廣東省梅州市總工會(huì)職工中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

廣東省梅州市總工會(huì)職工中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知i是虛數(shù)單位，則＝（

）A．1－2i

B．2－i

C．2＋i

D．1＋2i參考答案：D略2.已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左右焦點(diǎn)分別為，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形．若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B3.已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的值域是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)對(duì)稱軸之間距離可求得最小正周期，得到；利用平移變換得到，根據(jù)為奇函數(shù)可求得，從而可得到解析式；根據(jù)的范圍求得的范圍，從而可求得函數(shù)的值域.【詳解】由相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，可知最小正周期為即：

向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得：為奇函數(shù)

，即：，又

當(dāng)時(shí)，

本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的值域問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象平移變換的原則得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而可通過(guò)整體對(duì)應(yīng)的方式，結(jié)合余弦函數(shù)的解析式求解出函數(shù)的值域.4.某中學(xué)高中一年級(jí)有人，高中二年級(jí)有人，高中三年級(jí)有人，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為人的樣本，則高中二年級(jí)被抽取的人數(shù)為A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知、、為互不重合的三個(gè)平面，命題若，，則；命題若上存在不共線的三點(diǎn)到的距離相等，則.對(duì)以上兩個(gè)命題，下列結(jié)論中正確的是（

） A．命題“且”為真 B．命題“或”為假 C．命題“或”為假 D．命題“且”為假參考答案：C略6.如圖所示，三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=，則三棱錐P﹣ABC外接球的體積是（）A． B． C． D．2π參考答案： C【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】構(gòu)造補(bǔ)充圖形為長(zhǎng)方體，幾何體三棱錐P﹣ABC的外接球，與棱長(zhǎng)為1，1，．長(zhǎng)方體的外接球應(yīng)該是同一個(gè)外接球，再用長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)求解外接球的半徑，即可求解體積．【解答】解：∵在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=，∴畫出幾何圖形，可以構(gòu)造補(bǔ)充圖形為長(zhǎng)方體，棱長(zhǎng)為1，1，．∵對(duì)角線長(zhǎng)為（）2+（）2=2．∴三棱錐P﹣ABC的外接球的半徑為1，體積為×π×13=π．故選：C．7.下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是(

)．A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”．B．“”是“”的必要不充分條件.C．命題“若，則”的逆否命題為真命題.D．命題“使得”的否定是：“均有”．參考答案：C略8.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若（A）12

（B）18

（C）24

（D）42參考答案：答案：C解析：S2，S4-S2，S6-S4成等差數(shù)列，即2，8，S6-10成等差數(shù)列，S6=24，選C9.已知正四棱柱中，，為的中點(diǎn)，則直線與平面的距離為(

)A．2

B．

C．

D．1參考答案：D10.已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB=AC=5，BC=6，PA=3，則點(diǎn)A到平面PBC的距離為(

)A．4 B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】利用等體積法，求解點(diǎn)A到平面PBC的距離．【解答】解：PA垂直于△ABC所在的平面，AB=AC=5，BC=6，PA=3，可得PB=PC==．底面三角形ABC的面積為：=12，棱錐是體積為：=12．點(diǎn)A到平面PBC的距離為h．VA﹣PBC==?h=5h，可得：5h=12，h=，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到平面的距離距離公式的求法，考查計(jì)算能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示，OA=1，在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的半圓弧上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則△AOB的面積小于的概率為

．參考答案：考點(diǎn)：幾何概型．專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：利用OA=1，△AOB的面積小于，可得0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π，即可求出△AOB的面積小于的概率．解答： 解：∵OA=1，△AOB的面積小于，∴＜，∴sin∠AOB＜，∴0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π∴△AOB的面積小于的概率為．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查△AOB的面積小于的概率，確定0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π是關(guān)鍵．12.已知平面向量，的夾角為60°，，，則參考答案：13.在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1，2，3，4，5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為6的概率是．參考答案：考點(diǎn)： 等可能事件的概率．專題： 計(jì)算題．分析： 根據(jù)題意，列舉可得從5個(gè)小球中隨機(jī)取出2個(gè)小球的標(biāo)注的數(shù)字情況，分析可得其中滿足小球標(biāo)注的數(shù)字之和為6的情況數(shù)目，由等可能事件的概率公式，計(jì)算可得答案．解答： 解：從5個(gè)小球中隨機(jī)取出2個(gè)，其標(biāo)注的數(shù)字情況有（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（3，4）、（3，5）、（4，5），共10種情況，其中小球標(biāo)注的數(shù)字之和為6的情況有（1，5）、（2，4），有2種情況，則其概率為=；故答案為．點(diǎn)評(píng)： 本題考查等可能事件的概率計(jì)算，關(guān)鍵是正確列舉全部的基本事件，從而得到基本事件的數(shù)目和符合要求的基本事件的數(shù)目．14.若一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則此圓柱的體積為＿＿＿＿參考答案：略15.某地教育部門欲派5名工作人員到3所學(xué)校進(jìn)行地震安全教育，每所學(xué)校至少1人，至多派2人，則不同的安排方案共有＿＿＿種。（用數(shù)字作答）參考答案：16.（5分）已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x）+1，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=|3x﹣1|﹣1，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x+a）＜f（x）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）考點(diǎn)： 抽象函數(shù)及其應(yīng)用．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 先把絕對(duì)值函數(shù)化為分段函數(shù)，再根據(jù)圖象的平移得到函數(shù)f（x）的圖象，觀察函數(shù)的圖象，即可求出a的范圍．解答： ∵x∈[0，1]時(shí)，f（x）=|3x﹣1|﹣1，∴當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f（x）=﹣3x，x∈（，1]時(shí)，f（x）=3x﹣2，由f（x+1）=f（x）+1，可得到f（x）大致圖形為，如圖所示由圖可以看出，當(dāng)x=時(shí)，即D點(diǎn)．若a≥0，則f（+a）≥f（），不滿足題意．所以a＜0．由圖中知，比D小的為C左邊的區(qū)域，且不能為A點(diǎn)．C點(diǎn)為f（﹣），此時(shí)a=﹣．所以a的范圍是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）故答案為：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）點(diǎn)評(píng)： 本題考查了分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及含有參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題．17.將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變。所得到的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是

