第三章測量誤差基本知識

第三章 測量誤差的基本知識3.1測量誤差概述3.2精度估計的標準

3.3觀測值的算術(shù)平均值及其中誤差3.4誤差傳播3.5非等精度觀測值的最或然值及其中誤差3.1測量誤差概述一真值和真誤差觀測觀測值真值真誤差

真誤差＝觀測值－真值

△=l-X二測量誤差的來源3.1測量誤差概述觀測者：測量儀器：例如經(jīng)緯儀三軸之間關(guān)系。外界條件：溫度、風(fēng)力、大氣折光等三觀測的分類等精度觀測和非等精度觀測直接觀測和間接觀測獨立觀測和非獨立觀測多余觀測3.1測量誤差概述四測量誤差分類1、粗差由于觀測者使用儀器不正確或疏忽大意，如測錯、讀錯、記錯、算錯等，或因外界條件發(fā)生意外的顯著變化引起的差錯。2、系統(tǒng)誤差測量條件中某些特定因素的系統(tǒng)性影響而產(chǎn)生的誤差。即在相同的觀測條件下，數(shù)值大小和正負號固定不變，或按一定規(guī)律變化。例如:鋼尺尺長誤差、鋼尺溫度誤差、水準儀視準軸誤差、經(jīng)緯儀視準軸誤差.3.1測量誤差概述3.1測量誤差概述在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列觀測，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”，是由許多無法精確估計的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無常變化,以及環(huán)境的干擾等)。偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，在實踐中發(fā)現(xiàn)具有統(tǒng)計學(xué)規(guī)律。偶然誤差舉例：儀器對中誤差,氣泡居中判斷、目標瞄準、度盤讀數(shù)等誤差,氣象變化等外界環(huán)境等影響。誤差區(qū)間dΔ"負誤差正誤差誤差絕對值KK/nKK/nKK/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581.000五偶然誤差的特性+3+6+9+12+15+18+21+24X=Δ-24-21-18-15-12-9-6-30圖3-1直方圖一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大；絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的頻率相同；當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨向于0。五偶然誤差的特性3.2精度估計的標準一、精度的含義所謂精度，是指誤差分布的集中與離散程度。如誤差分布集中（曲線a），則觀測精度高；若誤差分布離散（曲線b），則觀測精度就低。二、中誤差1.用真誤差計算中誤差的公式真誤差：標準差公式：中誤差公式為：3.2精度估計的標準

2.用改正數(shù)計算中誤差的公式當觀測值的真值未知時：設(shè)某未知量的觀測值為：則該量的算術(shù)平均值為：

則該量的改正數(shù)：計算得：觀測值的中誤差按觀測值的改正值計算中誤差m1較小,誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。兩組觀測值誤差的正態(tài)分布曲線的比較：m1=

2.7m2=

3.6不同中誤差的正態(tài)分布曲線三、相對中誤差

對于評定精度來說，有時利用中誤差還不能反映測量的精度。例如丈量兩條直線，一條長100m，另一條長20m，它們的中誤差都是全10mm，那么，能不能說兩者測量精度相同呢？為此，利用中誤差與觀測值的比值，即mi／Li來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。相對中誤差都要求寫成分子為1的分式，即1／N。上例為即前者的精度比后者高。四、極限誤差由偶然誤差的第一個特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是極限誤差。根據(jù)正態(tài)分布方程式可以表示誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間dΔ的概率：由此可見，大于2倍中誤差出現(xiàn)的概率小于5％，大于3倍中誤差出現(xiàn)的概率小于0.3％。因此，測量工作中以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為“允許誤差”或“限差”。四、極限誤差3.3觀測值的算術(shù)平均值及其中誤差一、算術(shù)平均值在相同的觀測條件下，對某一量進行n次觀測，觀測值為li

(i=1～n),取其算術(shù)平均值作為該量的最可靠的數(shù)值（故也稱“最或然值”）：算術(shù)平均值為何是該量最可靠的數(shù)值？可以用偶然誤差的特性來證明：證明算術(shù)平均值是最或然值按真值計算各個觀測值的真誤差：將上列等式相加，并除以n,得到：故算術(shù)平均值比較接近于真值，而成為最可靠的數(shù)值：二、觀測值的改正數(shù)最或然值與觀測值之差稱為“觀測值的改正值”(簡稱改正值)

v

:對［vv]求極小值：符合最小二乘法原理上列各式相加：說明：一組觀測值取算術(shù)平均值后，各個觀測值的改正值之和恒等于零，此可以作為計算的檢核。3.4誤差傳播在實際工作中，某些未知量不能直接觀測而求得，而是需要用觀測值間接求得，如三角形閉合差W=L1+L2+L3-180°，W是觀測值的函數(shù)，顯然由觀測值計算所得函數(shù)值的精確與否，主要取決于作為自變量的觀測值質(zhì)量的好壞。定義：闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。

