電路第六章一階電路

6.1一階電路的零輸入響應6.2恒定電源作用下一階電路的零狀態(tài)響應6.3恒定電源作用下一階電路的全響應和疊加定理6.4復雜一階電路的分析方法6.5階躍函數(shù)和階躍響應第六章一階電路分析1.一階電路的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應求解；重點

3.一階電路的階躍響應和沖激響應。2.穩(wěn)態(tài)分量、暫態(tài)分量求解；6.1一階電路的零輸入響應換路后外加激勵為零，僅由動態(tài)元件初始儲能產(chǎn)生的電壓和電流。1.RC電路的零輸入響應已知

uC

(0－)=U0

uR=Ri零輸入響應iS(t=0)+–uRC+–uCR特征根特征方程RCp+1=0則代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0iS(t=0)+–uRC+–uCR或tU0uC0I0ti0令

=RC,稱為一階電路的時間常數(shù)電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；連續(xù)函數(shù)躍變響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與RC有關;表明時間常數(shù)的大小反映了電路過渡過程時間的長短

=RC

大→過渡過程時間長小→過渡過程時間短電壓初值一定：R大（C一定）i=u/R

放電電流小放電時間長U0tuc0小大C大（R一定）W=Cu2/2

儲能大物理含義a.:電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。工程上認為,經(jīng)過3－5

,

過渡過程結束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

注意＝

t2－t1

t1時刻曲線的斜率等于ucU0t0t1t2次切距的長度b.時間常數(shù)的幾何意義：能量關系電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.設

uC(0+)=U0電容放出能量：電阻吸收（消耗）能量：uCR+－C例1圖示電路中的電容原充有24V電壓，求k閉合后，電容電壓和各支路電流隨時間變化的規(guī)律。解這是一個求一階RC零輸入響應問題，有：+uC45F－i1t>0等效電路i3S3+uC265F－i2i1+uC45F－i1分流得：i3S3+uC265F－i2i12.

RL電路的零輸入響應特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A=iL(0+)=I0t>0iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLRtI0iL0連續(xù)函數(shù)躍變電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；表明-RI0uLt0iL+–uLR響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與L/R有關;令

稱為一階RL電路時間常數(shù)

=L/R時間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時間的長短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放電過程消耗能量小放電慢，

大大→過渡過程時間長小→過渡過程時間短物理含義電流初值iL(0)一定：能量關系電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。設

iL(0+)=I0電感放出能量：電阻吸收（消耗）能量：iL+–uLRiL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V

造成V損壞。例1t=0時,打開開關S，求uv。電壓表量程：50V解iLS(t=0)+–uVL=4HR=10VRV10k10ViLLR10V+-例2t=0時,開關S由1→2，求電感電壓和電流及開關兩端電壓u12。解i+–uL66Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3446+－uL212i+–uL66Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3446+－uL212一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初值引起的響應,都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路小結一階電路的零輸入響應和初始值成正比，稱為零輸入線性。衰減快慢取決于時間常數(shù)同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)。小結

=RC

=L/RR為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。RC電路RL電路動態(tài)元件初始能量為零，由t>0電路中外加激勵作用所產(chǎn)生的響應。方程：6.2恒定電源作用下一階電路的零狀態(tài)響應解答形式為：1.RC電路的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應非齊次方程特解齊次方程通解iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齊次線性常微分方程與輸入激勵的變化規(guī)律有關，為電路的穩(wěn)態(tài)解變化規(guī)律由電路參數(shù)和結構決定的通解通解（自由分量，暫態(tài)分量）特解（強制分量）的特解全解uC(0+)=A+US=0

A=－US由初始條件uC(0+)=0

定積分常數(shù)A從以上式子可以得出：-USuC‘uC“USti0tuC0電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構成：連續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量（強制分量）暫態(tài)分量（自由分量）表明+響應變化的快慢，由時間常數(shù)＝RC決定；大，充電慢，小充電就快。響應與外加激勵成線性關系；能量關系電容儲存能量：電源提供能量：電阻消耗能量：電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉換成電場能量儲存在電容中。表明RC+-US例t=0時,開關S閉合，已知

