第四章統(tǒng)計(jì)推斷：估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

第4章統(tǒng)計(jì)推斷：估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)4.1統(tǒng)計(jì)推斷的含義4.2點(diǎn)估計(jì)及估計(jì)量的特征4.3區(qū)間估計(jì)方法4.4假設(shè)檢驗(yàn)4.1統(tǒng)計(jì)推斷的含義統(tǒng)計(jì)推斷研究的是總體與來(lái)自總體的樣本之間的關(guān)系，根據(jù)來(lái)自總體的樣本對(duì)總體的種種特征做出判斷。參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的兩個(gè)孿生分支參數(shù)估計(jì)問(wèn)題包括點(diǎn)估計(jì)（pointestimation）和區(qū)間估計(jì)（intervalestimation).假設(shè)檢驗(yàn)包括顯著性檢驗(yàn)和置信區(qū)間法4.2點(diǎn)估計(jì)及估計(jì)量的特征一、點(diǎn)估計(jì)的含義所謂點(diǎn)估計(jì)就是給出被估計(jì)參數(shù)的一個(gè)特定的估計(jì)值。例如隨機(jī)變量X服從某一未知均值和方差的正態(tài)分布，若有來(lái)自該正態(tài)總體的一隨機(jī)樣本，則這些樣本數(shù)據(jù)的平均值就為總體的均值ux的點(diǎn)估計(jì)值，為點(diǎn)估計(jì)量。4.2點(diǎn)估計(jì)及估計(jì)量的特征一、點(diǎn)估計(jì)的含義點(diǎn)估計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量，因?yàn)槠渲惦S樣本的不同而不同。常用的點(diǎn)估計(jì)方法有三種：矩法、最大似然法、最小二乘法。對(duì)同一樣本根據(jù)三種方法估計(jì)同一參數(shù)，所獲得的估計(jì)結(jié)果可能互不相同。然而由于各種建立原則的合理性，所以三種方法在研究中都經(jīng)常使用。二、點(diǎn)估計(jì)方法（1）矩法矩法是求估計(jì)量最古老的方法。具體作法是：以一樣本矩作為相應(yīng)總體矩的估計(jì)量；以樣本矩的函數(shù)作為相應(yīng)的總體矩同樣函數(shù)的估計(jì)量。這種方法最常見(jiàn)的應(yīng)用是用樣本平均數(shù)估計(jì)總體數(shù)學(xué)期望，用樣本方差S2估計(jì)總體的方差。矩法比較直觀，求估計(jì)量時(shí)有時(shí)也比較直接，但它求出的估計(jì)量往往不夠理想。矩法點(diǎn)估計(jì)的例題

例4-1某燈泡廠某天生產(chǎn)了一大批燈泡，從中抽取了10個(gè)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，獲得數(shù)據(jù)如下（單位：小時(shí)），問(wèn)該天生產(chǎn)的燈泡的平均壽命是多少？計(jì)算得樣本算術(shù)平均數(shù)=1147，作為總體數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值（2）最大似然法(MaximumLikelihoodEstimation)

a、一個(gè)重要的事實(shí)不同的總體會(huì)產(chǎn)生不同的樣本，對(duì)于某一特定的樣本，在不了解產(chǎn)生它的總體究竟為何物的觀察者眼中，它來(lái)自一些總體的可能性要比來(lái)自另一些總體的可能性大，即一些總體更容易產(chǎn)生出我們所觀察到的樣本。舉例說(shuō)假定我們抽取到（x1,x2,……,x8），知道它來(lái)自正態(tài)總體，且總體的方差是了解的，但是總體的均值未知。如下圖所示。二、點(diǎn)估計(jì)方法

