第四章平均數(shù)比較與T檢驗

第四章平均數(shù)比較與T檢驗第一節(jié)假設(shè)檢驗的理論要點均值不相等的兩個樣本不一定來自均值不同的總體，能否用樣本均數(shù)估計總體均數(shù)，兩個變量均數(shù)接近的樣本是否來自均值相同的總體，換句話說，兩個樣本某變量均值不同，其差異是否具有統(tǒng)計意義，能否說明總體差異。這些都是各種研究工作中經(jīng)常提出的問題，均值比較可以解決這些問題。

對來自正態(tài)總體的兩個樣本進行均值比較常使用T

檢驗的方法，T檢驗要求兩個被比較的樣體來自正態(tài)總體，兩個樣本方差相等與不等時使用的計算t值的公式不同。在獨立樣本T檢驗中還要用到進行方差齊次性檢驗的F

檢驗，這就要用到假設(shè)檢驗的基本理論了。假設(shè)檢驗的基本思想

前提：承認原假設(shè)小概率事件發(fā)生大概率事件發(fā)生拒絕原假設(shè)接受原假設(shè)進行一次實驗一、零假設(shè)和備擇假設(shè)

在研究之前不知其結(jié)果，可根據(jù)已有經(jīng)驗或理論對預(yù)期的結(jié)果做出假定性的說明，即假設(shè)。假設(shè)檢驗一般要提出兩個相互對立的假設(shè)：一個叫零假設(shè)，另一個叫備擇假設(shè)。1、零假設(shè)所謂零假設(shè)，就是關(guān)于樣本所屬總體（指參數(shù)值）與假設(shè)總體（指參數(shù)值）之間無差異的假設(shè)也叫做原假設(shè)、虛無假設(shè)、解消假設(shè)。零假設(shè)是假設(shè)檢驗中希望拒絕的假設(shè)。2、備擇假設(shè)所謂備擇假設(shè)就是和零假設(shè)相反的假設(shè)。指的是關(guān)于當前樣本所屬的總體（指參數(shù)值）與假設(shè)總體（指參數(shù)值）有差異的假設(shè)，是研究者根據(jù)樣本信息期待證實的假設(shè)，是否定了零假設(shè)后應(yīng)當采取的假設(shè)，也叫做研究假設(shè)、對立假設(shè)。記為：假設(shè)檢驗總是從零假設(shè)開始的，然后，看有多大的把握拒絕零假設(shè)。如果拒絕零假設(shè)的把握非常大，則應(yīng)該拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)，認為樣本所屬總體的參數(shù)與假設(shè)總體參數(shù)有顯著性差異，即本質(zhì)差異；如果拒絕零假設(shè)的把握不大，或者說，若拒絕零假設(shè)犯錯誤的概率太大，則只好保留零假設(shè)，認為樣本所屬總體的參數(shù)與假設(shè)總體參數(shù)沒有顯著性差異，即本質(zhì)差異。假設(shè)檢驗的兩大特點：（1）根據(jù)一定的概率來下結(jié)論；（2）采用反證法。二、小概率事件樣本統(tǒng)計量的值（隨機事件）在其抽樣分布上出現(xiàn)的概率小于或等于事先規(guī)定的水平，這時，就認為小概率事件發(fā)生了。把出現(xiàn)小概率的隨機事件稱為小概率事件。例如，假設(shè)某個樣本所來自的總體等于假設(shè)的總體。于是，可以分析如果零假設(shè)是真實的，那么樣本統(tǒng)計量的分布如何。并且，可以按照事先規(guī)定的水平把抽樣分布分成兩個區(qū)域，一個屬于零假設(shè)的保留區(qū)域（出現(xiàn)的概率比較大），另一個為零假設(shè)的拒絕區(qū)域，出現(xiàn)的概率比較?。湓谶@個區(qū)域的事件都屬于小概率事件）。然后，實際分析所獲得的這個樣本統(tǒng)計量值，看它落入哪個區(qū)域。如果出現(xiàn)的概率足夠小，屬于小概率事件，就根據(jù)小概率事件在一次抽樣中幾乎不可能發(fā)生原理，從實際可能性上，推翻零假設(shè)。由此可見，小概率事件發(fā)沒發(fā)生，是拒絕或保留零假設(shè)的依據(jù)。三、顯著性水平統(tǒng)計學(xué)中把這種拒絕零假設(shè)的概率稱為顯著性水平，表示為：也可以說，顯著性水平是統(tǒng)計推斷時，可能犯錯誤的概率。值和可靠度之間的關(guān)系是：兩者之和為1。值越大，可靠度就越低；值越小，可靠度就越高。P值與H0的關(guān)系P值H0成立概率大小差異顯著程度P小于或者等于0.01H0成立概率極小差異非常顯著P小于或者等于0.05H0成立概率較小差異顯著P大于0.05H0成立概率較大差異不顯著四、假設(shè)檢驗的形式和步驟：1、形式：雙側(cè)檢驗只強調(diào)差異不強調(diào)方向的檢驗為雙側(cè)檢驗。所提出的假設(shè)檢驗的問題是是否一樣、相同、有差異等等。單側(cè)檢驗既檢驗差異又考慮差異的方向的檢驗為單側(cè)檢驗。具體來說，又分為左側(cè)檢驗和右側(cè)檢驗。左側(cè)檢驗所提出的假設(shè)檢驗的問題是否低于、差于總體平均數(shù)等等。右側(cè)檢驗所提出的假設(shè)檢驗的問題是否高于、優(yōu)于、超過總體平均數(shù)、有效等等。2、假設(shè)檢驗的程序第一，提出原假設(shè)和備擇假設(shè)第二，確定適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量根據(jù)樣本的大小、總體方差是否已知，選擇適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量。第三，規(guī)定顯著性水平是當原假設(shè)為正確時人們卻把它拒絕了的概率或風(fēng)險。是由人們確定的，當a取0.05時，表明作出接受原假設(shè)的決定時，其正確的可能性（概率）為95%。第四，計算檢驗統(tǒng)計量的值及相伴概率P值第五，作出統(tǒng)計決策將相伴概率P值與規(guī)定的顯著性水平a比較，作出接受原假設(shè)還是接受備擇假設(shè)的決策。第二節(jié)單一樣本和兩個樣本T檢驗

