空氣動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第五章邊界層理論及其近似

第5章邊界層理論及其近似5.1、邊界層近似及其特征5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程5.3、平板層流邊界層的相似解5.4、邊界層動(dòng)量積分方程5.5、邊界層的分離現(xiàn)象5.1、邊界層近似及其特征1、邊界層概念的提出

業(yè)已知道，流動(dòng)Re數(shù)（O.Reynolds，1883年，英國(guó)流體力學(xué)家）是用以表征流體質(zhì)點(diǎn)的慣性力與粘性力對(duì)比關(guān)系的。根據(jù)量級(jí)分析，作用于流體上的慣性力和粘性力可表示為:

慣性力：

粘性力：慣性力/粘性力：

因此，在高Re數(shù)下，流體運(yùn)動(dòng)的慣性力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于粘性力。這樣研究忽略粘性力的流動(dòng)問(wèn)題是有實(shí)際意義的。5.1、邊界層近似及其特征

這也是早期發(fā)展理想流體力學(xué)的重要依據(jù)，而且確實(shí)較成功地解決了與粘性關(guān)系不大的一系列流動(dòng)問(wèn)題，諸如繞流物體的升力、波動(dòng)等問(wèn)題，但對(duì)繞流物體阻力、渦的擴(kuò)散等問(wèn)題，理想流體力學(xué)的解與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)，且甚至得出完全相反的結(jié)論，圓柱繞流無(wú)阻力的D’Alembert疑題就是一個(gè)典型的例子。（D’Alembert，法國(guó)力學(xué)家，1717-1783）那么，如何考慮流體的粘性，怎樣解決繞流物體的阻力問(wèn)題，這在當(dāng)時(shí)確實(shí)是一個(gè)阻礙流體力學(xué)發(fā)展的難題，直到1904年國(guó)際流體力學(xué)大師德國(guó)學(xué)者L.Prandtl通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，雖然整體流動(dòng)的Re數(shù)很大，但在靠近物面的薄層流體內(nèi)，流場(chǎng)的特征與理想流動(dòng)相差甚遠(yuǎn)，沿著法向存在很大的速度梯度，粘性力無(wú)法忽略。Prandtl把這一物面近區(qū)粘性力起重要作用的薄層稱(chēng)為邊界層（Boundarylayer）。5.1、邊界層近似及其特征

Prandtl的邊界層概念，為人們?nèi)绾斡?jì)入粘性的作用開(kāi)辟了劃時(shí)代的途徑，因此稱(chēng)其為粘性流體力學(xué)之父。對(duì)整個(gè)流場(chǎng)提出的基本分區(qū)是：（1）整個(gè)流動(dòng)區(qū)域可分成理想流體的流動(dòng)區(qū)域（勢(shì)流區(qū)）和粘性流體的流動(dòng)區(qū)域（粘流區(qū)）。（2）在遠(yuǎn)離物體的理想流體流動(dòng)區(qū)域，可忽略粘性的影響，按勢(shì)流理論處理。（3）粘性流動(dòng)區(qū)域僅限于物面近區(qū)的薄層內(nèi)，稱(chēng)為邊界層。既然是粘流區(qū)，粘性力的作用不能忽略，與慣性力同量級(jí)，流體質(zhì)點(diǎn)作有旋運(yùn)動(dòng)。2、邊界層的特征（1）邊界層定義嚴(yán)格而言，邊界層區(qū)與主流區(qū)之間無(wú)明顯界線，通常以速度達(dá)到主流區(qū)速度的0.99U作為邊界層的外緣。由邊界層外緣到物面的垂直距離稱(chēng)為邊界層名義厚度。5.1、邊界層近似及其特征（2）邊界層的有渦性粘性流體運(yùn)動(dòng)總伴隨渦量的產(chǎn)生、擴(kuò)散、衰減。邊界層就是渦層，當(dāng)流體繞過(guò)物面時(shí)，無(wú)滑移邊界條件相當(dāng)于使物面成為具有一定強(qiáng)度的連續(xù)分布的渦源。以二維流動(dòng)為例說(shuō)明之。此時(shí)，物面上的渦源強(qiáng)度為對(duì)于不可壓縮流體，二維流動(dòng)的渦量輸運(yùn)方程為上式表明，由于粘性的影響，物面上的渦量一方面沿垂直流線方向擴(kuò)散，另一方面，渦量沿主流方向遷移，并隨之而逐漸衰減。渦量的擴(kuò)散速度與粘性有關(guān)，渦量的遷移速度取決于流動(dòng)速度。5.1、邊界層近似及其特征（3）邊界層厚度的量級(jí)估計(jì)根據(jù)邊界層內(nèi)粘性力與慣性力同量級(jí)的條件，可估算邊界層的厚度。以平板繞流為例說(shuō)明。設(shè)來(lái)流的速度為U，在x方向的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，邊界層厚度為。慣性力：