對于一般函數(shù)：式中xi為自變量(獨立觀測值)，設(shè)mi

為觀測值的中誤差，Z

為獨立變量的函數(shù)。則Z

的中誤差為：式中為各個變量的偏導(dǎo)數(shù)。一、誤差傳播定律

誤差傳播定的幾個主要公式：函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)二、誤差傳播定律的應(yīng)用例1：在三角形ABC中，直接觀測了角A和角B，其中誤差分別為mA=±3″，mB=±4″，試求角C的中誤差mC

。解：①列函數(shù)式：C=180°-A-B應(yīng)用誤差傳播定律求mCABC?mc=±5″例2：量得比例尺為1∶500的地形圖上兩點間長度d

=134.7mm,圖上量距中誤差為

0.2mm,換算為實地距離D

和量距中誤差mD。函數(shù)式為D=500

d，實地距離和量距中誤差為：該距離及其中誤差可以寫成：例3DJ6級經(jīng)緯儀和6秒級全站儀一測回方向觀測值中誤差m

=±6″，水平角為兩個方向觀測值之差，故一測回水平角觀測的中誤差為：一測回水平角取盤左盤右角度的平均值，故半測回水平角值的中誤差為：盤左、盤右水平角值之差的中誤差為：以2倍中誤差作為極限誤差為±34″(一般規(guī)定40″)例4坐標計算的精度兩點之間,如果已測定其水平距離D和方位角α,則可按下式計算其坐標增量：對觀測值(自變量)D和α求偏導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)式的全微分：按誤差傳播定律,將上式轉(zhuǎn)換為坐標增量的中誤差表達式坐標增量的中誤差:上式右邊根號內(nèi)第一項為縱向誤差,是由距離誤差造成,第二項為橫向誤差,是由角度誤差造成。由縱橫坐標增量誤差或縱橫向誤差，形成兩點間的相對點位誤差：3.5非等精度觀測值的最或然值及其中誤差一.權(quán)的概念同一量的一系列等精度觀測值可以取其算術(shù)平均值，而同一量的一系列不等精度觀測值則應(yīng)取其加權(quán)平均值?！皺?quán)”(P)─衡量輕重,觀測值的中誤差(m)小,則權(quán)大;反之則權(quán)小。定義權(quán)與中誤差的平方成反比：C為任意常數(shù)。等于1的權(quán)稱為“單位權(quán)”,權(quán)等于1的中誤差稱為“單位權(quán)中誤差”(

mo

)。因此,權(quán)和中誤差的另一種表達式為：為了使“權(quán)”的概念簡單明了，取一次觀測、一個測回或單位長度（例如1km）等的測量誤差作為單位權(quán)中誤差。例如，以一測回的水平角觀測中誤差mβ為測角的單位權(quán)中誤差,則n

測回取其算術(shù)平均值的角度中誤差及其權(quán)為:又例如水準測量以一公里的高程測量中誤差mo作為單位權(quán)中誤差，則L(km)高差測量中誤差及其權(quán)為：由此可知，水準測量的權(quán)是路線長度的倒數(shù)。對某一未知量進行一組不等精度觀測：L1

,L2

,

…Ln

，其中誤差為m1

,m2

,…mn

，觀測值的權(quán)為p1

,p2

,…pn

。按照誤差理論，此時應(yīng)按下式取其加權(quán)平均值，作為該量的最或然值：二、加權(quán)平均值的中誤差加權(quán)平均值的計算式可以寫成線性函數(shù)的形式：按誤差傳播定律，得到：加權(quán)平均值中誤差及其權(quán)：三.單位權(quán)中誤差的計算根據(jù)：得到：取以上各式總和，并處以n，得到:以真誤差Δi

代替中誤差mi

,得到觀測值的真值已知時，用真誤差計算單位權(quán)中誤差的公式：在真值未知時，用觀測值的加權(quán)平均值x

代替真值X;用觀測值的改正值vi

代替真誤差Δi