對來自正態(tài)總體的兩個樣本進行均值比較常使用T檢驗的方法，T檢驗要求兩個被比較的樣體來自正態(tài)總體，兩個樣本方差相等與不等時使用的計算t值的公式不同。方差齊性檢驗是統(tǒng)計分析中的一種常見過程，它是從樣本方差以至樣本各自所代表的總體方差是否相同而判斷兩個樣本同質(zhì)性（homogeneity)的方法。簡單地說，方差齊性檢驗就是檢驗各個方差是否存在顯著性差異。一般采用Levene方法：先將各組觀測值均轉(zhuǎn)換為離差絕對值，然后對各組離差絕對值進行方差分析，如果方差分析的結(jié)果中p>0.05，則認為方差齊性（即方差具有相同性）；方差分析的結(jié)果中p<0.05，則認為方差不齊性（即方差具有不同質(zhì)性）。

一、T檢驗的適應(yīng)條件

t檢驗是用t分布理論來推論差異發(fā)生的概率，從而比較兩個平均數(shù)的差異是否顯著。它與Z檢驗、卡方檢驗并列。t檢驗的適用條件：1、已知一個總體均數(shù)；2、可得到一個樣本均數(shù)及該樣本標準差；3、樣本來自正態(tài)或近似正態(tài)總體。二、單一樣本T檢驗t檢驗分為單總體檢驗和雙總體檢驗。單總體t檢驗時檢驗一個樣本平均數(shù)與一個已知的總體平均數(shù)的差異是否顯著。當總體分布是正態(tài)分布，如總體標準差未知且樣本容量小于30，那么樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計量呈t分布。單總體t檢驗統(tǒng)計量為：

(df=n-1)