假定樣本不是來(lái)自B就是來(lái)自A。如果樣本來(lái)自B，觀察到它的可能性非常??；真正的母體若是A，得到樣本的可能性很大。顯然我們寧愿承認(rèn)樣本來(lái)自A。是樣本“替”我們“選擇”了A。

x1x2x3x4x5x6x7x8分布B分布A概率xb、最大似然法的概念上述事實(shí)誘導(dǎo)我們寧愿作出這樣的抉擇：將樣本最容易來(lái)自的總體當(dāng)作產(chǎn)生樣本的總體?，F(xiàn)在要根據(jù)從總體中抽取得到的樣本(x1,……,xn)對(duì)總體中的未知數(shù)進(jìn)行估計(jì)。最大似然法是選擇這樣的估計(jì)量^作為的估計(jì)值，以便使觀察結(jié)果(x1,……,xn)出現(xiàn)的可能性（概率）最大。對(duì)于離散型變量，就是要選擇

使p(x1)p(x2)…p(xn)最大。（連乘——表示一次獨(dú)立地抽取各個(gè)樣本觀察值）對(duì)于連續(xù)型變量，就是要選擇

使(x1)(x2)...(xn)最大。注意(xi)是隨機(jī)變量在xi附近取值的概率，相當(dāng)于離散型的p(xi)。c、似然法函數(shù)

d、最大似然法的定義和估計(jì)方法

定義如果L(x1,x2,…，xn;θ)在處達(dá)到最大值，則稱

是θ的最大似然估計(jì)。為了取得的最大似然估計(jì)，必須使似然函數(shù)L達(dá)到最大值。由于對(duì)數(shù)函數(shù)是單增的，L達(dá)到最大亦即LnL達(dá)到最大。這樣使LnL達(dá)到最大來(lái)估計(jì)為計(jì)算帶來(lái)了許多方便。根據(jù)拉格朗日定理，對(duì)未知參數(shù)求條件極值，令LnL對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)等于0，即dLnL/d=0==>得到似然方程，所求的就是似然方程中的解。注意：當(dāng)不只一個(gè)參數(shù)需要估計(jì)時(shí)，應(yīng)將LnL分別對(duì)不同參數(shù)求偏導(dǎo)，然后解似然方程組最大似然估計(jì)法對(duì)方差的估計(jì)往往是有偏估計(jì)量，以后對(duì)線性模型估計(jì)時(shí)也是如此。（3）最小二乘法

(LeastSquareEstimationMethod)最小二乘法是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的一種估計(jì)方法。這是本課程研究的重點(diǎn)問(wèn)題，在以后各章中將詳盡地闡述它的原理、步驟、特性和優(yōu)越處。二、點(diǎn)估計(jì)方法三點(diǎn)估計(jì)量的特征所謂估計(jì)量的特性指的是衡量一個(gè)統(tǒng)計(jì)量用以估計(jì)總體參數(shù)的好壞標(biāo)準(zhǔn)。點(diǎn)估計(jì)量的一些統(tǒng)計(jì)性質(zhì)（1）線性；（2）無(wú)偏性；（3）有效性；（4）最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)量（BLUE）；（5）一致性（1）線性若估計(jì)量是樣本觀察值的線性函數(shù)，則稱該估計(jì)量是線性估計(jì)量樣本均值是一個(gè)線性估計(jì)量（2）無(wú)偏性無(wú)偏性的直觀意義根據(jù)樣本推得的估計(jì)值和真值可能不同，然而如果有一系列抽樣依據(jù)同一估計(jì)方法就可以得到一系列估計(jì)值，很自然會(huì)要求這些估計(jì)的期望值與未知參數(shù)的真值相等。這就是無(wú)偏性的概念，無(wú)偏性的直觀意義是：樣本估計(jì)量的數(shù)值在真值周圍擺動(dòng)，即無(wú)系統(tǒng)誤差。無(wú)偏性的定義

的真值的真值有偏無(wú)偏例4-3

無(wú)偏性是估計(jì)量最重要的優(yōu)良性，是一個(gè)重復(fù)抽樣的性質(zhì)，它只能保證估計(jì)量的期望等于真值。而且，對(duì)于總體某個(gè)待定參數(shù)，其無(wú)偏估計(jì)量不只一個(gè)。（3）最小方差性如果其方差比其他任何估計(jì)量的方差都要小，那么這個(gè)估計(jì)量就稱為最小方差估計(jì)量。（4）有效性

