2023年二次函數(shù)與方程不等式綜合題庫教師版

二次函數(shù)與方程、不等式綜合二次函數(shù)與方程、不等式綜合中考規(guī)定中考規(guī)定板塊考試規(guī)定A級規(guī)定B級規(guī)定C級規(guī)定二次函數(shù)1.能根據(jù)實際情境了解二次函數(shù)的意義；2.會運用描點法畫出二次函數(shù)的圖像；1.能通過對實際問題中的情境分析擬定二次函數(shù)的表達式；2.能從函數(shù)圖像上結(jié)識函數(shù)的性質(zhì)；3.會擬定圖像的頂點、對稱軸和開口方向；4.會運用二次函數(shù)的圖像求出二次方程的近似解；1.能用二次函數(shù)解決簡樸的實際問題；2.能解決二次函數(shù)與其他知識結(jié)合的有關(guān)問題；知識點睛知識點睛一、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系直線與拋物線的交點軸與拋物線得交點為.與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點.拋物線與軸的交點:二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是相應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由相應(yīng)的一元二次方程的根的判別式鑒定：①有兩個交點拋物線與軸相交；②有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；③沒有交點拋物線與軸相離.平行于軸的直線與拋物線的交點．也許有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數(shù)根.拋物線與軸兩交點之間的距離．若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故二次函數(shù)常用的解題方法求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰\用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，，的符號，或由二次函數(shù)中，，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可運用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.與二次函數(shù)有關(guān)的尚有二次三項式，二次三項式自身就是所含字母的二次函數(shù)；以時為例，二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系如下：拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.二次函數(shù)與一元二次方程根的分布（選講）所謂一元二次方程，實質(zhì)就是其相應(yīng)二次函數(shù)的零點（圖象與軸的交點問題），因此，二次方程的實根分布問題，即二次方程的實根在什么區(qū)間內(nèi)的問題，借助于二次函數(shù)及其圖象運用數(shù)形結(jié)合的方法來研究是非常有益的．設(shè)的二實根為，，，，且是預先給定的兩個實數(shù)．當兩根都在區(qū)間內(nèi)，方程系數(shù)所滿足的充要條件：∵，相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象有下列兩種情形：當時的充要條件是：，，，．當時的充要條件是：，，，．兩種情形合并后的充要條件是：①當兩根中有且僅有一根在區(qū)間內(nèi)，方程系數(shù)所滿足的充要條件；∵或，相應(yīng)的函數(shù)的圖象有下列四種情形：從四種情形得充要條件是：②當兩根都不在區(qū)間內(nèi)方程系數(shù)所滿足的充要條件：當兩根分別在區(qū)間的兩旁時；∵相應(yīng)的函數(shù)的圖象有下列兩種情形：當時的充要條件是：，．當時充要條件是：，．兩種情形合并后的充要條件是：，③當兩根分別在區(qū)間之外的同側(cè)時：∵或，相應(yīng)函數(shù)的圖象有下列四種情形：當時的充要條件是：，，④當時的充要條件是：，，⑤（3）區(qū)間根定理假如在區(qū)間上有，則至少存在一個，使得．此定理即為區(qū)間根定理，又稱作勘根定理，它在判斷根的位置的時候會發(fā)揮巨大的威力．例題精講例題精講一、二次函數(shù)與方程、不等式綜合已知二次函數(shù)，且方程與有相同的非零實根．（1）求的值；（2）若，解方程.【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】（1）設(shè)的兩根為，且，則，．于是，的兩根為、，且，即．因此，．（2）由⑴得．又，則，解之得或，于是，的兩組解為或．【答案】（1）；（2）或【考點】【難度】【題型】【關(guān)鍵詞】【解析】【答案】已知二次函數(shù)，當自變量取時，其相應(yīng)的函數(shù)值小于，那么下列結(jié)論中對的的是（）.的函數(shù)值小于 .的函數(shù)值大于.的函數(shù)值等于 .的函數(shù)值與的大小關(guān)系不擬定【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】3星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2023年，日照【解析】由題意得：此二次函數(shù)與軸有兩交點，兩交點橫坐標為，，兩交點的距離為，∵，∴，∵當取時，函數(shù)值小于，∴，∴，∴∴當取時，函數(shù)值大于∴選．【答案】B小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代數(shù)式的值的情況．