第六章概率分析

第六章概率分布后驗概率隨機事件A的頻率：對隨機事件進行n次觀測，其中某一事件A出現的次數m與觀測次數n的比值。當n無限增大時，隨機事件A的頻率會穩(wěn)定在一個常數P，這個常數就是隨機事件A的概率。因這種概率是由隨機事件A出現的次數決定，故稱后驗概率或統(tǒng)計概率。先驗概率古典概率模型要求滿足兩個條件：①試驗的所有可能結果是有限的；②每一個基本事件出現的可能性相等。如果基本事件的總數為n，事件A包括m個基本事件，則事件A的概率為：概率的公理系統(tǒng)1．任何隨機事件Ａ的概率都是在0與1之間的正數，即：0≤P（A）≤12．不可能事件的概率等于零，即：P（A）=03．必然事件的概率等于1，即：P（A）=1概率接近1的事件發(fā)生的可能性較大，而概率接近0的事件發(fā)生的可能性較小。概率的加法定理互不相容事件：若事件Ａ發(fā)生，則事件Ｂ就一定不發(fā)生。兩互不相容事件和的概率等于這兩個事件概率之和：概率的乘法定理互相獨立事件：事件Ａ發(fā)生不影響事件Ｂ是否發(fā)生。兩互相獨立事件積的概率等于兩事件概率的積：例1：去掉大小王牌，從52張撲克牌中有放回的抽兩張牌，即抽完第一張以后將所抽的牌再放回去，混合好后再抽第二張。問第一次抽取紅桃K第二次抽取方塊K的概率是多少？第一次抽取紅桃，第二次抽取方塊的概率是多少？例2：某一學生從５個試題中任意抽取一題，進行口試。如果抽到每一題的概率為1／5，則抽到試題１或試題２的概率是多少？如果前一個學生把抽過的試題還回后，后一個學生再抽，則４個學生都抽到試題1的概率是多少？例3：從30個白球和20個黑球共50個球中隨機抽取兩次（放回抽樣），問抽出一個黑球和一個白球的概率是多少？分析：包括兩種情況：先抽一黑球、后抽一白球；先抽一白球、后抽一黑球。例4一枚硬幣擲3次，或三枚硬幣各擲一次，問出現兩次或兩次以上H的概率是多少？解：可能出現的情況有：HHHHHTHTHTHHTTHTHTHTTTTT共8種。每種情況出現的概率，為則：P（HHH)+P(HHT)+P(HTH)+P(THH)=概率分布概率分布是指對隨機變量取不同值時的概率的描述，一般用概率分布函數進行描述。只有了解隨機變量的概率分布，才能使統(tǒng)計推論成為可能。離散隨機變量與連續(xù)隨機變量根據隨機變量的取值是否連續(xù)，可將隨機變量分為離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量。當隨機變量只取孤立的數值，這種隨機變量稱為離散型隨機變量。如投擲一枚硬幣4次，幾次正面朝上？因取值只能為0、1、2、3、4，故為離散型隨機變量。離散分布與連續(xù)分布離散型隨機變量的概率分布稱作離散分布。連續(xù)分布是指連續(xù)型隨機變量的概率分布，即測量數據的概率分布。心理統(tǒng)計學中最常用的連續(xù)型分布是正態(tài)分布?？疾扉g斷型隨機變量，可以講某個值以多大的概率出現，而對于連續(xù)型隨機變量，這樣講是沒有意義的，因為它的取值個數是無限的，這時我們只能講取值在某個區(qū)間的概率是多少。經驗分布與理論分布經驗分布是指根據觀察或實驗所獲得的數據而編制的次數分布或相對頻率分布。經驗分布往往是總體的一個樣本。理論分布是按照隨機變量概率分布函數（數學模型）計算出的概率分布。

