且至多在上有4個(gè)根,而含505個(gè)周期,所以在上有3個(gè)根,設(shè),,易知在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,又,.若時(shí),在上無(wú)根,在必有3個(gè)根,則,即,此時(shí);若時(shí),在上有1個(gè)根,注意到,此時(shí)在不可能有2個(gè)根,故不滿(mǎn)足;若時(shí),要使在有2個(gè)根,只需,解得;若時(shí),在上單調(diào)遞增,最多只有1個(gè)零點(diǎn),不滿(mǎn)足題意;綜上,實(shí)數(shù)的范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,涉及到函數(shù)的周期性、分類(lèi)討論函數(shù)的零點(diǎn),是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)先求出角,進(jìn)而可得出,則①②中有且只有一個(gè)正確,③正確,然后分①③正確和②③正確兩種情況討論,結(jié)合三角形的面積公式和余弦定理可求得的值;(2)計(jì)算出和,計(jì)算出,可得出,進(jìn)而可求得的面積.【詳解】(1)因?yàn)椋?,得,,,為鈍角,與矛盾,故①②中僅有一個(gè)正確,③正確.顯然,得.當(dāng)①③正確時(shí),由,得(無(wú)解);當(dāng)②③正確時(shí),由于,,得;(2)如圖,因?yàn)?,,則,則,.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形綜合應(yīng)用,涉及三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.18、(1)見(jiàn)解析;(2)最大值為.【解析】
(1)將函數(shù)表示為分段函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值,進(jìn)而可證得結(jié)論成立;(2)由可得出,并將代數(shù)式與相乘,展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值,進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】(1).當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,則;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則.綜上所述,,所以;(2)因?yàn)楹愠闪?,且,,所以恒成立,?因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,實(shí)數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值函數(shù)最值的求解,同時(shí)也考查了利用基本不等式恒成立求參數(shù),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.19、(1)個(gè);(1)存在,.【解析】試題分析:(1)設(shè),對(duì)其求導(dǎo),及最小值,從而得到的解析式,進(jìn)一步求值域即可;(1)分別對(duì)和兩種情況進(jìn)行討論,得到的解析式,進(jìn)一步構(gòu)造,通過(guò)求導(dǎo)得到最值,得到滿(mǎn)足條件的的范圍.試題解析:(1)設(shè),.............1分令,得遞增;令,得遞減,.................1分∴,∴,即,∴.............3分設(shè),結(jié)合與在上圖象可知,這兩個(gè)函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn),即在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1...........................5分(或由方程在上有兩根可得)(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得對(duì)恒成立,則,對(duì)恒成立,即,對(duì)恒成立,................................6分①設(shè),令,得遞增;令,得遞減,∴,當(dāng)即時(shí),,∴,∵,∴4.故當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立,.......................8分當(dāng)即時(shí),在上遞減,∴.∵,∴,故當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立............................10分②若對(duì)恒成立,則,∴...........11分由①及②得,.故存在實(shí)數(shù),使得對(duì)恒成立,且的取值范圍為................................................11分考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)應(yīng)用.【思路點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題;利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)一步求最值;屬于難題.本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題:可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù),如果函數(shù)較為復(fù)雜,可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題,可參變分離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.恒成立問(wèn)題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題的問(wèn)題,往往可利用參變分離的方法,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理.也可構(gòu)造新函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解.注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.20、(1)
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