第十四章機(jī)械振動(dòng)

第十四章機(jī)械振動(dòng)前言：1、振動(dòng)是物質(zhì)的普遍運(yùn)動(dòng)形式2、某物理量在某一值附近作周期性變化—振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)：物體在某一位置附近作周期往復(fù)運(yùn)動(dòng)電磁振蕩：電場(chǎng)、磁場(chǎng)隨時(shí)間作周期性變化3、簡(jiǎn)諧振動(dòng)（簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)）：最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)1、運(yùn)動(dòng)學(xué)特征物體的位移(x)是時(shí)間的余弦(或正弦)的函數(shù)(或)物體的加速度與位移(x)成正比，而方向相反圖示等圖線2、動(dòng)力學(xué)特征由牛頓第二定律得以彈簧和物體的振動(dòng)（彈簧振子）為例，點(diǎn)處物體所受合外力為零，取圖示ox坐標(biāo)軸，物體在任一位置處受到彈簧作用的彈性力令則方程的解：物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因此物體在線性回復(fù)力的作用下作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，或者說(shuō)，運(yùn)動(dòng)物體具有上式動(dòng)力學(xué)微分方程的，則該物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)3、能量特征彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能分別為因?yàn)?，則總機(jī)械能為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能隨時(shí)間變化，但機(jī)械能是守恒的，其總能量與振幅(A)平方成正比（如圖）二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征物理量1、周期：物體作一次完全振動(dòng)的時(shí)間得因，所以（固有周期）單位時(shí)間內(nèi)物體的完全振動(dòng)次數(shù)—頻率單位時(shí)間內(nèi)所作的完全振動(dòng)次數(shù)的倍—角頻率2、振幅A：在振動(dòng)中，物體離開平衡位置的最大位移絕對(duì)值3、相位()，初相位()—確定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體在任一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量例如：某時(shí)刻的相位則物體的振動(dòng)狀態(tài)如時(shí)，初相物體的振動(dòng)狀態(tài)由即該時(shí)刻物體處于平衡位置，且向方向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)即時(shí)刻物體處于位移為，且向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。反之，若某時(shí)刻，物體處于，且向x正方向運(yùn)動(dòng)則或又有則必然4、常數(shù)和的確定若已知時(shí)的位移和速度，則解得三、研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一種輔助方法1、旋轉(zhuǎn)矢量法即和是由振動(dòng)系統(tǒng)()的初始條件()所決定的自ox軸的原點(diǎn)作一矢量(A為振幅大小)，繞點(diǎn)以逆時(shí)針勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)，矢量與ox軸夾角為，則任一時(shí)刻，矢量與ox軸夾角為()，矢量端點(diǎn)在ox軸上投影點(diǎn)的位置因此，旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)投影點(diǎn)在軸上的運(yùn)動(dòng)，可以用來(lái)表示物體在軸上的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)2、旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用（1）旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)在軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，形象而直觀地展示了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。由于旋轉(zhuǎn)矢量勻角速運(yùn)動(dòng)，因此給研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)帶來(lái)方便。（2）旋轉(zhuǎn)矢量把描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)物理量直觀地表示出來(lái)（3）用旋轉(zhuǎn)矢量與軸夾角表示相位，不僅相位計(jì)算方便，而且有助于對(duì)相位概念的理解如前，時(shí)，時(shí)，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，以及某時(shí)刻時(shí)的相位（如圖）（4）在討論振動(dòng)合成時(shí)，帶來(lái)極大方便三、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的研究1、研究的基本方法（1）正確運(yùn)用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征和規(guī)律（2）旋轉(zhuǎn)矢量方法的應(yīng)用（3）振動(dòng)曲線圖2、典型例題例1、質(zhì)量為的平底木船模型，其平均截面積為，豎直高度靜浮在水中，若不計(jì)阻力，將其豎直再向下壓入后，靜止釋放模型，求船模型的運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)方程（設(shè)水的密度為木船模型）解：取平衡時(shí)模型底部為坐標(biāo)原點(diǎn)，取圖示ox軸，當(dāng)模型底部在圖(b)位置時(shí)，其受的合力∴模型作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)其角頻率為由初始條件確定和（時(shí)）則振動(dòng)方程解：從動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析例2、設(shè)地球是一個(gè)半徑為的均勻球體，現(xiàn)假定沿直徑鑿?fù)ㄒ粭l隧道。若有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在此隧道內(nèi)作無(wú)摩擦的運(yùn)動(dòng)，求證此質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（P37，14-4）（1）地球球心為坐標(biāo)原點(diǎn)作ox軸，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處于某位置x時(shí)，其受力∴質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)式中為半徑為的地球質(zhì)量，若地球質(zhì)量密度為，則所以討論：（1）振動(dòng)周期該周期恰等于人造地球衛(wèi)星繞地球一周的時(shí)間！這是什么道理？（2）若地球上開鑿另一隧道，如圖，那么情況又如何例題3、已知物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖線，試根據(jù)圖線寫出其振動(dòng)方程解：方法Ⅰ設(shè)振動(dòng)方程為由圖知，又由圖知所以則得由圖知所以方法Ⅱ：旋轉(zhuǎn)矢量法∴取由此得振動(dòng)方程初相的確定：時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn)向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，則對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量位于位置，所以初相位角頻率的確定：時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn)向軸正方向，對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量位于位置，可見矢量旋轉(zhuǎn)，則角頻率為求：（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程（2）質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到處最短時(shí)間例題4、已知質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅，角頻率，開始時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于處，向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。