第六章矩陣的相似特征值和特征向量

線性代數(shù)

LinearAlgebra

第6章矩陣的相似特征值和特征向量1第6章矩陣的相似特征值和特征向量在第3章中,利用矩陣的初等變換,引入了矩陣等價的概念及等價標(biāo)準(zhǔn)形(等價類中最簡單的代表),秩為矩陣等價下的不變量.以此處理某些矩陣問題行之有效.方陣的特征值、特征向量是方陣的一個重要屬性(如同秩).是線性代數(shù)理論中的重要內(nèi)容,且在數(shù)學(xué)(如解微分方程組、矩陣級數(shù)的收斂性、層次分析法etc.)及工程技術(shù)中中有著廣泛應(yīng)用.本章將介紹一種新的矩陣變換(相似變換)，研究矩陣相似對角化的條件，在矩陣相似下，秩不變且特征值不變.本章介紹的內(nèi)容僅對方陣而言2Definition6.12.1特征值與特征向量的概念

§2特征值和特征向量設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)和n維非零向量x使關(guān)系式（1）成立，則稱為A的特征值，非零向量x稱為A的對應(yīng)于特征值的特征向量.第6章矩陣的相似特征值和特征向量Theorem

6.1如果

x1，x2

都是A的屬于特征值的特征向量，則也是A的屬于特征值的特征向量。（其中k1，k2是任意常數(shù)，）3§2特征值和特征向量說明特征向量不是被特征值所唯一確定，相反，特征值卻是被特征向量所唯一確定。一個特征向量只能屬于一個特征值若非零向量x是屬于兩個特征值的特征向量,則有即于是又因為所以.

A的屬于特征值的全體特征向量，構(gòu)成向量空間嗎？

不！因為不含零向量。42.2特征值與特征向量的求法

由(1)可得(2)顯然，（2）有非零解的充要條件是即稱一元n次方程為A的特征方程;稱為方陣A的特征多項式；稱(2)為特征方程組.求特征值與特征向量即為求的根與的解（1）、（2）式都很重要，一般證明用（1），計算用（2）第6章矩陣的相似特征值和特征向量說明滿足的是A的特征值.反之也然.5Example1求的特征值與特征向量.Solution:特征值是當(dāng)解方程組即解得基礎(chǔ)解系A(chǔ)對應(yīng)于全部特征向量為(k1，k2

是不同時為零的任意常數(shù))當(dāng)，解方程組解得基礎(chǔ)解系A(chǔ)對應(yīng)于全部特征向量為（k3

是不為零的任意常數(shù)）未必有兩個§2特征值和特征向量62.3特征值與特征向量的性質(zhì)

Theorem

6.2設(shè)A是n階方陣，則AT

與A有相同的特征值.ProofTheorem

6.3設(shè)n階方陣A=(aij)的n個特征值為，則其中是

A

的主對角元之和，稱為方陣

A

的跡，記作

tr(A)Proof

Corollary

n階方陣A可逆的充分必要條件是它的任一特征值不等于零.根與系數(shù)的關(guān)系Goon

，則一定是A的特征值特征向量未必相同第6章矩陣的相似特征值和特征向量7Proof:Theorem6.2的證明有相同的特征多項式，故有相同的特征值§2特征值和特征向量8Theorem6.3的證明Proof:又因為是A的全部特征值，故比較得第6章矩陣的相似特征值和特征向量9Theorem6.4設(shè)是方陣A的特征值，x是A的屬于的特征向量，則（1）k是kA的特征值（k是任意常數(shù)）；（2）是Al

的特征值（l是正整數(shù)）；（3）

是的特征值（m是正整數(shù));（4）

當(dāng)A可逆時，是A-1

的特征值。且x仍是矩陣kA，Al，，A-1的分別屬于特征值，，，的特征向量。ProofProofNote:為

A，B

的特征值

未必是

A+B，AB

的特征值。(特征向量不同)Goon§2特征值和特征向量10Theorem6.4的證明Proof:由有所以，是kA的特征值，且x也是kA屬于的特征向量。Proof:當(dāng)A可逆時，由Co得因此，所以，是的特征值，且x也是的屬于的特征向量.第6章矩陣的相似特征值和特征向量11Theorem

6.5屬于不同的特征值的特征向量是線性無關(guān)的.Proof:設(shè)是方陣A的互不相同特征值,x1，x2，…，xm

是分別屬于它們的特征向量.對特征值的個數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)m=1時，由于特征向量是非零向量，所以必線性無關(guān)；假定屬于m-1個不同特征值的特征向量線性無關(guān)；設(shè)有數(shù)

k1，k2，…，km，使k1x1+k2x2+…+kmxm=0（1）則A(k1x1+k2x2+…+kmxm)=0即第6章矩陣的相似特征值和特征向量12另一方面，（1）式兩端乘以，有（3）式減去（2）式，得由歸納假設(shè)，x1，x2，…，xm-1是線性無關(guān)的，于是但是所以于是（1）式變成

kmxm=0又

所以km=0

即x1，x2,…,xm是線性無關(guān)的，根據(jù)歸納法定理成立.§2特征值和特征向量13Theorem

6.6

若是方陣A的不同的特征值，而xi1，xi2，…，xiri(i=1，2，…，m)是屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量，則向量組是線性無關(guān)的.Theorem

