高中數(shù)學(xué)北師大版2第三章推理與證明第3章1

第三章§1(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書(shū)中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)一、選擇題1．下列哪個(gè)平面圖形與空間的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適()A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形解析：只有平行四邊形與平行六面體較為接近，故選C.答案：C2．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為()A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29 B．a(chǎn)1＋a2＋…＋aC．a(chǎn)1a2…a9＝2×9 D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝2×解析：由等差數(shù)列性質(zhì)，有a1＋a9＝a2＋a9＝…＝2a5.易知D成立答案：D3．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?)①各棱長(zhǎng)都相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等．A．① B．①②C．①②③ D．③解析：因?yàn)檎切蔚倪吅徒强梢耘c正四面體的面(或棱)和相鄰的兩面所成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)類比，所以①②③都恰當(dāng)．答案：C4．給出下列三個(gè)類比結(jié)論．①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：③正確．答案：B二、填空題5．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積比為_(kāi)_______．解析：∵兩個(gè)正三角形是相似的三角形，∴它們的面積之比是相似比的平方．同理，兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似幾何體，體積之比為相似比的立方，所以它們的體積比為1∶8.答案：1∶86．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．解析：T4＝aeq\o\al(4,1)·q6，eq\f(T8,T4)＝aeq\o\al(4,1)·q22，eq\f(T12,T8)＝aeq\o\al(4,1)·q38，eq\f(T16,T12)＝aeq\o\al(4,1)·q54.所以T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成公比為q16的等比數(shù)列，直接用類比法將“差”變“比”即可得出結(jié)果．答案：eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)三、解答題7．如下圖(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2＝BD·BC；若類比該命題，如下圖(2)，三棱錐A－BCD中，AD⊥面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題．解析：命題是：三棱錐A－BCD中，AD⊥面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCM·S△BCD是一個(gè)真命題．證明如下：如右圖，連結(jié)DM并延長(zhǎng)交BC于E，連結(jié)AE，則有DE⊥BC.因?yàn)锳D⊥面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.于是Seq\o\al(2,△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·AE))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·EM))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·ED))＝S△BCM·S△BCD.8．就任一等差數(shù)列{an}，計(jì)算a7＋a10和a8＋a9，a10＋a40和a20＋a30，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律？能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作一般化的推廣嗎？從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系角度分析這個(gè)問(wèn)題．在等比數(shù)列中會(huì)有怎樣的類似的結(jié)論？解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d，從而a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d.所以a7＋a10＝2a1＋15d，a8＋a9＝2a1＋15可得a7＋a10＝a8＋a9.同理a10＋a40＝a20＋a30.由此猜想，任一等差數(shù)列{an}，若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，則有am＋an＝ap＋aq成立．類比等差數(shù)列，可得等比數(shù)列{an}的性質(zhì)：若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，則有am·an＝ap·aq成立．9．設(shè)f(x)＝eq\f(1,2x＋\r(2))，類比課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值．解析：∵f(x)＝eq\f(1,2x＋\r(2))，∴f(x)＋f(1－x)＝eq\f(1,2x＋\r(2))＋eq\f(1,21－x＋\r(2))＝eq\f(1,2x＋\r(2))＋eq\f(2x,2＋\r(2)·2x)＝eq\f(\r(2)＋2x,\r(2)2x＋\r(2))＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).令S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(5)＋f(6)則S＝f