解：（1）用旋轉(zhuǎn)矢量法確定初相（如圖），則（2）將代入運(yùn)動(dòng)方程。則又由題意得，此時(shí)取顯然，計(jì)算結(jié)果是錯(cuò)誤的?。槭裁矗┓治觯涸\(yùn)動(dòng)方程中，表明質(zhì)點(diǎn)的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是從向軸正方向運(yùn)動(dòng)，顯然與題意不符！按題意所指是從向軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)到處所需時(shí)間。因此，其初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的初相，得然后以代入計(jì)算，仿前可得更簡(jiǎn)單的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矢量法計(jì)算質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到最短的時(shí)間，對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量是從運(yùn)動(dòng)到，則所需時(shí)間小結(jié)：1、初相位（相位）的物理意義2、旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用四、單擺和復(fù)擺由轉(zhuǎn)動(dòng)定律1、單擺：設(shè)某時(shí)刻角位移為，則力矩（對(duì)A點(diǎn)）當(dāng)角很小時(shí)（）（與比較）2、復(fù)擺：質(zhì)量為m的物體繞水平軸自由擺動(dòng)單擺作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程設(shè)質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸距離為，復(fù)擺小角度擺動(dòng)，則作用于復(fù)擺的力矩為所以復(fù)擺作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，且例題1、一均勻等邊三角形薄板，質(zhì)量為，高度為，如圖，當(dāng)其繞邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，已知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，求其微小振動(dòng)的周期解：薄板作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其式中，質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸距離，所以例題2、圖示一輕質(zhì)繩一端連接輕質(zhì)彈簧，其勁度系數(shù)為，繩另一端繞過(guò)一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的薄圓盤與物體相連，圓盤半徑為開始時(shí)，使彈簧處于原長(zhǎng)，然后靜止釋放物體，求物體運(yùn)動(dòng)方程解：取物體、彈簧和圓盤為研究對(duì)象，分析它們受力，其動(dòng)力學(xué)方程分別為且將物體⑴圓盤⑵彈簧⑶和代入式⑵得則物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其周期為用能量方法研究系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)該系統(tǒng)（和地球）的機(jī)械能守恒，則有兩邊求導(dǎo)式中與上結(jié)果相同注：從能量守恒導(dǎo)出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的思路，對(duì)研究非機(jī)械運(yùn)動(dòng)十分重要，因?yàn)榇藭r(shí)已不宜用受力分析的方法了！五、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成（進(jìn)一步認(rèn)識(shí)研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的重要性）1、同頻率、同方向的兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成（仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)）其中以上結(jié)果，可以用旋轉(zhuǎn)矢量方法導(dǎo)出分別畫出矢量和矢量由平行四邊形法則求得和合成結(jié)果：（1）仍然作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)方向和頻率保持不變（2）兩個(gè)重要的特例若合成加強(qiáng)若合成減弱（3）相位差任意值時(shí)，合振幅值在和之間2、多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成設(shè)有個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，且振幅相等，相位差依次恒為，即由旋轉(zhuǎn)矢量法求合成結(jié)果，圖示，用多邊形法則計(jì)算合矢量。其合成后仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，表達(dá)式為由幾何關(guān)系得合矢量大小相位為：（1）若討論：（N個(gè)矢量同方向）（2）若（N個(gè)矢量構(gòu)成一閉合圖形）如（如圖）如（如圖）3、兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成合成運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)當(dāng)兩個(gè)頻率很大且比較接近時(shí)，合成結(jié)果出現(xiàn)合振幅隨時(shí)間發(fā)生周期性變化—“拍”設(shè)定性分析：用位移—時(shí)間曲線說(shuō)明圖(a)(b)分別表示兩個(gè)分振動(dòng)的位移—時(shí)間曲線(設(shè))圖(c)表示合振動(dòng)曲線

虛線表示合振幅隨時(shí)間周期性變化定量討論：處兩振動(dòng)相位相同合振幅最大處兩振動(dòng)相位相反合振幅最小合振幅上述結(jié)果可以用旋轉(zhuǎn)矢量合成法求得，如圖可見其合振幅隨時(shí)間作緩慢的周期性變化，合振幅在和之間時(shí)大時(shí)小的變化—“拍”的現(xiàn)象合振幅變化頻率—拍頻為六、兩個(gè)垂直簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成可見，合振動(dòng)的軌跡一般為橢圓1、兩個(gè)相互垂直的同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成得軌跡方程合振動(dòng)軌跡為一條直線，合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（如圖）（1）若（或）（2）（或）合振動(dòng)軌跡為正橢圓，當(dāng)時(shí)為一圓（如圖）2、兩個(gè)相互垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成（1）與不同，合成運(yùn)動(dòng)復(fù)雜，且軌跡不穩(wěn)定總結(jié)：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是研究復(fù)雜運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)（2）與為簡(jiǎn)單整數(shù)比，才有穩(wěn)定軌跡—李薩如圖（如圖）七、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振1、阻尼振動(dòng)：系統(tǒng)在回復(fù)力和阻力作用下的減幅振動(dòng)當(dāng)物體速度不太大時(shí)，受到阻力(C為阻力系數(shù)）彈簧振子有設(shè)（固有頻率）（阻尼系數(shù)）在阻尼較小時(shí)，解得式中—有阻尼時(shí)系統(tǒng)的角頻率討論：（1）阻尼振動(dòng)位移—時(shí)間曲線（圖示）（2）若過(guò)阻尼（圖示b）（3）若臨界阻尼（圖示c）2、受迫振動(dòng)：系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)系統(tǒng)受力：回復(fù)力、阻力和周期性外力（驅(qū)動(dòng)力）則