泰勒展開式與洛朗展開式講課稿

泰勒(tàilè)級(jí)數(shù)泰勒(tàilè)(Taylor)級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)(jíshù)洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)張紅英張紅英第一頁，共41頁。1.問題(wèntí)的引入§4.3泰勒(tàilè)(Taylor)級(jí)數(shù)2.泰勒級(jí)數(shù)展開(zhǎnkāi)定理3.簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式4.小結(jié)第二頁，共41頁。一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂(shōuliǎn)圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。1.問題(wèntí)的引入問題:任一個(gè)解析函數(shù)(hánshù)能否用冪級(jí)數(shù)來表達(dá)？.內(nèi)任意點(diǎn)如圖:.K.冪級(jí)數(shù)性質(zhì)回顧：第三頁，共41頁。定理（泰勒(tàilè)級(jí)數(shù)展開定理）2.泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)展開(zhǎnkāi)定理第四頁，共41頁。Dk代入(1)分析(fēnxī)：第五頁，共41頁。Dkz聯(lián)合(liánhé)(I),(II)第六頁，共41頁。(*)式第七頁，共41頁。證明(zhèngmíng)：第八頁，共41頁。第九頁，共41頁。注：(2)

展開式的唯一性分析(fēnxī)：設(shè)f(z)用另外的方法展開為冪級(jí)數(shù):第十頁，共41頁。直接(zhíjiē)法

間接法：由展開式的唯一性，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)(dàishù)運(yùn)算、分析運(yùn)算和已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開(zhǎnkāi)成Taylor級(jí)數(shù)的方法：第十一頁，共41頁。3.簡(jiǎn)單初等函數(shù)(hánshù)的泰勒展開式例1

解：直接(zhíjiē)法第十二頁，共41頁。間接(jiànjiē)法第十三頁，共41頁。例2把下列函數(shù)(hánshù)展開成z的冪級(jí)數(shù):解：第十四頁，共41頁。(2)由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)(xìngzhì)得：注:通過奇點(diǎn)判斷收斂(shōuliǎn)范圍。第十五頁，共41頁。4.小結(jié)(xiǎojié)：F(z)在z0點(diǎn)解析第十六頁，共41頁。1.引入§4.4羅朗(Laurent)級(jí)數(shù)(jíshù)2.雙邊(shuāngbiān)冪級(jí)數(shù)3.Laurent級(jí)數(shù)(jíshù)展開定理4.函數(shù)的Laurent級(jí)數(shù)展開式5小結(jié)第十七頁，共41頁?；仡?huígù)：f(z)在z0解析思考：若f(z)在z0點(diǎn)不解析(jiěxī)，但在圓環(huán)域:R1<z-z0<R2內(nèi)解析(jiěxī)，那么，f(z)能否用級(jí)數(shù)表示呢？1.引入f(z)在z0的某一個(gè)(yīɡè)圓域z-z0<R內(nèi)展開成z-z0的冪級(jí)數(shù)。第十八頁，共41頁。例：第十九頁，共41頁。由此推想，若f(z)在R1<z-z0<R2內(nèi)解析(jiěxī),f(z)可以展開成含有負(fù)冪次項(xiàng)的級(jí)數(shù),即第二十頁，共41頁。本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域(línyù)內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)數(shù)和計(jì)算留數(shù)的基礎(chǔ)。第二十一頁，共41頁。2.雙邊(shuāngbiān)冪級(jí)數(shù)---含有(hányǒu)負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)定義(dìngyì)形如---雙邊冪級(jí)數(shù)負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)(包括常數(shù)項(xiàng))部分第二十二頁，共41頁。是一冪級(jí)數(shù)，設(shè)收斂(shōuliǎn)半徑為R2，收斂(shōuliǎn)域：z-z0=R2。收斂(shōuliǎn)域：第二十三頁，共41頁。z0R1R2z0R2R1第二十四頁，共41頁。注：(2)在圓環(huán)域的邊界(biānjiè)z-z0=R1,z-z0=R2上,第二十五頁，共41頁。3.洛朗級(jí)數(shù)展開(zhǎnkāi)定理定理(dìnglǐ)第二十六頁，共41頁。(2)在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)解析(jiěxī)，需要把f(z)展成洛朗（Laurent）級(jí)數(shù)來展開。級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別(fēnbié)稱為洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。第二十七頁，共41頁。(3)

展開式的唯一性一個(gè)在某一圓環(huán)域內(nèi)解析(jiěxī)的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是f(z)的洛朗級(jí)數(shù)。分析(fēnxī)：Dz0R1R2c第二十八頁，共41頁。Dz0R1R2c第二十九頁，共41頁。由唯一性，將函數(shù)展開(zhǎnkāi)成Laurent級(jí)數(shù)，主要用間接法。例1解4函數(shù)(hánshù)的Laurent級(jí)數(shù)展開式第三十頁，共41頁。例2解例3解第三十一頁，共41頁。例4xyo12xyo12xyo12第三十二頁，共41頁。解:無奇點(diǎn)第三十三頁，共41頁。第三十四頁，共41頁。注意(zhùyì)首項(xiàng)第三十五頁，共41頁。解(1)在(最大的)去心鄰域(línyù)例5yxo12第三十六頁，共41頁。(2)在(最大的)去心鄰域(línyù)xo12練習(xí)(liànxí)：第三十七頁，共41頁。(1)Laurent級(jí)數(shù)(jíshù)與Taylor級(jí)數(shù)(jíshù)的不同點(diǎn)：Taylor級(jí)數(shù)(jíshù)先展開求收斂半徑R,找出收斂域。Laurent級(jí)數(shù)(jíshù)先求f(z)的奇點(diǎn)，然后以z0為中心奇點(diǎn)為分隔點(diǎn)，找出z0到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有使f(z)解析的環(huán)域，在環(huán)域上展成級(jí)數(shù)(jíshù)。5小結(jié)(xiǎojié)第三十八頁，共41頁。(3)根據(jù)(gēnjù)區(qū)域判別級(jí)數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)。(1)對(duì)于無理函數(shù)及其它初等函數(shù)的洛朗展開式，可以利用已知基本初等函數(shù)的泰勒展開式，經(jīng)過代換(dàihuàn)、逐次求導(dǎo)、逐次積分等計(jì)算獲得。(4)