總體某個(gè)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量往往不只一個(gè)，而且無(wú)偏性僅僅表明的所有可能的取值按概率平均等于，它的可能取值可能大部分與相差很大。為保證的取值能集中于附近，必須要求的方差越小越好。所以，提出有效性標(biāo)準(zhǔn)。有效性的定義

例4-4比較總體均值兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)的有效性

無(wú)偏有效估計(jì)量的意義（1）一個(gè)無(wú)偏有效估計(jì)量的取值在可能范圍內(nèi)最密集于附近。換言之，它以最大的概率保證估計(jì)量的取值在真值附近擺動(dòng)。（2）可以證明，樣本均值是總體數(shù)學(xué)期望的有效估計(jì)量。（5）最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)量

如果一個(gè)估計(jì)量是線性的和無(wú)偏的，并且在參數(shù)的所有線性無(wú)偏估計(jì)量中，這個(gè)估計(jì)量的方差最小，則稱這個(gè)估計(jì)量是最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)量（bestlinearunbiasedextimator，BLUE）。（6）一致性“依概率收斂”的定義若存在常數(shù)a，使對(duì)于任何ε>0，有則稱隨機(jī)變量序列{ξn}依概率收斂于a.一致性一致性既是從概率又是從極限性質(zhì)來(lái)定義的，因此只有樣本容量較大時(shí)才起作用。一致性作為評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家在無(wú)偏性和一致性之間更偏重選擇一致性。雖然一個(gè)一致估計(jì)量可能在平均意義上與真值不同，但是當(dāng)樣本容量加大時(shí)，它會(huì)變得與真值十分接近，即有偏的一致估計(jì)量具有大樣本下的無(wú)偏性。同時(shí)，根據(jù)大數(shù)定律，當(dāng)n增大時(shí)，方差會(huì)變得很小，所以一致估計(jì)量具有大樣本下的“無(wú)偏性”和“有效性”。4.3區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)就是以一定的可靠性給出被估計(jì)參數(shù)的一個(gè)可能的取值范圍。一般的，假定隨機(jī)變量X服從某一概率分布，若要對(duì)其參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，選取容量為n的隨機(jī)樣本，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量1(x1,…,xn)與2(x1,…,xn)，使P(1<<2)=1-

其中(1,2)稱為置信區(qū)間，1-稱為置信系數(shù)（置信度），稱為顯著性水平或犯第一類錯(cuò)誤的概率,一般取5%或1%。如果建立一個(gè)置信系數(shù)為95%的置信區(qū)間，那么重復(fù)建立這樣的區(qū)間100次，預(yù)期有95次包括了真實(shí)的ux。對(duì)區(qū)間估計(jì)的形象比喻我們經(jīng)常說(shuō)某甲的成績(jī)“大概80分左右”，可以看成一個(gè)區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。（某甲的成績(jī)?yōu)楸还烙?jì)的參數(shù)）

P(1<<2)=大概的準(zhǔn)確程度（1-）

如：P(75<<85)=95%=1-5%“大概80分左右”冒險(xiǎn)率（假設(shè)檢驗(yàn)中叫顯著水平）下限上限例4-5利用t分布來(lái)求前面所講的紐約股票交易市場(chǎng)的價(jià)值收益值一例中的均值ux的區(qū)間估計(jì)值。注意：該置信區(qū)間是隨機(jī)的，它依賴于樣本的取值，但總體均值取某一固定值，是非隨機(jī)的，所有不能說(shuō)ux位于區(qū)間的概率是0.95,只能說(shuō)這個(gè)區(qū)間包括真實(shí)ux的概率是0.95.一、對(duì)總體期望值的估計(jì)（1）已知方差，對(duì)總體數(shù)學(xué)期望E=進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（正態(tài)總體）/2/21-例4.6：某燈泡廠某天生產(chǎn)了一大批燈泡，從中抽取了10個(gè)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，獲得數(shù)據(jù)如下（單位：小時(shí)），假設(shè)總體服從正態(tài)分布，總體方差為8，求電子管壽命的置信區(qū)間（=5%）。（2）方差未知，對(duì)數(shù)學(xué)期望E進(jìn)行區(qū)間估計(jì)大樣本下根據(jù)中心極限定理，V可以用S2代替，所以仍按已知方差正態(tài)分布的方法進(jìn)行的置信區(qū)間估計(jì)。小樣本下例4-7新生兒體重的置信區(qū)間

