函數(shù)的極值及其求

第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值定義設(shè)函數(shù)f(x)若存在x0的鄰域，對該鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x，且x≠x0均成立:則稱是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值(或極小值)一、函數(shù)的極值及其求法在

(a,b)有定義，

x0∈(a,b)定理1(必要條件)定義注意:例如,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).且在處取得極值,設(shè)f(x)在點(diǎn)可導(dǎo),可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,定理2(第一充分條件)則f(x)在處取得極大值.

則f(x)在處取得極小值.

則f(x)在處無極值.

設(shè)f(x)在處連續(xù),求極值的步驟:(1)求導(dǎo)數(shù)(3)檢查駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)兩側(cè)，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(4)求極值(2)求駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)解極大值極小值例1求出函數(shù)的極值.圖形如下定理3(第二充分條件)證同理可證(2).設(shè)f(x)在處有二階導(dǎo)數(shù),則(1)當(dāng)時(shí),(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極大值;函數(shù)在處取得極小值;所以，函數(shù)f(x)在處取得極大值

解例2求函數(shù)的極值.例3解練習(xí)題1.函數(shù)的極大點(diǎn)為______,極小點(diǎn)為______,極小值為___。極大值為___,2.試問a為何值時(shí)，函數(shù)取得極值？是極大值還是極小值？并求此極值。二、最大值、最小值問題若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]有上的最大值與最小值。最值點(diǎn)極值區(qū)間端點(diǎn)駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn)步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,3.比較大小,求出最大值、最小值;則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)例1求函數(shù)在[－3,4]上的最大值與最小值.解=6(x+2)(x－3)駐點(diǎn):x=1,x

=－2f(-3)=23,f(-2)=34,f(1)=7,f(4)=142,最大值:f(4)=142最小值:f(1)=7例2造一個(gè)容積為16π立方米的有蓋圓桶，問如何選取底半徑和高，可使用料最省。解設(shè)半徑為x，高為y表面積:得駐點(diǎn):x=2故選半徑為2米、高為4米時(shí)，可是用料最省實(shí)際問題求最值時(shí)應(yīng)注意:若目標(biāo)函數(shù)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則該點(diǎn)就是所求得最大(小)點(diǎn)。例3外切于單位圓的等腰三角形，三邊長分別為多少時(shí)面積最小?ABCOEF解設(shè)x=

AO,則面積S駐點(diǎn)x=2所以x=2時(shí),面積S最小故三邊長均為面積最小.例4設(shè)A、B兩城分別位于草原與沙漠之中，兩區(qū)城的分界線為直線，求騎手從A到B的