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廣東省梅州市新城中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列中,則等于(
)
A.4018
B.2009
C.2
D.0參考答案:A2.設(shè)拋物線x2=2py(P>0),M為直線y=﹣2p上任意一點(diǎn),過(guò)M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B,A,B,M的橫坐標(biāo)分別為XA,XB,XM則()A.XA+XB=2XM B.XA?XB=XC.+= D.以上都不對(duì)參考答案:A【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】設(shè)出A,B的坐標(biāo),對(duì)拋物線的方程進(jìn)行求導(dǎo),求得AM和BM的斜率,因此可表示出MA的直線方程和直線MB的方程,聯(lián)立求得2xM=xA+xB,即可得出結(jié)論.【解答】解:由x2=2py得y=,得y′=,所以直線MA的方程為y+2p=(x﹣xM),直線MB的方程為y+2p=(x﹣xM),所以,+2p=(xA﹣xM)①,+2p=(xB﹣xM)②由①、②得2xM=xA+xB.故選A.3.已知集合U=R,集合A={x|1<2x<4},B={x|x2﹣1≥0}則A∩(?UB)=()A.{x|1<x<2} B.{x|0<x<1|} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x≤1}參考答案:B【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.【分析】求出A與B中不等式的解集分別確定出A與B,找出A與B補(bǔ)集的交集即可.【解答】解:由A中不等式變形得:20=1<2x<4=22,解得:0<x<2,即A={x|0<x<2},由B中不等式變形得:(x+1)(x﹣1)≥0,解得:x≤﹣1或x≥1,即B={x|x≤﹣1或x≥1},∴?UB={x|﹣1<x<1},則A∩(?UB)={x|0<x<1},故選:B.4.已知函數(shù),在[-3,3]的大致圖象如圖所示,則可?。?/p>
)A. B.π C.2π D.4π參考答案:B分析:從圖像可以看出為偶函數(shù),結(jié)合的形式可判斷出為偶函數(shù),故得的值,最后通過(guò)得到的值.詳解:為上的偶函數(shù),而為上的偶函數(shù),故為上的偶函數(shù),所以.因?yàn)?,故,.因,故,所以,.因,故,所以.綜上,,故選B.點(diǎn)睛:本題為圖像題,考察我們從圖形中撲捉信息的能力,一般地,我們需要從圖形得到函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值點(diǎn)和函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值,然后利用所得性質(zhì)求解參數(shù)的大小或取值范圍.5.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm﹣1=5,Sm=﹣11,Sm+1=21,則m=(
) A.3 B.4 C.5 D.6參考答案:C考點(diǎn):等比數(shù)列的性質(zhì).專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析:根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,建立方程組即可解得m的值.解答: 解:在等比數(shù)列中,∵Sm﹣1=5,Sm=﹣11,Sm+1=21,∴am=Sm﹣Sm﹣1=﹣11﹣5=﹣16,am+1=Sm+1﹣Sm=21﹣(﹣11)=32,則公比q=,∵Sm=﹣11,∴,①又,②兩式聯(lián)立解得m=5,a1=﹣1,故選:C.點(diǎn)評(píng):本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的計(jì)算和應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力.6.已知命題,,則()
A., B.,
C.,
D.,參考答案:C略7.在棱長(zhǎng)為1的正方體中,分別是線段上的動(dòng)點(diǎn),則線段的最小值為(
)A
B
C
D參考答案:A略8.已知函數(shù)是冪函數(shù)且是上的增函數(shù),則的值為(
)A.2 B.-1 C.-1或2 D.0
參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.B8
【答案解析】B
解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(m2﹣m﹣1)x﹣5m﹣3是冪函數(shù),所以m2﹣m﹣1=1,即m2﹣m﹣2=0,解得m=2或m=﹣1.又因?yàn)閮绾瘮?shù)在(0,+∞),所以﹣5m﹣3>0,即m<﹣,所以m=﹣1.故選B.【思路點(diǎn)撥】依題意利用冪函數(shù)的概念,由m2﹣m﹣1=1,且﹣5m﹣3>0即可求得m的值.9.如圖,有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為(
)A. B.C. D.參考答案:A10.sin()=A.
B.
C.