假設(shè)新生兒（男）的體重服從正態(tài)分布。隨機(jī)抽取12名新生兒，測(cè)得體重如下表，試以95%的置信度估計(jì)新生兒（男）的平均體重。二、對(duì)總體方差的估計(jì)

（未知u時(shí)對(duì)總體方差進(jìn)行區(qū)間估計(jì)）

總體方差區(qū)間估計(jì)的例題例4-8

冷拔絲的抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，現(xiàn)從一批銅絲中任取10根，測(cè)的抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)（單位：N）如下：578、572、570、568、572、570、570、596、584、572，求σ2

的置信度為90%的置信區(qū)間.三、關(guān)于區(qū)間估計(jì)的幾點(diǎn)說(shuō)明在進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，應(yīng)針對(duì)不同的情況，采用不同的方法。例如分清分布的形式是已知或是未知；是大樣本或是小樣本；小樣本（估計(jì)總體數(shù)學(xué)期望時(shí)）又分清是已知方差或是未知方差等。充分利用分布信息可以得到較精確的估計(jì)。一般地，越大置信度越低，置信區(qū)間越長(zhǎng)；越小置信度越高，置信區(qū)間越短。4.4假設(shè)檢驗(yàn)一、假設(shè)檢驗(yàn)的概念二、顯著性檢驗(yàn)三、置信區(qū)間法四、假設(shè)檢驗(yàn)的應(yīng)用

一、假設(shè)檢驗(yàn)的概念定義：稱對(duì)任何一個(gè)隨機(jī)變量未知分布的假設(shè)為統(tǒng)計(jì)假設(shè)，簡(jiǎn)稱假設(shè)。一個(gè)僅涉及到隨機(jī)變量分布中未知參數(shù)的假設(shè)稱為參數(shù)假設(shè)。一個(gè)僅涉及到隨機(jī)變量分布的形式而不涉及到未知參數(shù)的假設(shè)稱為非參數(shù)假設(shè)。提出一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)的關(guān)鍵是將一個(gè)實(shí)際的研究問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為統(tǒng)計(jì)假設(shè)。例4-9.檢驗(yàn)一個(gè)硬幣是否均勻

拋擲一個(gè)硬幣100次，“正面”出現(xiàn)60次，問(wèn)此硬幣是否均勻？分析：若用X描述拋擲硬幣的試驗(yàn)，“X=1”和“X=0”分別表示“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”。上述問(wèn)題就是檢驗(yàn)X是否可以被認(rèn)為服從p=0.5的0－1分布。問(wèn)題是分布形式已知，檢驗(yàn)參數(shù)p=0.5的假設(shè)。記作，H0:p=0.5H1:p≠0.5零假設(shè)與備擇假設(shè)在統(tǒng)計(jì)假設(shè)——H0:p=0.5H1:p≠0.5中，H0稱為零假設(shè)或原假設(shè)，是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)欲確定其是否成立的假設(shè)——體現(xiàn)我們進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的目的。H1稱為備擇假設(shè)，備擇假設(shè)是對(duì)立于零假設(shè)的，如果不支持零假設(shè)，則接受備擇假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)包括置信區(qū)間法和顯著性檢驗(yàn)法例4-10檢驗(yàn)新生女嬰體重是否等于某個(gè)既定值從2003年出生的女嬰中隨機(jī)地抽取20名，測(cè)得平均體重=3160克，標(biāo)準(zhǔn)差=300克，根據(jù)已有的統(tǒng)計(jì)資料新生女嬰的體重=3140克，問(wèn)現(xiàn)在與過(guò)去新生女嬰的體重是否有變化？分析：把2003年出生的女嬰視為一個(gè)總體，用X描述，問(wèn)題就是判斷：