例：某種生產(chǎn)浴皂機器的設(shè)計規(guī)則為每批平均生產(chǎn)120塊肥皂，超過或低于這個標準都是不合理的。如下有10批產(chǎn)品組成的樣本，且假定總體服從正態(tài)分布。見肥皂生產(chǎn).sav108118120122119113124122120123顯著性水平a為0.05，通過該樣本檢驗，分析是否該生產(chǎn)過程運作正常從檢驗結(jié)果可以看出，t統(tǒng)計量的值為-0.705，相伴概率值P（sig.——significance）為0.498>0.05，因此不能拒絕H0的原假設(shè)（120的檢驗值），顯著性差異不大，結(jié)果表示該生產(chǎn)過程較正常。三、獨立樣本t檢驗雙總體t檢驗是檢驗兩個樣本平均數(shù)與其各自所代表的總體的差異是否顯著。雙總體t檢驗又分為兩種情況，一是獨立樣本t檢驗，一是配對樣本t檢驗。獨立樣本(IndependentSample)是指兩個樣本彼此獨立，沒有任何關(guān)聯(lián)。例如實驗組與控制組、男生組與女生組、高收入組與低收入組、旅游學(xué)院與外國語學(xué)院等。但這里的獨立樣本是廣義的獨立，僅是指非關(guān)聯(lián)變量。兩獨立的樣本各接受相同的測量，研究者的興趣在比較兩批樣本群在測量結(jié)果總體上是否存在差異。獨立樣本中，所有觀測都是獨立的，即具體個別樣本的順序可以變化的，與變量無關(guān)。獨立樣本t檢驗統(tǒng)計量為：

其中：稱為聯(lián)合方差

例：某研究機構(gòu)分別對20款中型及小型汽車進行安全性測試，較低的分數(shù)意味著安全性更高。數(shù)據(jù)見文件要汽車安全性測試.sav，求使用兩獨立樣本T檢驗來比較中型和小型汽車的安全性有無差異。檢驗結(jié)果分析：首先，如果F檢驗的P>α，則不能拒絕F檢驗的H0，認為方差齊性；其次看第一行的t檢驗概率。如果≤α，則拒絕t檢驗的H0，認為兩總體均值有顯著差異；如果>α，則不拒絕t檢驗的H0，認為兩總體均值不具有顯著差異。那么，如果F檢驗的P≤α，則拒絕F檢驗的H0，認為方差不齊性；其次看第二行的t檢驗概率。其余同上。針對本例，由于F檢驗中sig.值大于0.05，因此根據(jù)第一行t檢驗顯著性概率為0.000，即認為中型汽車和小型汽車的安全性得分有顯著性差異。四、配對樣本Ｔ檢驗配對樣本（PairedSample）或相關(guān)樣本（CorrelatedSample），指兩個樣本的觀測值之間彼此有關(guān)聯(lián)，如同一批被試者接受兩種實驗條件，即同一批觀測對象接受兩種不同的測量。對于此類樣本，研究者所感興趣的是二次測量之間是否存在差異。如實驗前和實驗后的測量，即具體個別樣本的順序不可以變化的。配對樣本t檢驗統(tǒng)計量為：

(df=n-1)其中r為相關(guān)系數(shù)案例見減肥食品效果.sav配對樣本的t檢驗一般不需要事先進行方差齊性檢驗。因為配對樣本是成對數(shù)據(jù)，即兩組數(shù)據(jù)存在對應(yīng)關(guān)系，沒有必要考慮由兩個樣本方差共同估計總體方差(聯(lián)合方差)。本例中，t檢驗顯著性相伴概率p值為0.001，差異非常顯著，即減肥效果明顯。五、T檢驗注意事項1、選用的檢驗方法必須符合其適用條件(t檢驗的前提是資料服從正態(tài)分布)。理論上，即使樣本量很小時，也可以進行t檢驗。（如樣本量為10，一些學(xué)者聲稱甚至更小的樣本也行），只要每組中變量呈正態(tài)分布，兩組方差不會明顯不同。如上所述，可以通過觀察數(shù)據(jù)的分布或進行正態(tài)性檢驗估計數(shù)據(jù)的正態(tài)假設(shè)。方差齊性的假設(shè)可進行F檢驗。如果不滿足這些條件，只好使用非參數(shù)檢驗代替t檢驗進行兩組間均值的比較。2、區(qū)分單側(cè)檢驗和雙側(cè)檢驗。單側(cè)檢驗的界值小于雙側(cè)檢驗的界值，因此更容易拒絕，犯第1錯誤的可能性大，即t檢驗中的p值是接受兩均值存在差異這個假設(shè)可能犯錯的概率。3、假設(shè)檢驗的結(jié)論不能絕對化。當一個統(tǒng)計量的值落在臨界域內(nèi)，這個統(tǒng)計量是統(tǒng)計上顯著的，這時拒絕虛擬假設(shè)。當一個統(tǒng)計量的值落在接受域中，這個檢驗是統(tǒng)計上不顯著的，這是不拒絕虛擬假設(shè)H0。因為，其不顯著結(jié)果的原因有可能是樣本數(shù)量不夠拒絕H0，有可能犯第1類錯誤。4、正確理解P值與差別有無統(tǒng)計學(xué)意義。P越小，不是說明實際差別越大，而是說越有理由拒絕H0，越有理由說明兩者有差異，差別有無統(tǒng)計學(xué)意義和有無專業(yè)上的實際意義并不完全相同。5、假設(shè)檢驗和可信區(qū)間的關(guān)系結(jié)論具有一致性差異：提供的信息不同區(qū)間估計給出總體均值可能取值范圍，但不給出確切的概率值，假設(shè)檢驗可以給出H0成立與否的概率。