6.7

設(shè)為

n

階方陣

A

的

r重特征值，則對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量最多只有

r個.§2特征值和特征向量14Example2設(shè)和是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量依次為x1和x2，證明x1+x2不是A的特征向量.Proof:由題設(shè)故用反證法使于是假設(shè)x1+x2

是A的特征向量，則應(yīng)存在數(shù)即因,由Th.4.5知x1，x2線性無關(guān)，故由上式得即與題設(shè)矛盾因此，x1+x2不是A的特征向量.第6章矩陣的相似特征值和特征向量15§3矩陣相似的理論和應(yīng)用有了特征值與特征向量的概念，進一步討論新的矩陣變換，使之對角化.3.1相似矩陣及其性質(zhì)

Definition6.2設(shè)A和B都是n階方陣，若存在n階可逆矩陣P，使

P-1AP=B成立，則稱B是A

的相似矩陣，或稱矩陣A與B相似.對

A

進行運算

P-1AP，稱為對

A

進行相似變換，可逆矩陣

P

稱為

A

變成

B的相似變換矩陣.第6章矩陣的相似特征值和特征向量16顯然，矩陣的相似具有如下性質(zhì)：（1）反身性

A

與

A相似；（2）對稱性

若

A

與B

相似，則

B

與A也相似；（3）傳遞性

若

A與B

相似，B與C相似，則A與C相似.彼此相似的矩陣具有一些共性，也稱為相似不變性：Theorem

6.8若

n

階方陣

A和

B

相似，則（1）R(A)=R(B)；（2）A

與

B有相同的特征多項式和特征值；Proof

Note:1、Th6.8（2）中特征向量未必相同；2、Th6.8（2）中逆命題是不成立的.如：（3）tr(A)=tr(B),.P-1AP=BA=PBP-1P=Q-1Q-1BQ=AP-1AP=BQ-1BQ=CQ-1P-1APQ=C§3矩陣相似的理論和應(yīng)用17Theorem6.8的證明Proof:（1）由相似定義知，A與B

等價，從而R(A)=R(B).（2）由相似定義知，所以，A

與

B

有相同的特征多項式，從而有相同的特征值.（3）由（2）與Th6.3即可得到.第6章矩陣的相似特征值和特征向量18Example3設(shè)矩陣

A與

B相似，證明

Ak

與

Bk

也相似.(k為正整數(shù))Proof:由題設(shè)，存在可逆矩陣

P，使P-1AP=B于是所以，由定義Ak

與

Bk

相似.Note:如果B為對角陣，則可利用該結(jié)果計算

Ak主要問題：把方陣A對角化，即尋找相似變換矩陣

P

使（對角陣）

§3矩陣相似的理論和應(yīng)用193.2矩陣可相似對角化條件

先討論必要條件:已知存在可逆矩陣

P,使為對角陣把

P用列向量表示由得即于是有由Th6.8知對角線元素是A的特征值可見,是

A

的特征值，而

P

的列向量

pi就是

A

的對應(yīng)于特征值的特征向量。

反之，A

恰好有

n

個特征值（復(fù)數(shù)域中），并對應(yīng)求得

n

個特征向量。這

n個特征向量即可構(gòu)成矩陣P

使

Note:P是不唯一問題是：P是否可逆？即p1，p2，…，pn是否線性無關(guān)?第6章矩陣的相似特征值和特征向量20Example4設(shè)

求可逆矩陣

P使

P-1AP為對角陣.如果存在，對角元素的特點？Solution:A

的特征值為當(dāng)由即得基礎(chǔ)解系

當(dāng)由得由前述§3矩陣相似的理論和應(yīng)用21Example5求矩陣的特征值和特征向量.Solution:A

的特征值為當(dāng)解方程組得基礎(chǔ)解系當(dāng)解方程組得基礎(chǔ)解系在此例中，找不到三個線性無關(guān)的特征向量雖然但是不可逆的，所以A不能相似變換對角化.第6章矩陣的相似特征值和特征向量22Theorem

6.9n階矩陣

A與對角陣相似（即

A

能相似變換對角化）的充分必要條件是

A

有

n個線性無關(guān)的特征向量.Corollary1如果

n

階方陣

A

的

n

個特征值互不相同，則

A與對角陣相似.要求高了些.Corollary2如果

n

階方陣

A

的每個特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)的個數(shù)等于該特征值的重數(shù)，則