粘性力：

由慣性力與粘性力同量級(jí)得到

5.1、邊界層近似及其特征由此可見(jiàn)，在高Re數(shù)下，邊界層的厚度遠(yuǎn)小于被繞流物體的特征長(zhǎng)度。

（4）邊界層各種厚度定義（a）邊界層排移厚度在邊界層內(nèi)，理想流體的質(zhì)量流量為其中，ue為邊界層外緣速度。由于粘性的存在，實(shí)際流體通過(guò)的質(zhì)量流量為

上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的流量，這部分流量被排擠到主流場(chǎng)中，相當(dāng)于主流區(qū)增加了一層流體。5.1、邊界層近似及其特征主流區(qū)所增加的厚度為這部分主流區(qū)增加的流體厚度是由邊界層流體排擠入主流區(qū)造成的。因此，稱(chēng)其為排移厚度。（b）邊界層動(dòng)量損失厚度在邊界層內(nèi)，在質(zhì)量流量不變的條件下，理想流體通過(guò)的動(dòng)量為

由于粘性的存在，實(shí)際流體通過(guò)的動(dòng)量為5.1、邊界層近似及其特征上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的動(dòng)量，這部分動(dòng)量損失用外流流速u(mài)e（理想流體）折算的動(dòng)量損失厚度為（c）邊界層能量損失厚度在邊界層內(nèi)，在質(zhì)量流量不變的條件下，以外流速度（理想流體）通過(guò)的動(dòng)能為由于粘性的存在，實(shí)際流體通過(guò)的動(dòng)能為5.1、邊界層近似及其特征

上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的動(dòng)能，這部分動(dòng)能損失用主流流速u(mài)e（理想流體）折算的動(dòng)能損失厚度為:

上述各種厚度的計(jì)算公式，對(duì)于不可壓縮流體而言，變?yōu)?5.1、邊界層近似及其特征（5）幾點(diǎn)說(shuō)明（a）實(shí)際流動(dòng)中，邊界層流動(dòng)與理想流動(dòng)是漸近過(guò)渡的，邊界層的外邊界線實(shí)際上是不存在的，因此邊界層的外邊界線不是流線，而是被流體所通過(guò)的，允許流體穿過(guò)邊界線流動(dòng)。在邊界層內(nèi)流線是向外偏的。

（b）邊界層各種厚度的定義式，即適用于層流，也適用于湍流。（c）邊界層各種厚度的大小與邊界層內(nèi)流速分布有關(guān)。但各厚度的大小依次是:

