廣東省揭陽市灰寨中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣東省揭陽市灰寨中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)雙曲線的離心率為，且它的一條準線為，則此雙曲線的方程為

（）

A．

B．

C．

D．

參考答案：D2.已知復(fù)數(shù)z=，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D【考點】A2：復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】將復(fù)數(shù)進行化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論．【解答】解：z===，∴對應(yīng)的點的坐標為（），位于第四象限，故選：D．3.設(shè)橢圓的一個焦點為，且a=2b，則橢圓的標準方程為（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由已知可設(shè)橢圓的標準方程為，根據(jù)a，b，c之間的關(guān)系，可得橢圓的標準方程．【解答】解：∵a=2b，橢圓的一個焦點為，∴設(shè)橢圓的標準方程為，∴a2﹣b2=3b2=3，故橢圓的標準方程為，故選：A4.

函數(shù)的圖象可能是

參考答案：D略5.設(shè)，向量，，且，則（）A. B. C. D.參考答案：B試題分析：由知，則，可得．故本題答案應(yīng)選B．考點：1.向量的數(shù)量積；2.向量的模．6.下面是2×2列聯(lián)表：

y1y2總計x1ab73x222c47總計7446120則a+b+c等于(

) A．96 B．97 C．99 D．98參考答案：D考點：頻率分布表．專題：概率與統(tǒng)計．分析：根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得出a+b+c+22=120，從而求出a+b+c的值．解答： 解：根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得；a+b+c+22=120∴a+b+c=120﹣22=98．故選：D．點評：本題考查了2×2列聯(lián)表的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．7.(2011·全國新課標)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是

()．A．120

B．720

C．1440

D．5040參考答案：B執(zhí)行程序輸出1×2×3×4×5×6＝720.8.空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是一種反映和評價空氣質(zhì)量的方法，AQI指數(shù)與空氣質(zhì)量對應(yīng)如下表所示：AQI0～5051～100101～150151～200201～300300以上空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

如圖是某城市2018年12月全月的指AQI數(shù)變化統(tǒng)計圖．根據(jù)統(tǒng)計圖判斷，下列結(jié)論正確的是（

）A.整體上看，這個月的空氣質(zhì)量越來越差B.整體上看，前半月的空氣質(zhì)量好于后半月的空氣質(zhì)量C.從AQI數(shù)據(jù)看，前半月的方差大于后半月的方差D.從AQI數(shù)據(jù)看，前半月的平均值小于后半月的平均值參考答案：C【分析】根據(jù)題意可得，AQI指數(shù)越高，空氣質(zhì)量越差；數(shù)據(jù)波動越大，方差就越大，由此逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】從整體上看，這個月AQI數(shù)據(jù)越來越低，故空氣質(zhì)量越來越好；故A，B不正確；從AQI數(shù)據(jù)來看，前半個月數(shù)據(jù)波動較大，后半個月數(shù)據(jù)波動小，比較穩(wěn)定，因此前半個月的方差大于后半個月的方差，所以C正確；從AQI數(shù)據(jù)來看，前半個月數(shù)據(jù)大于后半個月數(shù)據(jù)，因此前半個月平均值大于后半個月平均值，故D不正確．故選：C．【點睛】本題主要考查樣本的均值與方差，熟記方差與均值的意義即可，屬于基礎(chǔ)題型.9.已知雙曲線，M，N是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，P是雙曲線上的動點，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，k1k2≠0，若|k1|+|k2|的最小值為1，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】先假設(shè)點的坐標，代入雙曲線方程，利用點差法，可得斜率之間為定值，再利用|k1|+|k2|的最小值為1，即可求得雙曲線的離心率．【解答】解：由題意，可設(shè)點M（p，q），N（﹣p，﹣q），P（s，t）．∴，且．兩式相減得．再由斜率公式得：k1k2=．∵|k1|+|k2|根據(jù)|k1|+|k2|的最小值為1，可知∴故選B．【點評】本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用點差法，求得斜率之積為定值．10.火星的半徑約是地球半徑的一半，則地球的體積是火星的（

）A.4倍

B.8倍

C.倍

D.倍參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的k的值是

．參考答案：5【考點】程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算并輸出k值．模擬程序的運行過程，用表格對程序運行過程中各變量的值進行分析，不難得到最終的輸出結(jié)果．【解答】解：程序在運行過程中各變量的值如下表示：第一圈

k=3

a=43

b=34第二圈

k=4

a=44b=44第三圈

k=5

a=45b=54

此時a＞b，退出循環(huán)，k值為5故答案為：5．12.在中，，，，則=___________．參考答案：4略13.已知點,過點A的直線:,若可行域的外接圓直徑為12,則實數(shù)的值是_______________.參考答案：14.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，.在區(qū)間(－2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程恰有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_____.參考答案：【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象可畫出：當(dāng)﹣6的圖象．根據(jù)偶函數(shù)的對稱性質(zhì)畫出[0，2]的圖象，再根據(jù)周期性：對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），畫出[2，6]的圖象．畫出函數(shù)y=loga（x+2）（a＞1）的圖象．利用在區(qū)間（﹣2，6]內(nèi)關(guān)于x的f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實數(shù)根，即可得出．【詳解】如圖所示，當(dāng)﹣6，可得圖象．根據(jù)偶函數(shù)的對稱性質(zhì)畫出[0，2]的圖象，再據(jù)周期性：對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），畫出[2，6]的圖象．畫出函數(shù)y=loga（x+2）（a＞1）的圖象．∵在區(qū)間（﹣2，6]內(nèi)關(guān)于x的f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實數(shù)根，∴l(xiāng)oga8＞3，loga4＜3，∴4＜a3＜8，解得＜a＜2．故答案為：【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性、周期性，考查了方程的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．