經驗分布與理論分布身高分組f0fe169-166-163-160-157-154-151-148-145-142-139-272257110124112802584172460104130114703192實際次數的分布為經驗分布理論次數的分布為理論分布基本隨機變量分布與抽樣分布前者其分布主體為：基本隨機變量；后者其分布主體為樣本統(tǒng)計量。正態(tài)分布連續(xù)型隨機變量概率分布的一種，是在數理統(tǒng)計的理論與實際應用中占最重要地位的一種理論分布。由棣．莫弗于1733年發(fā)現；拉普拉斯、高斯也做出了貢獻，故又稱高斯分布。正態(tài)分布函數正態(tài)分布曲線標準正態(tài)分布函數標準正態(tài)分布曲線以Ｚ為橫坐標，Ｙ為縱坐標繪制的曲線。Ｙ為概率密度，曲線下的面積為概率。標準正態(tài)分布曲線的特點正態(tài)分布表的特點表中僅列有標準正態(tài)曲線下的面積，查表前應先將原始變量Ｘ轉換為Ｚ。表中所列面積數據P，是從Ｚ＝０到某一正的Ｚ值之間的面積。正態(tài)分布表的使用：已知Z值求P①求Ｚ＝0至某一正的Ｚ值之間的概率：直接查表；②求兩個Ｚ值之間的概率，兩Ｚ值符號相同；③求兩個Ｚ值之間的概率，兩Ｚ值符號相反；④求某一Z值以上的概率，當Z＞0時；⑤求某一Z值以上的概率，當Z<0時；⑥求某一Z值以下的概率，當Z＞0時；⑦求某一Z值以下的概率，當Z<0時。正態(tài)分布表的使用：已知P值求Z①已知Z＝0到Z=Z0之間的面積，直接查表得Z；②已知Z＝-Z0到Z=0之間的面積，查得Z前加上負號；③已知曲線右側尾端面積，怎樣求Z?④已知曲線左側側尾端面積，怎樣求Z?⑤已知正態(tài)曲線下中央部位面積怎樣求Z?習題：考研真題1、在人格測驗上的分數形成正態(tài)分布一個隨機樣本n=16，其均值大于85的概率是（）。2、某班200人的考試成績呈正態(tài)分布，其平均數為12，標準差為4。則成績在8分和16分之間的人數占全部人數的（）A.34.13B.68.26C.90%D.95%考研真題3、正態(tài)分布是由（）于1733年發(fā)現的。A.高斯B.拉普拉斯C.莫弗D.高賽特4、從n=200的學生樣本中隨機抽樣，已知女生偉132人，問每次抽取1人，抽到男生的概率是（）。A.0.66B.0.34C.0.33D.0.17考研真題5、兩個骰子擲一次，出現兩個相同點數的概率是（）。A.0.17B.0.083C.0.014D.0.0286、依分布函數的來源，可把概率分布劃分為（）。A.離散分布B.連續(xù)分布C.經驗分布D.理論分布正態(tài)分布表的應用例1：已知某年級200名學生考試成績呈正態(tài)分布，平均分為85分，標準差為10分，學生甲的成績?yōu)?0分，問全年級成績比學生甲低的學生人數是多少？例2：某次招生考試，學生成績符合正態(tài)分布，平均分數為80分，標準差為10分，要擇優(yōu)錄取25%的學生進入高一級學校學習，問最低分數線應是多少分？正態(tài)分布表的應用例3：某次數學競賽，學生成績呈正態(tài)分布，參賽學生200人，平均分為66.78分，標準差為9.19分。某生得80分，他在參賽中排列第幾名？正態(tài)分布表的應用例4：表1是3位教師對100名學生的學習能力所作等級評定的結果；表2是3名學生從3位教師哪兒獲得的評定等級，試將其轉化為Z分數。等級教師甲教師乙教師丙A51020B252025C404035D252015E5105總數100100100學生教師甲教師乙教師丙1BAA2ABA3DCC表1表2正態(tài)分布表的應用例5：將下表中各測驗題的通過率轉換為難度分數。測驗題號通過率（%）

pZZ+5

1990.49-2.3312.6693950.45-I.6453.3555850.35-1.0353.9657800.30-0.8404.1609700.20-0.5254.4751050005.00011200.300.845.8401350.451.6456.6452510.492.337.330總數100100100正態(tài)分布表的應用例6：某年級進行數學能力測驗后，擬按數學能力將學生分成5個組。該測驗參加人數為300人，平均分為60分，標準差為13.2分，問各組人數及原始分數區(qū)間都是怎樣的？正態(tài)分布表的應用分組組中值fZT140-14282.0170135-13791.5065130-132201.0460125-127290.5756120-122280.1451115-11716-0.1748110-11216-0.4046105-1078-0.5944100-1029-0.734395-978-0.904190-927-1.063985-876-1.253880-826-1.463575-775-1.703370-725-2.1229N=180x=115.14s=17.91①將原始數據整理為次數分布表；②計算各組上限以下累加次數；③計算各組中點以下累加次數；④計算各組中點以下累積比率；⑤查正態(tài)分布表，將概率轉化為Z分數；⑥將正態(tài)化以后的Z值進行線性轉換：T=10Z+50次數分布的正態(tài)化假設研究對象總體呈正態(tài)分布，但由于抽樣誤差等因素，樣本的次數分布不是正態(tài)。這時需要按總體將樣本分布正態(tài)化。這種將樣本原始分數分布轉換成正態(tài)分布，稱作次數分布的正態(tài)化。次數分布的正態(tài)化當樣本原始分數不服從正態(tài)分布，先將原始分數的頻數轉化為百分等級，將它視為正態(tài)分布的概率，然后通過查正態(tài)分布表中概率值相對應的Z值，將其轉換為Z分數，達到正態(tài)化的目的。T分數（名詞解釋）T分數是是麥克爾創(chuàng)用的方法：將標準分數擴大10倍再加上