他們作了如下分工：小明負責找值為時的值，小亮負責找值為0時的值，小梅負責找最小值，小花負責找最大值．幾分鐘后，各自通報探究的結(jié)論，其中錯誤的是（）小明認為只有當時，的值為.小亮認為找不到實數(shù)，使的值為.小梅發(fā)現(xiàn)的值隨的變化而變化，因此認為沒有最小值小花發(fā)現(xiàn)當取大于的實數(shù)時，的值隨的增大而增大，因此認為沒有最大值.【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】3星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2023年，煙臺【解析】當時，解得，故對的當時，，故對的∵，當時，有最小值，但沒有最大值.故錯，對的.【答案】D已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，為正整數(shù).（1）求的值；（2）當此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于的二次函數(shù)的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結(jié)合這個新的圖象回答：當直線與此圖象有兩個公共點時，的取值范圍.【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】（1）由題意得，．∴．∵為正整數(shù)，∴．（2）當時，方程有一根為零；當時，方程無整數(shù)根；當時，方程有兩個非零的整數(shù)根．綜上所述，和不合題意，舍去；符合題意．當時，二次函數(shù)為，把它的圖象向下平移個單位得到的圖象的解析式為．（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，則，．依題意翻折后的圖象如圖所示．當直線通過點時，可得；當直線通過點時，可得．由圖象可知，符合題意的的取值范圍為【答案】（1）；（2）；（3）已知函數(shù)，，為方程的兩個根，點在函數(shù)的圖象上．（1）若，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，若函數(shù)與的圖象的兩個交點為，當?shù)拿娣e為時，求的值；（3）若，當時，試擬定三者之間的大小關(guān)系，并說明理由．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2023年，天津【解析】（1）∵，，，∴．將分別代入，得，解得，∴函數(shù)的解析式為．（2）由已知，得，設(shè)的高為，∴，即．根據(jù)題意，，由，得．當時，解得；當時，解得，∴的值為．（3）由已知，得，∴，，，化簡得．∵，得，∴，則有．又，∴，∴當時，；當時，；當時，．【答案】（1）；（2）；（3）當時，；當時，；當時，．已知方程的兩個實根一個小于，一個大于，求的取值范圍．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】設(shè)，由于方程的兩個實數(shù)根一個小于，一個大于，所以有即，解得所以．【答案】已知方程的兩根均大于，求的關(guān)系式．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】設(shè)，由于方程的兩根均大于，所以，解得故的關(guān)系式為，．【答案】，．設(shè)二次方程有一根比大，另一根比小，試擬定實數(shù)的范圍．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】設(shè)，由于方程有一根比大，另一根比小，所以有，即解得所以，故當時，原方程有一根比大，另一根比?。敬鸢浮咳舳畏匠淘趨^(qū)間內(nèi)僅有較大實根，另一根不等于，求的取值范圍．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】原方程可化為，由于方程較大實根在內(nèi)，且另一根小于，所以有即解得所以，故當時，方程在內(nèi)僅有較大實數(shù)根，且另一根不等于．【答案】已知方程有兩個實數(shù)根，并且．證明：（1）；（2）．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】略【答案】（1）由韋達定理知．（2）設(shè)，則的圖像是開口向上的拋物線，且與軸的兩交點在與之間，所以，即，，所以，，故．若的二次方程，由于方程的解都位于的范圍中，求正整數(shù)的值．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】設(shè)，由于方程的兩個解都位于中，所以，滿足條件由②得，符合條件的值為．由③得．把各值代入④，得，，．把各值代入①，得，，．符合條件的，的值是，．【答案】，設(shè)有整系數(shù)二次函數(shù)，其圖像開口方向朝上，且與軸有兩個交點，分別在、內(nèi)，且的判別式等于，試求的值．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】依題意知，設(shè)的圖像與軸的兩個交點分別為，且，則，．由于，．．．．，所以，當時，為整數(shù)，，所以，．當時滿足其它條件．【答案】，．當已知方程有兩個大于的實根，求的取值范圍．由于有兩個大于的實數(shù)根，即若設(shè)，則該二次函數(shù)與軸的兩個交點都位于的右邊，開口向上，所以有，解得．若關(guān)于的二次方程的兩根、滿足，求實數(shù)的取值范圍．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】設(shè)，根據(jù)題意得，即．解得或【答案】或方程有兩實根，且兩根都大于，證明．