數(shù)字信號處理-0601二十四

1第6章IIRDF的設(shè)計(jì)方法6.1引言6.2利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

6.2.1沖激響應(yīng)不變法

6.2.2雙線性變換法濾波器設(shè)計(jì)就是設(shè)計(jì)H(s)\H(z),對應(yīng)H(jΩ)H(ejw)6.1引言一、數(shù)字濾波器的濾波原理二、數(shù)字濾波器的分類三、性能指標(biāo)四、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述一、數(shù)字濾波器的濾波原理DF是一種具有頻率選擇性的線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)，它在數(shù)字信號處理中有著廣泛的應(yīng)用。

輸入序列x(n)，通過一個(gè)單位沖激響應(yīng)為h(n)的線性時(shí)不變系統(tǒng)后，其輸出響應(yīng)y(n)為：將上式兩邊經(jīng)過傅里葉變換，可得：

式中，Y(ejω)、X(ejω)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜函數(shù)，H(ejω)是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。

只要按照輸入信號頻譜的特點(diǎn)和處理信號的目的，適當(dāng)選擇H(ejω)，使得濾波后的Y(ejω)符合人們的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。二、數(shù)字濾波器的分類理想數(shù)字濾波器的幅頻特性

1、從功能上分類2、從單位沖激響應(yīng)分類無限沖激響應(yīng)濾波器(IIR)

系統(tǒng)函數(shù)：

差分方程：有限沖激響應(yīng)濾波器(FIR)

系統(tǒng)函數(shù)：

差分方程：FIR濾波器可以對給定的頻率特性直接進(jìn)行設(shè)計(jì)IIR濾波器目前最通用的方法是利用已經(jīng)很成熟的模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法來進(jìn)行設(shè)計(jì)。（P237例6.4.2）式中，稱為幅頻特性，稱為相頻特性。本章主要研究由幅頻特性給出性能指標(biāo)的濾波器的設(shè)計(jì)。三、性能指標(biāo)

在進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，首先需要確定其性能指標(biāo)。假設(shè)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)用下式表示：

理想濾波器在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的。（由于通帶和阻帶之間具有突變）要物理可實(shí)現(xiàn)，應(yīng)在通帶和阻帶之間設(shè)置一個(gè)過渡帶，且通帶內(nèi)頻率響應(yīng)的幅值不可能嚴(yán)格設(shè)置為1，阻帶內(nèi)傳輸函數(shù)的幅值也不可能嚴(yán)格設(shè)置為0，都應(yīng)該給予較小的誤差容限。?h(n)非因果例：數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)DF設(shè)計(jì)中應(yīng)給出截止頻率和衰減程度通帶、阻帶的技術(shù)指標(biāo)往往由通帶允許的最大衰減阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減給出。通帶內(nèi)允許的最大衰減：阻帶內(nèi)應(yīng)達(dá)到的最小衰減：

式中均假定：，即歸一化如：由于在DF中ω用rad表示，而實(shí)際上給出的頻率要求往往是實(shí)際頻率f（Hz），因此在DF設(shè)計(jì)中除了應(yīng)給出截止頻率和衰減程度外，還應(yīng)給出抽樣頻率fs(Ts).四、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述

設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器，大致可分為3步：（1）根據(jù)實(shí)際要求確定濾波器的性能指標(biāo)。（2）用一個(gè)因果穩(wěn)定的H(z)去逼近這些指標(biāo)(我們)。（3）用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)H(z)。

6.2IIR濾波器的

設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器濾波器變換s→z頻帶變換z→zDesiredIIRfilter優(yōu)勢：技術(shù)成熟，有章可循目前IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有了一套相當(dāng)成熟的方法，有完整地設(shè)計(jì)公式和圖表共查詢設(shè)計(jì)思想：首先按照技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器，得到模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。

設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題：找出從到的轉(zhuǎn)換方法。

總之：滿足的基本要求：（1）的頻率響應(yīng)要能模仿的頻率響應(yīng)，即平面的虛軸必須映射到平面的單位圓上，也就是頻率軸要對應(yīng)。（2）因果穩(wěn)定的應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的，也就是說平面的左半平面必須映射到平面單位圓的內(nèi)部。

主要問題對IIR數(shù)字濾波器的相位特性沒有任何控制能力.因此IIR濾波器設(shè)計(jì)僅作為幅度設(shè)計(jì)原型模擬低通濾波器：要設(shè)計(jì)IIRDF，首先要設(shè)計(jì)符合要求的模擬濾波器要設(shè)計(jì)模擬濾波器，一般都有現(xiàn)成的數(shù)據(jù)表格可查。模擬濾波器有各種類型而且同種類型截止頻率各不相同，因而一般只給出歸一化原型濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)。(截止頻率已經(jīng)歸一化成1的低通濾波器。)對于其他高通、帶通、帶阻濾波器，可通過頻率變換由歸一化原型濾波器求得。?設(shè)所給的實(shí)際頻率為，歸一化后的頻率為，對低通模擬濾波器，令巴特沃斯模擬低通濾波器階次的確定：巴特沃斯模擬低通濾波器幅頻響應(yīng)的特點(diǎn)P222缺點(diǎn)是IIR數(shù)字濾波器相位非線性，且選擇性越好，相位非線性越嚴(yán)重。與FIR數(shù)字濾波器相比，IIR數(shù)字濾波器可以用較低的階數(shù)獲得較高的選擇性，而且所用存儲單元少。經(jīng)濟(jì)效率高。IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法有：脈沖響應(yīng)不變法，雙線性變換法等。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)：6.2.1沖激響應(yīng)不變法