uC(0－)=0，求(1)電容的電壓和電流,(2)uC＝80V時的充電時間t

。解(1)這是一個RC電路零狀態(tài)響應問題，有：(2)設經(jīng)過t1秒，uC＝80V50010F+-100VS+－uCi2.RL電路的零狀態(tài)響應已知iL(0－)=0，電路方程為：tiL0iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—uLUSt0iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—例1t=0時,開關S打開，求t>0后iL、uL的變化規(guī)律。解這是RL電路零狀態(tài)響應問題，先化簡電路，有：t>0iLS+–uL2HR8010A200300iL+–uL2H10AReq例2t=0開關k打開，求t>0后iL、uL及電流源的電壓。解這是RL電路零狀態(tài)響應問題，先化簡電路，有：iL+–uL2HUoReq+－t>0iLK+–uL2H102A105+–u+6.3恒定電源作用下一階電路的全響應和疊加定理電路的初始狀態(tài)不為零，同時又有外加激勵源作用時電路中產(chǎn)生的響應。以RC電路為例，電路微分方程：1.全響應全響應iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答為：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解=RCuC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0

A=U0

-US由初始值定A強制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)2.全響應的兩種分解方式uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0全響應=

強制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)著眼于電路的兩種工作狀態(tài)物理概念清晰全響應=

零狀態(tài)響應+

零輸入響應著眼于因果關系便于疊加計算零輸入響應零狀態(tài)響應S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC(0－)=0零狀態(tài)響應零輸入響應tuc0US零狀態(tài)響應全響應零輸入響應U0*線性動態(tài)電路的疊加定理：*一階電路的零輸入響應與原始狀態(tài)成正比。*單電源電路的零狀態(tài)響應與該電源成正比。*全響應等于零輸入響應與零狀態(tài)響應的疊加。*若電路中含有多個獨立電源和多個儲能元件，則電路中任一電流或電壓響應等于各獨立源以及各儲能元件原始狀態(tài)單獨作用時該響應的疊加。例1t=0時,開關k打開，求t>0后的iL、uL。解這是RL電路全響應問題，有：零輸入響應：零狀態(tài)響應：全響應：iLS(t=0)+–24V0.6H4+－uL8或求出穩(wěn)態(tài)分量：全響應：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0時,開關K閉合，求t>0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。解這是RC電路全響應問題，有：穩(wěn)態(tài)分量：+–10V1A1+－uC1+－u1全響應：+–10V1A1+－uC1+－u13.三要素法分析一階電路一階電路的數(shù)學模型是一階線性微分方程：令

t=0+其解答一般形式為：特解分析一階電路問題轉為求解電路的三個要素的問題。用0+等效電路求解用t→的穩(wěn)態(tài)電路求解直流激勵時：A注意例1已知：t=0時合開關，求換路后的uC(t)解tuc2(V)0.66701A213F+-uC例2t=0時,開關閉合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素為：iL+–20V0.5H55+–10Vi2i1三要素公式三要素為：0＋等效電路+–20V2A55+–10Vi2i1例3已知：t=0時開關由1→2，求換路后的uC(t)解三要素為：4+－4i12i1u+－2A410.1F+uC－+－4i12i18V+－12例4已知：t=0時開關閉合，求換路后的電流i(t)

。+–1H0.25F52S10Vi解三要素為：+–1H0.25F52S10Vi已知：電感無初始儲能t=0

時合S1

,t=0.2s時合S2，求兩次換路后的電感電流i(t)。0<t<0.2s解例5i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-t>0.2si10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-(0<t

0.2s)(t

0.2s)it(s)0.25(A)1.26206.5階躍函數(shù)和階躍響應6.5.1階躍函數(shù)6.5.2階躍響應6.5.1階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)延時單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)的起始作用利用階躍函數(shù)可將分段函數(shù)用一個式子表示若則階躍函數(shù)可表示接入恒定電源的換路情況例如右圖波形可表為6.5.2階躍響應電路對單位階躍電源的零狀態(tài)響應稱為單位階躍響應，用s(t)

表示。一階電路的階躍響應可用三要素法求解。例：求圖示電路的單位階躍響應i(t)。解：6.8例題例1：電路如圖一所示，已知uC(0)=-2V，求uC(t)及uR(t)，解：從電容元件兩端看進去的戴維南等效電阻-uR+圖一1Ω1.5Ωi(t)uc

(t)iR(t)uR+-圖二用電壓為uC(t)的電壓源置換電容，如圖二例2:如圖所示電路中，已知當時，