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】設(shè)，由于方程的兩根都大于，所以有即解得【答案】已知方程的兩實根為、，方程的兩實根為、．（1）若、均為負整數(shù)，且，求、的值；（2）若，，求證：．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式組綜合【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】略【答案】（1）由題意得，，由．又、均為負整數(shù)，所以，．故，．（2）由于，所以．從而，即當時，．由，即當時，．由于，所以．設(shè)是實數(shù)，二次方程的一個根屬于區(qū)間，另一個根屬于區(qū)間，求的取值范圍．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】由于二次函數(shù)與軸的交點橫坐標，是方程的根，于是與軸的兩個交點必在兩點，和兩點，之間．令，，由于，所以在點左側(cè)，函數(shù)值大于，又，所以．在點右側(cè)，點左側(cè)，函數(shù)值小于，所以．同理，．三式聯(lián)立得：，，所以，，，所以．于是的取值范圍是．【答案】已知、均為正整數(shù)，若關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根都大于且小于，求、的值．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】令，要使方程的兩實數(shù)根都大于且小于，由函數(shù)的圖象可知，要滿足，即．已知、都為正整數(shù)，則由知、、．當時，由得，故，又由③得，矛盾；當時，由得，又由，的制約式得，故；當時，由得，即，又由，的制約式得，矛盾．綜合可得．【答案】實數(shù)在什么范圍內(nèi)取值時，關(guān)于的方程的一個根大于而小于，另一個根大于而小于？【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】設(shè)，由題設(shè)及其示意圖知拋物線與軸的兩交點分別落在和內(nèi)的充要條件是即解得．∴滿足條件的的取值范圍是．點評：本題中，通過四個不等式即可將拋物線的“位置”擬定，從而解不等式組求出的范圍．一般地，在討論一元二次方程根的情形時，要充足運用數(shù)形結(jié)合的思想，即先根據(jù)條件“定”出圖象位置，由所給條件畫出滿足條件的圖象，再由圖象列出不等式(組)，最后解不等式(組)求解．【答案】已知方程有兩個不同實根，求證：方程至少有一個根，在前一個方程的兩根之間．（此處）【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】略【答案】設(shè)方程的兩根為，，則有，，且，，．令，則，，．所以拋物線上的兩點，在軸的兩側(cè)，則方程至少有一根在前一方程兩根之間．試證：若實數(shù)滿足條件，這里時正數(shù)，那么方程有一個根介于和之間．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】略【答案】只需對證明本題即可，由于當時，將與兩端同時乘，即可化為的情形．現(xiàn)在分兩種情況證明．（1）若．①假如，則方程有根．由可知，因而．顯然．②假如，則由可知，這時任何都滿足，自然涉及和之間的數(shù)．（2）若．令，注意到：．由可知：．①若，則．由不等式和可知，當時，方程由一根在區(qū)間中，而這個區(qū)間包含在中．②若，則．運用條件可得：．由于，故得．由不等式和可知，當時，方程有一根在區(qū)間中，而這個區(qū)間包含在之中．閱讀材料，解答問題．例：用圖象法解一元二次不等式：．解：設(shè)，則是的二次函數(shù)．∵，∴拋物線開口向上．又∵當時，，解得．∴由此得拋物線的大體圖象如圖所示．觀測函數(shù)圖象可知：當或時，．∴的解集是或．（1）觀測圖象，直接寫出一元二次不等式：的解集是____________；（2）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2023年，福建漳州【解析】（1）．（2）解：設(shè)，則是的二次函數(shù)．∵，∴拋物線開口向上．又∵當時，，解得．∴由此得拋物線的大體圖象（圖象略）．觀測函數(shù)圖象可知：當或時，．∴的解集是：或．【答案】（1）；（2）或閱讀下列內(nèi)容后，解答下列各題：幾個不等于的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定．例如：考察代數(shù)式的值與的大小當時，，∴當時，，∴當時，，∴綜上：當時，；當或時，（1）填寫下表：（用“”或“”填入空格處）（2）由上表可知，當滿足時，；（3）運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，直接寫出當滿足時，．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2023年，內(nèi)江【解析】略【答案】（1）略；（2）或；（3）或．如圖所示，拋物線與軸的兩個交點分別為和，當時，的取值范圍是．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2023年，遼寧本溪【解析】由圖可得或．【答案】或如下右圖是拋物線的一部分，其對稱軸為直線，若其與軸一交點為，則由圖象可知，不等式的解集是．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2023年，山東德城【解析】由對稱軸和可得：拋物線與軸的此外一個交點的坐標為，所以不等式的解集為或．【答案】或解不等式：．原不等式化為，解得，∴原不等式的解集為．對于滿足的所有實數(shù)，求使不等式成立的的取值范圍．【考點】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【