；

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知常數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若數(shù)列滿足：對(duì)于任意給定的正整數(shù)，是否存在使若存在，求的值（只要寫出一組即可）；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：（Ⅰ）∵∴，，

┄┄┄2分

∴

化簡(jiǎn)得：（常數(shù)），

∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列；

┄┄┄4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，，

∴，∴

①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，∵，∴，

令，∴

∵

∴，且，∴；

┄7分

②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，∵，∴，

令，∴

∵

∴，且，∴；

綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是．

┄10分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，又∵，

設(shè)對(duì)任意正整數(shù)k，都存在正整數(shù)，使，

∴，∴

┄┄┄12分

令，則（或）

∴（或）

┄16分19.已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊依次為a，b，c，其中b=2．（Ⅰ）若asin2B=bsinA，求B；（Ⅱ）若a，b，c成等比數(shù)列，求△ABC面積的最大值．參考答案：【分析】（Ⅰ）根據(jù)二倍角公式和正弦定理可得cosB，繼而求出B，（Ⅱ）據(jù)題意得出，b2=ac，利用余弦定理，基本不等式求解cosB≥，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性得出答案【解答】解：（Ⅰ）由，得，由正弦定理得，得，又∵B∈（0，π），∴，（Ⅱ）若a，b，c成等比數(shù)列，則有b2=ac=4，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立，∵y=cosx在（0，π）單調(diào)遞減，且，∴B的最大值為．∴，當(dāng)時(shí)，△ABC面積取得最大值．20.如圖，A，B是橢圓+=1（a＞b＞0））的兩個(gè)頂點(diǎn)．|AB|=，直線AB的斜率為﹣．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l平行于AB，與x，y軸分別交于點(diǎn)M，N，與橢圓相交于C，D．證明：△OCM的面積等于△0DN的面積．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）利用|AB|=，直線AB的斜率為﹣，建立方程組，即可求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及三角形的面積公式，即可證得結(jié)論．【解答】（Ⅰ）解：依題意，得

…解得a=2，b=1．

…所以橢圓的方程為．

…（Ⅱ）證明：由于l∥AB，設(shè)直線l的方程為y=﹣，將其代入，消去y，整理得2x2﹣4mx+4m2﹣4=0．

…設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）．所以x1+x2=2m，x1x2=2m2﹣2…記△OCM的面積是S1，△ODN的面積是S2．由題意M（2m，0），N（0，m），因?yàn)閤1+x2=2m，所以=|﹣x1+2m|=|x2|，…∵．

∴S1=S2

…21.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣mx（m＞0）．（I）若m=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（II）求函數(shù)f（x）的最大值g（m），并求使g（m）＞m﹣2成立的m取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值g（m），設(shè)h（m）=g（m）﹣（m﹣2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．【解答】解：（I）若m=1，則f（x）=lnx﹣x．所以．所以f'（1）=0，f（1）=﹣1．所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=﹣1．…（II）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，f'（x）＞0；時(shí)，f'（x）＜0．所以f（x）在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．所以f（x）的最大值．g（m）＞m﹣2，即g（m）﹣（m﹣2）＞0．．設(shè)h（m）=g（m）﹣（m﹣2）=﹣lnm﹣m+1．因?yàn)?，所以h（m）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．又因?yàn)閔（1）=0所以當(dāng)0＜m＜1時(shí)，h（m）＞h（1）=0．所以m取值范圍為（0，1）．…22.某高校在2013年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組得到的頻率分布表如下：

組號(hào)分組頻數(shù)頻率第一組[160,165)50．050第二組[165,170)0．350第三組[170,175)30第四組[175,180)0．200第五組[180,185]100．100合計(jì)

1001．00（1）為了能選拔出優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績(jī)高的第三、四、五組中用分層抽樣法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，試確定，，的值并求第三、四、五組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試；（2）在（1）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官的面試，求第四組中至少有一名學(xué)生被A考官面試的概率.參考答案：解：（1）由頻率分布表知，， ------------3分因?yàn)榈谌⑺?、五組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣法在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為：第三組人，第四組人，第五組人．所以第三、四、五組分別抽取3人、2人、1人進(jìn)入第二輪面試。-----6分（2）設(shè)第三組的3名學(xué)生為A1、A2、A3，第四組的