廣東省梅州市東石中學(xué)高一數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

廣東省梅州市東石中學(xué)高一數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若奇函數(shù)f(x)在[1,3]上為增函數(shù)且有最小值0，則它在[－3，－1]上A．是減函數(shù)，有最大值0

B．是減函數(shù)，有最小值0C．是增函數(shù)，有最大值0

D．是增函數(shù)，有最小值0參考答案：C2.若tanα＜0，cosα＜0，則α的終邊所有的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點(diǎn)】三角函數(shù)值的符號(hào)．【分析】根據(jù)題意，利用四個(gè)象限三角函數(shù)的符號(hào)，分析可得若tanα＜0，角α的終邊在第二、四象限；cosα＜0，角α的終邊在第二、三象限，以及x負(fù)半軸，綜合即可的答案．【解答】解：根據(jù)題意，若tanα＜0，角α的終邊在第二、四象限；cosα＜0，角α的終邊在第二、三象限，以及x負(fù)半軸．所以角α的終邊在第二象限；故選：B．3.已知是等差數(shù)列，，則過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為（

）A．4

B．

C．－4

D．參考答案：A4.已知，則（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)特殊值排除A,B選項(xiàng)，根據(jù)單調(diào)性選出C,D選項(xiàng)中的正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，故A,B兩個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于，故，所以C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故本小題選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)值，考查對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.5.已知集合，則集合=(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B6.直線3x+4y=b與圓x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，則b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12參考答案：D【考點(diǎn)】圓的切線方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；直線與圓．【分析】化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，由圓心到直線的距離等于圓的半徑列式求得b值．【解答】解：由圓x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑為1，∵直線3x+4y=b與圓x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圓心（1，1）到直線3x+4y﹣b=0的距離等于圓的半徑，即，解得：b=2或b=12．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7.若圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則半徑的取值范圍是(

)A．（0,2）

B．（1,2）

C．（1,3）

D．（2,3）參考答案：C略8.若，，則等于

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D9.設(shè)a，b，c為△ABC中的三邊長(zhǎng)，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.參考答案：B【分析】由，則，再根據(jù)三角形邊長(zhǎng)可以證得，再利用不等式和已知可得，進(jìn)而得到，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，即可求解．【詳解】由題意，記，又由，則，又為△ABC的三邊長(zhǎng)，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨設(shè)，且為的三邊長(zhǎng)，所以．令，則，當(dāng)時(shí)，可得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形，綜合了函數(shù)和不等式的綜合應(yīng)用，以及基本不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于綜合性較強(qiáng)的題，難度較大，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于難題．10.已知，則a、b、c的大小關(guān)系為(

)A. B.C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性性，得到，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到，即可得到答案.【詳解】由題意，冪函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的單調(diào)性，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對(duì)a,bR,記max{a,b}=函數(shù)f（x）＝max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是_______________________________參考答案：12.設(shè)數(shù)列滿足（），其中為其前項(xiàng)和.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若且對(duì)任意的正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：(也可直接證明).

略13.不等式組與不等式同解，則的取值范圍是____.參考答案：試題分析：不等式的解集為，不等式的解，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，所以不等式組的解，當(dāng)時(shí)，不等式組無(wú)解，當(dāng)時(shí)，不等式組的解為，當(dāng)時(shí)，不等式組的解為，綜上，的取值范圍是.所以答案應(yīng)填：．考點(diǎn)：一元二次不等式的解法．【方法點(diǎn)睛】解一元二次不等式的策略：（1）如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式；（2）求出相應(yīng)一元二次方程的判別式及根；（3）根據(jù)不等式寫(xiě)出解集．解決本題的關(guān)鍵是使不等式的解集為的解集的子集即可，考查一元二次不等式的解法及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．14.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)F是線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則直線A1F與平面BDC1所成的最大角的余弦值為_(kāi)_______.參考答案：【分析】作的中心，可知平面，所以直線與平面所成角為，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，最大，求出即可?！驹斀狻吭O(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，連接，由于為正方體，所以為正四面體，棱長(zhǎng)為，為等邊三角形，作的中心，連接，，由于為正四面體，為的中心，所以平面，所以為直線與平面所成角，則當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，最大，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，由于為正四面體，棱長(zhǎng)為，等邊三角形，為的中心，所以，，所以直線與平面所成的最大角的余弦值為故直線與平面所成的最大角的余弦值為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查線面所成角，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，最大，考查學(xué)生的空間想象能力以及計(jì)算能力。15.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是