15.計算，可以采用以下方法：構(gòu)造等式：，兩邊對x求導(dǎo)，得，在上式中令，得．類比上述計算方法，計算_________．參考答案：略16.拋物線y2＝－8x的準線方程為

參考答案：x=-117.函數(shù)的定義域為

▲

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.由甲、乙、丙三個人組成的團隊參加某項闖關(guān)游戲，第一關(guān)解密碼鎖，3個人依次進行，每人必須在1分鐘內(nèi)完成，否則派下一個人．3個人中只要有一人能解開密碼鎖，則該團隊進入下一關(guān)，否則淘汰出局．根據(jù)以往100次的測試，分別獲得甲、乙解開密碼鎖所需時間的頻率分布直方圖．（1）若甲解開密碼鎖所需時間的中位數(shù)為47，求a、b的值，并分別求出甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率；（2）若以解開密碼鎖所需時間位于各區(qū)間的頻率代替解開密碼鎖所需時間位于該區(qū)間的概率，并且丙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率為0.5，各人是否解開密碼鎖相互獨立．①求該團隊能進入下一關(guān)的概率；②該團隊以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望達到最小，并說明理由．參考答案：（1），，甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率分別是0.9，0.7；（2）①0.985；②先派出甲，再派乙，最后派丙.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中左右兩邊矩形面積均為0.5計算出中位數(shù)，可得出a、b的值，再分別計算甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率值；（2）①利用獨立事件概率的乘法公式可計算出所求事件的概率；②分別求出先派甲和先派乙時隨機變量的數(shù)學(xué)期望，比較它們的大小，即可得出結(jié)論?！驹斀狻浚?）甲解開密碼鎖所需時間的中位數(shù)為47，，解得；

，解得；

∴甲在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率是；

乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率是；（2）由（1）知，甲在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率是0.9，乙是0.7，丙是0.5，且各人是否解開密碼鎖相互獨立；①令“團隊能進入下一關(guān)”的事件為，“不能進入下一關(guān)”的事件為，，

∴該團隊能進入下一關(guān)的概率為；②設(shè)按先后順序自能完成任務(wù)的概率分別p1，p2，p3，且p1，p2，p3互不相等，根據(jù)題意知X的取值為1，2，3；則，，，，，

若交換前兩個人的派出順序，則變?yōu)?，由此可見，?dāng)時，交換前兩人的派出順序可增大均值，應(yīng)選概率大的甲先開鎖；若保持第一人派出的人選不變，交換后兩人的派出順序，，∴交換后的派出順序則變?yōu)?，?dāng)時，交換后的派出順序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，這樣能使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）達到最?。军c睛】本題考查頻率分布直方圖中位數(shù)的計算、離散型隨機變量分布列與數(shù)學(xué)期望，在作決策時，可以依據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的大小關(guān)系來作出決策，考查分析問題的能力，屬于難題。19.(13分)已知函數(shù)，()(1)證明：函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)；（2）解關(guān)于的不等式，其中.參考答案：（1），因為，所以所以函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)(2),所以是奇函數(shù)由（1）知函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以整理得，即當(dāng)時,不等式的解集為；當(dāng)時,不等式的解集為當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為20.）已知在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別是，且．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，的面積等于，求的大?。?/p>

參考答案：解：（1）由得

……………2分

又

…5分（2）由已知得

………8分又∴

………11分解得

∴、的值都是2.

…………13分

略21.如圖，斜率為1的直線過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，與拋物線交于兩點A．B，將直線AB向左平移p個單位得到直線l，N為l上的動點．（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；（2）在（1）的條件下，求?的最小值．參考答案：【考點】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義得到|AB|=x1+x2+p=4p，再由已知條件，得到拋物線的方程；（2）設(shè)直線l的方程及N點坐標和A（x1，y1），B（x2，y2），利用向量坐標運算，求得?的以N點坐標表示的函數(shù)式，利用二次函數(shù)求最值的方法，可求得所求的最小值．【解答】解：（1）由條件知lAB：y=x﹣，則，消去y得：x2﹣3px+p2=0，則x1+x2=3p，由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=4p又因為|AB|=8，即p=2，則拋物線的方程為y2=4x．（2）直線l的方程為：y=x+，于是設(shè)N（x0，x0+），A（x1，y1），B（x2，y2）則=（x1﹣x0，y1﹣x0﹣），=（x2﹣x0，y2﹣x0﹣）即?=x1x2﹣x0（x1+x2）++y1y2﹣（x0+）（y1+y2）+（x0+）2，由第（1）問的解答結(jié)合直線方程，不難得出x1+x2=3p，x1x2=p2，且y1+y2=x1+x2﹣p=2p，y1y2=（x1﹣）（x2﹣）=﹣p2，則?=2﹣4px0﹣p2=2（x0﹣p）2﹣p2，當(dāng)x0=時，?的最小值為﹣p2．【點評】此題考查拋物線的定義，及向量坐標運算．2