H0:EX=3140H1:EX≠3140

因?yàn)橥ǔ？梢约俣ń?jīng)過(guò)量測(cè)得到的資料是服從正態(tài)分布的，無(wú)須檢驗(yàn)總體的分布形式，顯然這是一個(gè)關(guān)于參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。二、顯著性檢驗(yàn)（1）兩類錯(cuò)誤的概念（2）Neyman-Pearson方法（3）顯著性水平與P值（4）幾類特殊的顯著性檢驗(yàn)（1）兩類錯(cuò)誤的概念

由于假設(shè)檢驗(yàn)是從樣本到總體，因而結(jié)果不可能絕對(duì)正確，它有可能是錯(cuò)誤的；而且出現(xiàn)錯(cuò)誤可能性的大小，也是以統(tǒng)計(jì)規(guī)律（小概率原理）為依據(jù)的。所以可能犯的錯(cuò)誤有兩類：第一類—棄真，原假設(shè)符合實(shí)際情況，而檢驗(yàn)結(jié)果把它否定了。設(shè)犯這類錯(cuò)誤的概率為，那么

=p(否定H0/H0實(shí)際上為真)。為顯著性水平第二類—取偽，原假設(shè)不符合實(shí)際情況，而檢驗(yàn)結(jié)果卻把它肯定下來(lái)。設(shè)犯這類錯(cuò)誤的概率為，那么=p(接受H0/H0實(shí)際上不正確)。1-稱為檢驗(yàn)的功效（2）Neyman-Pearson方法自然希望犯兩類錯(cuò)誤的概率都越小越好。但對(duì)一定的樣本容量n，一般都不能做到犯這兩類錯(cuò)誤的概率同時(shí)都小。由于減小

=>增大，或者減小

=>增大。一般愿意使犯”第一類錯(cuò)誤“的概率較小，則拒絕錯(cuò)了的概率就較小

，而不考慮。Neyman-Pearson提出了一種方法：先固定犯“第一類錯(cuò)誤”的概率，再考慮如何減小犯“第二類錯(cuò)誤”的概率，也稱Fix,Min方法。當(dāng)確定以后，讓盡量的小，1-就越大，稱不犯“第二類錯(cuò)誤”的概率為“檢驗(yàn)的功效（Poweroftest）。（3）顯著性水平與P值

顯著水平指的是犯“第一類錯(cuò)誤”的可能性，在給定的小概率下，零假設(shè)幾乎是不可能發(fā)生的，可以認(rèn)為零假設(shè)H0是錯(cuò)的，必須拋棄它。同時(shí)，即使拋棄零假設(shè)H0，這時(shí)也只需冒的風(fēng)險(xiǎn)，<==>拋棄H0的可靠性則為1-