.參考答案：16.定義某種新運(yùn)算：S＝ab的運(yùn)算原理如圖所示，則54－36＝

．

參考答案：1由題意知54＝5×(4＋1)＝25，36＝6×(3＋1)＝24，所以54－36＝1．17.若向量與的夾角為30°，且的夾角的余弦值為。參考答案：

解析：設(shè)與的夾角為θ，則（1）

又

即：

即：（4）

∴將（2）（3）（4）代入（1）得三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分為14分)

已知函數(shù)（1）求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）求在上的最大值和最小值參考答案：(1)增函數(shù)(2),

略19.已知向量.(1)若，求的值；(2)若，求的值.參考答案：（1）；（2）.試題分析：（1）由向量垂直知兩向量的數(shù)量積為0，得，代入待求式可得；（2）先求出，再由向量模運(yùn)算得，結(jié)合求得，最后由兩角和的正弦公式可得．試題解析：（1）由可知，，所以，所以.（2）由可得，，即，①又，且②，由①②可解得，，所以.20.已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)F1、F2與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為4的正三角形．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）已知過(guò)橢圓C上一點(diǎn)（x0，y0），與橢圓C相切的直線方程為=1．過(guò)橢圓C上任意一點(diǎn)P作橢圓C的切線與直線F1P的垂線F1M相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程；（Ⅲ）若切線MP與直線x=﹣2交于點(diǎn)N，求證：為定值．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】綜合題；方程思想；待定系數(shù)法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）由題意求出c=2，a=4，可得b的值，則求出橢圓方程．（Ⅱ）設(shè)出切線方程，表示出MF1的方程，繼而根據(jù)條件求出軌跡方程．（Ⅲ）依題意及（Ⅱ），點(diǎn)M、N的坐標(biāo)可表示為M（﹣8，yM）、N（﹣2，yN），點(diǎn)N在切線MP上，由①式得yN=，點(diǎn)M在直線MF1上，由②式得yM=，由上述2式求解．【解答】解：（Ⅰ）F1、F2與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為4的正三角形，可得2c=a=4，∴c=2，b===2，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1；

（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0），由（Ⅰ），F(xiàn)1（﹣2，0），設(shè)P（x0，y0），M（x，y），過(guò)橢圓C上過(guò)P的切線方程為：+=1，①直線F1P的斜率=，則直線MF1的斜率=﹣，于是直線MF1的方程為：y=﹣（x+2），即yy0=﹣（x0+2）（x+2），②①、②聯(lián)立，解得x=﹣8，∴點(diǎn)M的軌跡方程為x=﹣8；

（Ⅲ）證明：依題意及（Ⅱ），點(diǎn)M、N的坐標(biāo)可表示為M（﹣8，yM）、N（﹣2，yN），點(diǎn)N在切線MP上，由①式得yN=，點(diǎn)M在直線MF1上，由②式得yM=，|NF1|2=yN2=，|MF1|2=[（﹣2）﹣（﹣8）]2+yM2=，∴（）2=?=?，③注意到點(diǎn)P在橢圓C上，即+=1，于是y02=12﹣x02代人③式并整理得，（）2=，∴為定值．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓方程和軌跡方程的求解方法和直線與橢圓的綜合問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于難度較大的題目．21.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+n2﹣1，數(shù)列{bn}滿足3n?bn+1=（n+1）an+1﹣nan，且b1=3．（Ⅰ）求an，bn；（Ⅱ）設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求Tn，并求滿足Tn＜7時(shí)n的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】8K：數(shù)列與不等式的綜合．【分析】（Ⅰ）在已知數(shù)列遞推式中取n=n﹣1得另一遞推式，兩式作差后整理得到an﹣1=2n﹣1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求，把a(bǔ)n代入3n?bn+1=（n+1）an+1﹣nan，整理后求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，然后利用作差法說(shuō)明{Tn}為遞增數(shù)列，通過(guò)求解T3，T4的值得答案．【解答】解：（Ⅰ）由，得（n≥2），兩式相減得，an=an﹣an﹣1+2n﹣1，∴an﹣1=2n﹣1，則an=2n+1．由3n?bn+1=（n+1）an+1﹣nan，∴3n?bn+1=（n+1）（2n+3）﹣n（2n+1）=4n+3．∴．∴當(dāng)n≥2時(shí)，，由b1=3適合上式，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴①．②．