D.參考答案:A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在曲線和上,如圖所示,若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中,則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是______.參考答案:與相交的陰影部分面積為化簡(jiǎn)得則與相交的陰影面積為半圓即故質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是
12.函數(shù)y=﹣x(x≥0)的最大值為
.參考答案:【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義.【專題】計(jì)算題;導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.【分析】求出y′,討論自變量x的范圍討論函數(shù)單調(diào)性得到y(tǒng)的最大值即可.【解答】解:∵y=﹣x(x≥0),∴y′=﹣1,∴x∈(0,),y′>0,x∈(,+∞),y′<0,∴x=時(shí),函數(shù)y=﹣x(x≥0)的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生求導(dǎo)數(shù)的能力,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力.13.方程的曲線即為函數(shù)的圖象,對(duì)于函數(shù),下列命題中正確的是
(填寫(xiě)處所有正確命題的序號(hào))
①函數(shù)在R上單調(diào)遞減函數(shù);②函數(shù)的值域?yàn)镽;③函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限;④函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。參考答案:①②③14.若向量,的夾角為120°,則=.參考答案:【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】利用已知條件通過(guò)向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解向量的模即可.【解答】解:向量,的夾角為120°,則===.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用,向量的模的求法,考查計(jì)算能力.15.二項(xiàng)式(x3-)5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為
.參考答案:-1016.設(shè)是異面直線,給出下列四個(gè)命題:①存在平面,使;②存在惟一平面,使與距離相等;③空間存在直線,使上任一點(diǎn)到距離相等;④夾在異面直線間的三條異面線段的中點(diǎn)不能共線.其中正確命題的個(gè)數(shù)有.參考答案:答案:①②③17.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,為圖象的最高點(diǎn),、為圖象與軸的交點(diǎn),且為正三角形(1)求的值及函數(shù)的值域;(2)若,且,求的值.參考答案:(1),;(2)試題分析:(1)利用兩角和正弦公式和降冪公式化簡(jiǎn),得到的形式,利用公式計(jì)算周期,求三角函數(shù)的最小正周期一般化成先化簡(jiǎn)成,,形式,利用周期公式即可;(2)利用平方關(guān)系解決問(wèn)題時(shí),要注意開(kāi)方運(yùn)算結(jié)果的符號(hào),需要根據(jù)角的范圍確定,二是利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí),(3)三角函數(shù)的給值求值的問(wèn)題一般是正用公式將“復(fù)角”展開(kāi),看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值,然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角三角函數(shù)值,代入展開(kāi)即可,注意角的范圍.試題解析:解:(1)由已知可得:又由于正三角形的高為2,則所以,函數(shù)所以,函數(shù)(2)因?yàn)椋?)有
由所以,故.考點(diǎn):1、求三角函數(shù)的值域;2、三角函數(shù)給值求值的問(wèn)題.19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(﹣1,1),P是動(dòng)點(diǎn),且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP+kOA=kPA.(I)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;(Ⅱ)若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一個(gè)點(diǎn),且,直線OP與QA交于點(diǎn)M,問(wèn):是否存在點(diǎn)P使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA=2S△PAM?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.參考答案:解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P(x,y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn),則由kOP+kOA=kPA得,,整理得軌跡C的方程為y=x2(x≠0且x≠﹣1).(4分)(Ⅱ)方法一、設(shè),由可知直線PQ∥OA,則kPQ=kOA,故,即x2+x1=﹣1,(6分)由O、M、P三點(diǎn)共線可知,與共線,∴,由(Ⅰ)知x1≠0,故y0=x0x1,(8分)同理,由與共線,∴,即(x2+1)[(x0+1)(x2﹣1)﹣(y0﹣1)]=0,由(Ⅰ)知x1≠﹣1,故(x0+1)(x2﹣1)﹣(y0﹣1)=0,(10分)將y0=x0x1,x2=﹣1﹣x1代入上式得(x0+1)(﹣2﹣x1)﹣(x0x1﹣1)=0,整理得﹣2x0(x1+1)=x1+1,由x≠﹣1得,(12分)由S△PQA=2S△PAM,得到QA=2AM,因?yàn)镻Q∥OA,所以O(shè)P=2OM,由,得x1=1,∴P的坐標(biāo)為(1,1).(14分)方法二、設(shè),由可知直線PQ∥OA,則kPQ=kOA,故,即x2=﹣x1﹣1,(6分)∴直線OP方程為:y=x1x①;(8分)直線QA的斜率為:,∴直線QA方程為:y﹣1=(﹣x1﹣2)(x+1),即y=﹣(x1+2)x﹣x1﹣1②;(10分)聯(lián)立①②,得,∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值.(12分)由S△PQA=2S△PAM,得到QA=2AM,因?yàn)镻Q∥OA,所以O(shè)P=2OM,由,得x1=1,∴P的坐標(biāo)為(1,1).(14分)略20.在中,,,分別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,且.(1)求角;(2)若,求的值.參考答案:(Ⅰ)(Ⅱ)試題解析:解:(1)由,根據(jù)正弦定理,得,……2分因?yàn)?,所以?/p>
…………4分又,所以.
…………6分(2)因?yàn)?,所以,所以?/p>
又,所以.
…………8分又,即,所以
………12分.
…………14分考點(diǎn):正弦定理,給值求值【方法點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值的三種類型(1)給角求值:關(guān)鍵是正確選用公式,以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值:關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式,求得另外函數(shù)式的值,以備應(yīng)用;②變換待求式,便于將已知式求得的函數(shù)值代入,從而達(dá)到解題的目的.(3)給值求角:實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,先求角的某一函數(shù)值,再求角的范圍,確定角.21.(12分)設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù),(1)討論的奇偶性;(2)求的最小值。參考答案:解析:(I)當(dāng)時(shí),函數(shù)此時(shí),為偶函數(shù)當(dāng)時(shí),,,,此時(shí)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)(II)(i)當(dāng)時(shí),當(dāng),則函數(shù)在上單調(diào)遞減,從而函數(shù)在上的最小值為.若,則函數(shù)
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