設(shè)計(jì)IIR濾波器

沖激響應(yīng)不變法是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法，使得數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)與模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)“相似”。

數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)即將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足h(n)=ha(nT)式中,T是采樣周期。T—抽樣周期T—抽樣周期先由要求的技術(shù)指標(biāo)，得到模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)；據(jù)此設(shè)計(jì)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s);根據(jù)s→z的映射關(guān)系，得到要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)?根據(jù)前面抽樣定理部分：

即：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系為：可見，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，才不會產(chǎn)生頻率混疊。

因此，模擬濾波器的頻率特性應(yīng)滿足條件：

當(dāng)時(shí)，

那么，

此時(shí)用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器可以很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率響應(yīng)。

任何一個(gè)實(shí)際模擬濾波器的頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格帶限的，這樣就一定會發(fā)生程度不同的混疊失真。

沖激響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象沖激響應(yīng)不變法的映射關(guān)系：

沖激響應(yīng)不變法的映射關(guān)系

從圖中可以得到以下結(jié)果：（1）平面上每條寬度為的水平帶都重疊地映射到整個(gè)平面上。所以說平面到平面的映射不是唯一的而是多點(diǎn)到一點(diǎn)的映射。（2）映射到映射到映射到

（3）由于平面的整個(gè)左半平面都映射到平面的單位圓內(nèi)，所以一個(gè)因果穩(wěn)定的模擬濾波器映射為一個(gè)因果穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。

沖激響應(yīng)不變法：特點(diǎn)1、數(shù)字角頻率與模擬角頻率間是線性關(guān)系2、s平面與z平面不是一一對應(yīng)的，可能發(fā)生頻譜混疊

3、用于對時(shí)間特性要求嚴(yán)格的低通濾波器設(shè)計(jì)，或模擬濾波器的頻率范圍滿足4、沖激響應(yīng)不變法不宜用于設(shè)計(jì)高通和帶阻數(shù)字濾波器（高頻部分會發(fā)生混疊），一般僅適合低通和帶通數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。

設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階次大于分子的階次，則可將展開成部分分式：相應(yīng)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

沖激響應(yīng)不變法一階系統(tǒng)最基本的轉(zhuǎn)換關(guān)系是：二階系統(tǒng)最基本的轉(zhuǎn)換關(guān)系是：

數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與采樣間隔成反比。當(dāng)較小時(shí)，即采樣頻率較高時(shí)，濾波器增益就會太高。為避免這一現(xiàn)象，可做修正，令則有：

例：用沖激響應(yīng)不變法將模擬系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)，令采樣間隔。

解：

沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn)：（1）優(yōu)點(diǎn)數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，即時(shí)域特性逼近好。模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系，如果不考慮頻率混疊現(xiàn)象，用該方法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器會很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性。

（2）缺點(diǎn)會產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。所以，該方法只適用于帶限的模擬濾波器，如衰減特性很好的低通或帶通濾波器。阻帶衰減越大，則混疊效應(yīng)越小。至于高通和帶阻濾波器，由于其在高頻部分不衰減，必定產(chǎn)生嚴(yán)重的頻譜混疊現(xiàn)象。除非先對高通和帶阻濾波器進(jìn)行預(yù)濾波，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用沖激響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，當(dāng)然這樣會進(jìn)一步增加設(shè)計(jì)復(fù)雜性。

P237-例6.4.26.2.2雙線性z變換法

設(shè)計(jì)IIR濾波器

沖激響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器在時(shí)域上模仿模擬濾波器，它的缺點(diǎn)是會產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，這是因?yàn)閺膕平面到z平面是多值映射的關(guān)系。為了克服這一缺點(diǎn)，采用雙線性變換法。雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種變換方法。

雙線性變換法的映射關(guān)系

平面的虛軸映射到平面的單位圓是以一種一對一的方式進(jìn)行的，因此，在頻域不存在混疊。

平面和平面的映射關(guān)系為：

由于在雙線性變換法中，到之間的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，故可將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即：也可以先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相加）或級聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相乘），使每個(gè)子系統(tǒng)函數(shù)都變成低階的，然后再對每個(gè)子系統(tǒng)函數(shù)分別采用雙線性變換。

模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系為：映射關(guān)系分析

平面的左半平面映射到平面的單位圓內(nèi)，平面的右半平面映射到平面的單位圓外，平面的虛軸映射到平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。

雙線性變換法s平面與z平面的對應(yīng)關(guān)系

平面的正、負(fù)虛軸分別映射到平面單位圓的上半部分（輻角為正）及下半部分（輻角為負(fù)）。頻率軸是單值變換關(guān)系，時(shí)，為折疊頻率。故不會有高于折疊頻率的分量，避免了沖激響應(yīng)不變法的頻率響應(yīng)混疊現(xiàn)象，這就是雙線性變換法的最大優(yōu)點(diǎn)。

優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象s平面與z平面為單值變換缺點(diǎn)：

除了零頻率附近，與之間嚴(yán)重非線性1）線性相位模擬濾波器非線性相位數(shù)字濾波器2）模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會產(chǎn)生畸變結(jié)論σ<0|z|<1,σ=0|z|=1,σ

>0|z|>1整個(gè)左半平面映射到單位圓內(nèi)，使穩(wěn)定變換.虛軸映射到單位圓是以一對一的方式進(jìn)行，不存在混疊.w

與Ω

是非線性關(guān)聯(lián)

ω=2tan-1(ΩT/2)?