2022-2023學(xué)年天津市寶坻區(qū)高二年級(jí)上冊學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年天津市寶坻區(qū)第四中學(xué)高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為30°，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)方程和傾斜角分別求出直線的斜率，進(jìn)而得到的值.【詳解】由已知得直線的斜率=,∴,故選:A.2．①直線在軸上的截距為；②直線的傾斜角為；③直線必過定點(diǎn)；④兩條平行直線與間的距離為.以上四個(gè)命題中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線方程的性質(zhì)依次判斷各命題即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，直線，令，則，直線在軸上的截距為-，則①錯(cuò)誤；對(duì)于②，直線的斜率為，傾斜角為，則②正確；對(duì)于③直線，由點(diǎn)斜式方程可知直線必過定點(diǎn)，則③正確；對(duì)于④，兩條平行直線與間的距離為，則④錯(cuò)誤.故選：B.3．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】．故選：C．4．在等比數(shù)列中，表示前項(xiàng)和，若，，則公比等于A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：因?yàn)椋瑑墒较鄿p得，從而求得．故應(yīng)選D.【解析】1、等比數(shù)列的定義；2、公式的應(yīng)用.5．若雙曲線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，，漸近線方程為，則雙曲線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題得，根據(jù)漸近線方程及關(guān)系得到方程組，解出即可.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且，設(shè)雙曲線的方程為，則雙曲線的漸近線方程為：，又漸近線方程為，所以，，解得，所以雙曲線的方程為．故選：B．6．已知直線和圓：，則直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【解析】求出直線過的定點(diǎn)坐標(biāo)，確定定點(diǎn)在圓內(nèi)，則可判斷．【詳解】直線方程整理為，即直線過定點(diǎn)，而，在圓內(nèi)，∴直線與圓相交．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系．關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：一是確定動(dòng)直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，二是確定點(diǎn)到圓的位置關(guān)系：圓的一般方程為，點(diǎn)，則點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外．7．如圖，是直三棱柱，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若，則與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，可得，，，此時(shí)，與所成角的余弦值是.故選：A8．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》記有行程減等問題：三百七十八里關(guān)，初行健步不為難次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．意為：某人步行到378里的要塞去，第一天走路強(qiáng)壯有力，但把腳走痛了，次日因腳痛減少了一半，他所走的路程比第一天減少了一半，以后幾天走的路程都比前一天減少一半，走了六天才到達(dá)目的地．請仔細(xì)計(jì)算他每天各走多少路程?在這個(gè)問題中，第四天所走的路程為（

）A．96 B．48 C．24 D．12【答案】C【分析】每天所走的里程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)第一天走了里，利用等比數(shù)列基本量代換，直接求解.【詳解】由題意可知：每天所走的里程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列.第一天走了里，．第4天走了.故選：C．9．已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由橢圓定義可得各邊長，利用三角形相似，可得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可得離心率.【詳解】如圖所示：因?yàn)闉榈妊切危?，又，所以，所以，過點(diǎn)作軸，垂足為，則，由，，得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，即離心率，故選：B.二、填空題10．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前5項(xiàng)為______.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列的前5項(xiàng)為.故答案為：11．拋物線的準(zhǔn)線方程為______．【答案】【分析】先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而利用拋物線的性質(zhì)求得準(zhǔn)線方程．【詳解】整理拋物線方程得，∴，∴準(zhǔn)線方程為，故答案為：．12．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式___________【答案】【分析】根據(jù)與關(guān)系求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，檢驗(yàn)：，所以.故答案為：13．在空間直角坐標(biāo)系中，、，平面的一個(gè)法向量是，則點(diǎn)到平面的距離為______________．【答案】【解析】利用點(diǎn)到平面的距離公式（為平面的一個(gè)法向量）可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】由已知條件可得，平面的一個(gè)法向量為，所以，點(diǎn)到平面的距離為.因此，點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到平面的距離，方法如下：（1）等體積法：先計(jì)算出四面體的體積，然后計(jì)算出的面積，利用錐體的體積公式可計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離；（2）空間向量法：先計(jì)算出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)到平面的距離為.14．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則______.【答案】【分析】根據(jù)解析式，分別求得奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和，綜合即可得答案.【詳解】由題意得，即奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為-1，公差為-4的等差數(shù)列，所以，，即偶數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：15．若直線l：ax－y＋2－a＝0與圓C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B兩點(diǎn)，且∠ACB＝90°，則實(shí)數(shù)a的值為________.【答案】1或7【分析】根據(jù)題干條件得到圓心C到直線l：ax－y＋2－a＝0的距離為，利用點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意，得圓心C(3，1)，半徑r＝3且∠ACB＝90°，則圓心C到直線l：ax－y＋2－a＝0的距離為，即，解得:a＝1或a＝7.故答案為：1或7.三、解答題16．已知圓的圓心坐標(biāo)為，且與軸相切，直線過與圓交于、兩點(diǎn)，且．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）求出圓的半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用勾股定理計(jì)算出圓心到直線的距離，分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）解：由題意可知，圓的半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：設(shè)圓心到直線的距離為，則.若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或，所以，直線的方程為或，即或.17．設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】(Ⅰ)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)首先求得的表達(dá)式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；當(dāng)或者時(shí)，取到最小值.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.18．如圖，在長方體中，，，是棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析

（2）

（3）存在點(diǎn)，【分析】(1)先證明平面，由平面，可證明結(jié)論.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的法向量，利用向量法求求解即可.(3)設(shè)，,則，則由向量法結(jié)合條件可得答案.【詳解】（1）在長方體中，,又，所以平面又平面,所以.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，，是棱的中點(diǎn)．則則為平面的一個(gè)法向量.設(shè)為平面的一個(gè)法向量.,所以，即取，可得所以如圖平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.(3)設(shè)，，則由（2）平面的一個(gè)法向量設(shè)與平面所成角為則解得，取所以存在點(diǎn)，滿足條件.19．已知數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】(1)結(jié)合已知條件利用等比數(shù)列定義證明即可；(2)結(jié)合(1)中條件，求出的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法求和即可；(3)結(jié)合(1)中條件，求出的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，又，所以為首?xiàng)是4，公比為2的等比數(shù)列.（2）由(1)可知，，，所以，.則，，以上兩式相減可得，，所以（3）由(1)可知，，，所以，從而，故.20．設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且其離心率為．(1)求橢圓的方程;(2)若在軸上的截距為2的直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線的斜率之和等于12，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓的簡單幾何性質(zhì)，列出關(guān)于的方程，再結(jié)合即