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廣東省梅州市興寧龍?zhí)锫殬I(yè)高級(jí)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù),則()A.
B.3
C.
D.參考答案:D2.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程是ρsin2θ=3cosθ,則直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為(
)A. B.6 C.12 D.7參考答案:C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程化成普通方程.【專題】坐標(biāo)系和參數(shù)方程.【分析】先將參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,判斷出直線l過(guò)拋物線y2=3x焦點(diǎn)F(,0),設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)立方程消去y后,再由韋達(dá)定理求出x1+x2,代入焦點(diǎn)弦公式求值即可.解:由(t為參數(shù))得,直線l普通方程是:,由ρsin2θ=3cosθ得,ρ2sin2θ=3ρcosθ,即y2=3x,則拋物線y2=3x的焦點(diǎn)是F(,0),所以直線l過(guò)拋物線y2=3x焦點(diǎn)F(,0),設(shè)直線l與曲線C交于點(diǎn)A(x1、y1)、B(x2、y2),由得,16x2﹣168x+9=0,所以△>0,且x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+p=+=12,故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,以及直線與拋物線相交時(shí)焦點(diǎn)弦的求法,屬于中檔題.3.已知F是雙曲線E:﹣=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作E的一條漸近線的垂線,垂足為P,線段PF與E相交于點(diǎn)Q,記點(diǎn)Q到E的兩條漸近線的距離之積為d2,若|FP|=2d,則該雙曲線的離心率是()A. B.2 C.3 D.4參考答案:B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】E上任意一點(diǎn)Q(x,y)到兩條漸近線的距離之積為d1d2===d2,F(xiàn)(c,0)到漸近線bx﹣ay=0的距離為=b=2d,求出可求雙曲線的離心率.【解答】解:E上任意一點(diǎn)Q(x,y)到兩條漸近線的距離之積為d1d2===d2,F(xiàn)(c,0)到漸近線bx﹣ay=0的距離為=b=2d,∴,∴e==2,故選B.4.直線l過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,交拋物線于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)B在x軸下方,若直線l的傾斜角θ≤,則|FB|的取值范圍是(
) A.(1,4+2] B.(1,3+2] C.(2,4+2] D.(2,6+2]參考答案:A考點(diǎn):拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析:如圖所示,拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0).當(dāng)θ=時(shí),直線l的斜率k=﹣1,直線l的方程為y=﹣(x﹣1),與拋物線方程聯(lián)立可得x2﹣6x+1=0,解得x=3±2,取x=3+2,可得|FB|的最大值為3+2+1.由于直線l的傾斜角θ≤,即可得出|FB|的取值范圍.解答: 解:如圖所示,拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0).當(dāng)θ=時(shí),直線l的斜率k=﹣1,直線l的方程為y=﹣(x﹣1),聯(lián)立,化為x2﹣6x+1=0,解得x=3±2,取x=3+2,可得|FB|的最大值為3+2+1=4+2.∵直線l的傾斜角θ≤,∴|FB|的取值范圍是(1,4+2].故選:A.點(diǎn)評(píng):本題考查了直線與拋物線相交問(wèn)題、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.若向量,滿足,,且,則與的夾角為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C6.要得到函數(shù)的圖象,可由函數(shù)的圖像(
)A.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位
B.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位
C.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位
D.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位
參考答案:D7.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有且時(shí),,則
時(shí)(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:B略8.把[0,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)x分別轉(zhuǎn)化為[0,4]和[4,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù),,需實(shí)施的變換分別為A.
B.
C.
D.參考答案:C由隨機(jī)數(shù)的變換公式可得,.故選C.
9.已知集合=(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:C10.在2011年8月舉行的深圳世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)中,將某5名志愿者分配到3個(gè)場(chǎng)館參加接待工作,每個(gè)場(chǎng)館至少安排一名志愿者的方案種數(shù)為(
)
A.540
B.300
C.180
D.150參考答案:D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_________.參考答案:略12.已知函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則的值等于
.參考答案:113.已知,正實(shí)數(shù)滿足,且,若在區(qū)間上的最大值為2,則=_______。參考答案:14.已知的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是第項(xiàng),則正整數(shù)的值為
.參考答案:15.△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,且a2=b(b+c),則=.參考答案:【考點(diǎn)】余弦定理.【分析】利用余弦定理列出關(guān)系式,將已知等式變形為a2=b2+bc代入,約分后再將b+c=代入,利用正弦定理化簡(jiǎn)得到sinA=2sinBcosB=sin2B,進(jìn)而得到A=2B,即可求出所求式子的值.【解答】解:∵a2=b(b+c),即a2=b2+bc,b+c=,∴由正弦、余弦定理化簡(jiǎn)得:cosB======,則sinA=sin2B,即A=2B或A+2B=π,若A+2B=π,∵A+B+C=π,∴B=C,即b=c,由條件可得a2=2b2,cosA==0,即有A=,B=C=,∴A=2B,則=.故答案為:16.在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足條件動(dòng)點(diǎn)Q在曲
線(x-1)2+y2=上,則|MQ|的最小值為A.
B.
C.1-
D.-
參考答案:C作出平面區(qū)域,由圖形可知|MQ|的最小值為1-.17.已知的值如表所示:234546如果與呈線性相關(guān)且回歸直線方程為,則
;參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分13分)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且2.試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=,{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求證:Tn<參考答案:解:(1),,,,為等差數(shù)列,公差為2,,(2)
ks5u19.(13分)如圖,DE把邊長(zhǎng)為2a的等邊△ABC分成面積相等的兩部分,D在AB上,E在AC上,設(shè)AD=x(x≥a),DE=y,(1)試用x表示y;(2)求DE的最小值.參考答案:【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法;函數(shù)的值域.【專題】解三角形.【分析】(1)由面積公式及已知DE把邊長(zhǎng)為2a的等邊△ABC分成面積相等的兩部分,可用x表示AE,在△ADE中,由余弦定理得到用x表示y;(2)根據(jù)上述表達(dá)式,使用基本不等式即可求得y的最小值.【解答】解:(1)∵△ABC是邊長(zhǎng)為2a的等邊三角形,∴,又,且已知,∴=,解得AE=.在△ADE中,由余弦定理得,∴(a≤x≤2a).(2)由基本不等式可得=4a2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào).∴=,即當(dāng)x=時(shí),y的最小值是.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積、余弦定理及基本不等式,充分理解以上知識(shí)是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=2lnx﹣ax+a(a∈R).(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線與直線2x+y﹣1=0垂直,求a的值;(2)討論f(x)的單調(diào)性.參考答案:【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算2﹣a=,求出a的值即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【解答】解:(1)f′(x)=﹣a,f′(1)=2﹣a,直線2x+y﹣1=0的斜率是﹣2,故2﹣a=,解得:a=;(2)f′(x)=,(x>0),a≤0時(shí),f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)遞增,a>0時(shí),令f′(x)>0,解得:0<x<,令f′(x)<0,解得:x>,故f(x)在(0,)遞增,在(,+∞)遞減.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線方程問(wèn)題,考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題.21.(本小題滿分14分)已知向量,設(shè)函數(shù). (1)求的最小正周期. (2)求在上的最大值和最小值
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