A與對角陣相似.這是充分必要條件§3矩陣相似的理論和應(yīng)用23Example6設(shè)

n

階冪等矩陣A（即

A2=A）的秩為

r（0<r

≤n），證明：Proof:設(shè)由得所以，冪等矩陣

A的特征值為0or1.由第三章

Ex.16R(A)+R(A-E)=nA相似于

diag(1，…，1，0，…，0)，其中1有r

個.秩（A-E）=n-r(A-E)x=0有r個線性無關(guān)的特征向量A

x=0有n-r個線性無關(guān)的特征向量取則P-1AP=diag(1，…，1，0，…，0)，其中1的個數(shù)為r（=秩(A)）,0的個數(shù)為n-r.第6章矩陣的相似特征值和特征向量24復(fù)習(xí)上節(jié)課（11.25）內(nèi)容設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)和n維非零列向量x使關(guān)系式（1）成立，則稱為A的特征值，非零向量x稱為A的對應(yīng)于特征值的特征向量。如果

x1，x2

都是A的屬于特征值的特征向量，則也是A的屬于特征值的特征向量。（其中k1，k2是任意常數(shù)，）設(shè)A是n階方陣，則AT

與A有相同的特征值.一、特征值、特征向量的定義與性質(zhì)25設(shè)n階方陣A=(aij)的n個特征值為，則其中是

A

的主對角元之和，稱為方陣

A

的跡，記作

tr(A)設(shè)是方陣A的特征值，x是A的屬于的特征向量，則（3）

是的特征值（m是正整數(shù));（4）

當(dāng)A可逆時，是A-1

的特征值。且x仍是矩陣，A-1的分別屬于特征值，的特征向量。Note:為

A，B

的特征值

未必是

A+B，AB

的特征值。(特征向量不同)26屬于不同的特征值的特征向量是線性無關(guān)的.二、特征值與特征向量的求法

1、求特征值與特征向量即為求的根與的解.基礎(chǔ)解系所含解向量個數(shù)未必等于特征根的重數(shù)三、相似矩陣及其性質(zhì)

設(shè)A和B都是n階方陣，若存在n階可逆矩陣P，使P-1AP=B成立，則稱B是A

的相似矩陣，或稱矩陣A與B相似.2、利用

Th27Theorem

6.9n階矩陣

A與對角陣相似（即

A

能相似變換對角化）的充分必要條件是

A

有

n個線性無關(guān)的特征向量.Corollary1如果

n

階方陣

A

的

n

個特征值互不相同，則

A與對角陣相似.Corollary2如果

n

階方陣

A

的每個特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)的個數(shù)等于該特征值的重數(shù)，則

A與對角陣相似.28Example7(人口流動問題)設(shè)某省共有50萬人口，其中城市人口20萬，農(nóng)村人口30萬。人口流動狀態(tài)的統(tǒng)計規(guī)律是每年有十分之一的城市人口流向農(nóng)村，十分之二的農(nóng)村人口流入城市。假定人口總數(shù)不變，現(xiàn)欲預(yù)測一、兩年后城市、農(nóng)村的人口數(shù)及其發(fā)展趨勢。Solution:用二維向量

x(i)表示第i年后，城市和農(nóng)村的總數(shù)，則已知x(0)=(20，30)T據(jù)統(tǒng)計規(guī)律§3矩陣相似的理論和應(yīng)用29為求Am知

A

的特征值為由A的特征多項式對應(yīng)的特征向量分別為令得因而，有于是第6章矩陣的相似特征值和特征向量30有從而當(dāng)時，故即當(dāng)時，城市與農(nóng)村人口為2:1，趨于穩(wěn)定的分布狀態(tài).§3矩陣相似的理論和應(yīng)用31§4實對稱矩陣的對角化第6章矩陣的相似特征值和特征向量4.1實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)Theorem

6.10實對稱矩陣的特征值為實數(shù).Proof:矩陣

A

的共軛：只需證：設(shè)是

A

的任一特征值，由和（是對應(yīng)的特征向量）有兩邊右乘

x得故即是實數(shù).

顯然，當(dāng)特征值為實數(shù)時，是實系數(shù)方程組，由知必有實的基礎(chǔ)解系，即特征向量可取實向量.32§4實對稱矩陣的對角化Theorem

6.11實對稱矩陣A對應(yīng)于不同特征值的特征向量相互正交.Proof:設(shè)由于，即

p1

與

p2

正交.Theorem

6.12設(shè)

A

為n

階實對稱矩陣，是

A

的

r

重特征值，則

A

的對應(yīng)于特征值的線性無關(guān)的特征向量恰有

r

個.334.2實對稱矩陣的相似對角化

Theorem

6.13

設(shè)

A

為

n

階實對稱矩陣，則必存在n

階正交陣U，使

U-1AU=UTAU=,其中是以A的n個特征值為對角元的對角陣.

對實對稱矩陣

A，求正交陣

U，使U-1AU=的步驟:1、求出A

的全部互不相等的特征值，它們的重數(shù)分別為

k1，k2，…，ks(k1+k2+…+ks=n).2、對每個

ki

重特征值，求方程的基礎(chǔ)解系，得

ki個線性無關(guān)的特征向量.再把它們正交化、單位化，得

ki

個兩兩正交的單位特征向量.共n個.3、把這

n個兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交矩陣

U，則

U-1AU=,注意

中對角元的排序應(yīng)與U中列向量排序相對應(yīng).第6章矩陣的相似特征值和特征向量34§4實對稱矩陣的對角化Example8設(shè)，求正交陣