。檢驗(yàn)（統(tǒng)計(jì)量）是統(tǒng)計(jì)顯著的一般是指能夠拒絕零假設(shè)，即觀察到的樣本值與假設(shè)值不同的概率非常小，小于（犯第一類錯(cuò)誤的概率）；檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)不顯著的，是指不能拒絕零假設(shè)。為了避免在選擇顯著性水平時(shí)的任意性，可以計(jì)算檢驗(yàn)的p值。檢驗(yàn)的p值(p-value)是指給定t統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值，能拒絕虛擬假設(shè)的最小顯著性水平。小的p值是拒絕虛擬假設(shè)的證據(jù)。如果用α表示檢驗(yàn)的顯著性水平（小數(shù)形式），那么p值<α?xí)r，則拒絕虛擬假設(shè)，否則在100α%顯著性水平下，不能拒絕H0。注意（1）對(duì)于線性回歸方程，一般軟件包報(bào)告了回歸系數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)誤，并且給出了針對(duì)雙側(cè)對(duì)立假設(shè)的p值，將其除以2，即可得到單側(cè)對(duì)立假設(shè)的p值；（2）隨著樣本容量的擴(kuò)大，一般使用較小的顯著性水平，以作為抵償標(biāo)準(zhǔn)誤越來(lái)越小的一種辦法；對(duì)于小樣本容量，可以接受較大的顯著性水平，可以擴(kuò)大到0.20（4）幾類特殊的顯著性檢驗(yàn)t檢驗(yàn)：未知總體方差，檢驗(yàn)總體均值單側(cè)檢驗(yàn)（one-tailtest）或雙邊檢驗(yàn)

關(guān)于t檢驗(yàn)的兩種類型比較見(jiàn)377頁(yè)卡方顯著性檢驗(yàn)：檢驗(yàn)總體方差隨機(jī)樣本來(lái)自方差為σ2的正態(tài)總體，其樣本容量為n，樣本方差為S2，則卡方顯著性檢驗(yàn)小結(jié)（P378）例4-12：假定隨機(jī)樣本來(lái)自正態(tài)總體，樣本容量為31，樣本方差為12，零假設(shè)為真實(shí)的方差為9；備擇假設(shè)為真實(shí)的方差不等于9，顯著性水平為5%。進(jìn)行卡方顯著性檢驗(yàn)。F顯著性檢驗(yàn)：檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體方差是否相等如果X、Y是來(lái)自兩正態(tài)總體的隨機(jī)樣本，自由度分別為m和n，則變量F顯著性檢驗(yàn)小結(jié)見(jiàn)P379

例4-13：假設(shè)男女學(xué)生分?jǐn)?shù)的方差分別為46.61和83.88，其樣本觀察值為24、23，假設(shè)這些方差代表了來(lái)自于一更大總體的樣本。檢驗(yàn)假設(shè)：男女學(xué)生數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)總體同方差，顯著性水平為1％。解答：這里，F(xiàn)值為83.88/46.62=1.80(近似值)。該F值服從自由度均為23的F分布，根據(jù)F分布表，自由度為24(表中未給出自由度為23的值)，在1%的顯著水平下，臨界的F值為2.66。由于計(jì)算的F值為1.80，小于2.66，故它不是統(tǒng)計(jì)顯著的。也即，在顯著性水平為1％時(shí)，不能拒絕兩總體同方差。三、置信區(qū)間法

置信區(qū)間法提供某一置信度（例如95%）的真實(shí)的ux的取值范圍，比如10.63≤ux≤12.36,如果這個(gè)區(qū)間不包括零假設(shè)中的值，比如ux=13，那么我們說(shuō)以95%的置信度拒絕該零假設(shè)。

用假設(shè)檢驗(yàn)的語(yǔ)言，不等式描述的置信區(qū)間稱為接受區(qū)域（acceptanceregion），接受區(qū)域以外的稱為零假設(shè)的臨界區(qū)域（criticalregion）或拒絕區(qū)域（regionofrejection)，接受區(qū)域的上界和下界稱為臨界值（criticalvalues）。如果參數(shù)值在零假設(shè)下位于接受區(qū)域內(nèi)，則不拒絕零假設(shè)，但如果落在接受區(qū)域以外，則拒絕零假設(shè)。三、置信區(qū)間法通過(guò)求置信區(qū)間進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的例子

例4-14根據(jù)長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)和資料分析，某磚廠生產(chǎn)的磚的“抗斷強(qiáng)度”服從正態(tài)分布，方差=1.21，今從該廠生產(chǎn)的磚中隨機(jī)地抽取6塊磚，測(cè)得強(qiáng)度如下（單位千克/cm2）：檢