第三節(jié)單因素方差分析問題的提出通過參數(shù)檢驗可以解決兩兩總體均值的比較，那么多個總體均值的檢驗如何作？(如：北京、上海、廣州周歲兒童平均身高的比較）。這可以利用方差分析的方法來實現(xiàn)一、方差分析的基本問題

（一）方差分析的內(nèi)容定義：方差分析就是對多個總體均值是否相等這一假設(shè)進行檢驗。方差分析作為一種統(tǒng)計方法，是把實驗數(shù)據(jù)的總變異分解為若干個不同來源的分量。因而它所依據(jù)的基本原理是變異的可加性。不同來源的變異只有當它們可加時，才能保證總變異分解的可能。具體地講，它是將總平方和分解為幾個不同來源的平方和(這里的平方和指實驗數(shù)據(jù)與平均數(shù)離差的平方和)。方差分析包括：1、單因素方差分析2、多因素方差分析3、協(xié)方差分析單因素方差分析：對單因素試驗結(jié)果進行分析，檢驗因素對試驗結(jié)果有無顯著性影響的方法叫單因素方差分析。單因素方差分析是兩個樣本平均數(shù)比較的延伸，它是用來檢驗多個平均數(shù)之間的差異，從而確定因素對試驗結(jié)果有無顯著性影響的一種統(tǒng)計方法。二、方差分析的原理（一）數(shù)據(jù)差異的來源1、因素的水平不同（系統(tǒng)性差異）；2、隨機因素（隨機性差異）。（二）數(shù)據(jù)差異的度量1、水平之間的方差（組間方差）——系統(tǒng)性因素和隨機因素的共同作用。2、水平內(nèi)部的方差（組內(nèi)方差）——隨機性因素的作用。（三）方差分析的基本思想：如果因素對結(jié)果沒有影響，那么水平間的方差就只含隨機性差異而沒有系統(tǒng)性差異，其值與水平內(nèi)部方差就應(yīng)該很接近，兩個方差的比值就會接近于1；反之，水平間方差就同時包含系統(tǒng)性差異和隨機性差異，兩個方差的比值就會明顯大于1，當這個比值大到某個程度（比如說大于某個臨界值）就可以作結(jié)論：不同水平間存在顯著差異。三、檢驗統(tǒng)計量1、方差分析的統(tǒng)計假設(shè)：；2、檢驗的統(tǒng)計量：組間均方差與組內(nèi)均方差之比

是一個統(tǒng)計量，服從分布（

Distribution）。至少兩個總體的均值不等四、單因素方差分析目的與相關(guān)術(shù)語(一)目的檢驗?zāi)骋粋€控制因素的改變是否會給觀察變量帶來顯著影響。例如：考察不同肥料對某農(nóng)作物畝產(chǎn)量是否有顯著差異?？疾鞁D女生育率在不同地區(qū)是否有顯著差異?？疾觳煌瑢W(xué)歷是否對工資收入產(chǎn)生顯著