邊界層厚度>邊界層排移厚度>邊界層動(dòng)量損失厚度LudwigPrandtl介紹普朗特重視觀察和分析力學(xué)現(xiàn)象，養(yǎng)成了非凡的直觀洞察能力，善于抓住物理本質(zhì)，概括出數(shù)學(xué)方程。他曾說(shuō)：“我只是在相信自己對(duì)物理本質(zhì)已經(jīng)有深入了解以后，才想到數(shù)學(xué)方程。方程的用處是說(shuō)出量的大小，這是直觀得不到的，同時(shí)它也證明結(jié)論是否正確?！逼绽侍刂笇?dǎo)過(guò)81名博士生，著名學(xué)者Blasius、VonKarman是其學(xué)生之一。我國(guó)著名的空氣動(dòng)力學(xué)專(zhuān)家、北航流體力學(xué)教授陸士嘉先生（女，1911–1986）是普朗特正式接受的唯一中國(guó)學(xué)生，唯一的女學(xué)生。5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程1、平壁面上邊界層方程根據(jù)Prandtl邊界層概念，通過(guò)量級(jí)比較，可對(duì)N-S方程組進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到邊界層近似方程。對(duì)于二維不可壓縮流動(dòng)，N-S方程為

選取長(zhǎng)度特征L，速度尺度ue，時(shí)間尺度t=L/ue，邊界層近似假定：5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程（1）根據(jù)邊界層定義，縱向偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于橫向偏導(dǎo)數(shù)。（2）法向速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于縱向速度。（3）邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)與外流速度的平方成正比。將這些量級(jí)關(guān)系式代入到N-S方程中，得到5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程N(yùn)-S方程組與各項(xiàng)量級(jí)比較:5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程在高Re數(shù)情況下，忽略小量得到忽略質(zhì)量力，由第三個(gè)方程得到這說(shuō)明，在高Re數(shù)情況下，在邊界層內(nèi)壓力沿法向是不變的。5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

邊界層內(nèi)的壓力分布與邊界層外邊界線上的壓力分布相等。也就是，p與y無(wú)關(guān)，僅是x和t的函數(shù)。即忽略質(zhì)量力，Prandtl邊界層方程變?yōu)?/p>

邊界條件：5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程在邊界層外邊界線上，可按照理想流體勢(shì)流方程確定壓強(qiáng)。即

在定常流動(dòng)情況下，有5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程綜上所述，邊界層基本特性可歸納為2、曲壁面上的邊界層方程在實(shí)際流動(dòng)中所遇到的物面常是彎曲的，因此推導(dǎo)曲壁面上的邊界層方程具有重要意義。在推導(dǎo)中，使用曲壁面上的邊界層坐標(biāo)系。其中，x軸貼著壁面，y軸垂直于壁面。在邊界層內(nèi)任取一點(diǎn)M，其坐標(biāo)

x=ONy=NMM’為M的鄰點(diǎn)，MM’的弧長(zhǎng)為ds5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程在x處，設(shè)曲壁的曲率半徑為R(x)，有則

仍以u(píng)和v分別表示邊界層坐標(biāo)系中的x和y方向的速度分量，則由正交曲線坐標(biāo)系方程，得到連續(xù)方程5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程運(yùn)動(dòng)方程為:5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程

假定物面的曲率半徑R(x)與x向的特征長(zhǎng)度L同量級(jí)，y的量級(jí)與邊界層厚度同量級(jí)，故有

量級(jí)比較，簡(jiǎn)化的邊界層方程為5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程這就是曲壁面上的邊界層方程，與平壁面的方程相比，只是y方向的方程有所不同。為了和流動(dòng)彎曲所產(chǎn)生的離心力相平衡，必須有y方向的壓力梯度。以下估計(jì)這個(gè)壓力梯度的量級(jí)大小。初步假定邊界層內(nèi)速度分布為線性分布。從y=0到y(tǒng)=s積分，有在R>>s的情況下，此壓差是個(gè)小量，可忽略不計(jì)。由此仍得出在曲壁面的邊界層內(nèi)，法向壓力不變是個(gè)常數(shù)。這說(shuō)明，在曲率半徑不太小且變化不太大的情況下，曲壁面上的邊界層方程與平壁面上的邊界層方程完全相同。5.3、平板層流邊界層的相似解

1908年，Prandtl學(xué)生Blasius利用邊界層速度分布的相似性求解了平板層流邊界層方程。對(duì)于零壓梯度、定常、不可壓縮流體平板層流繞流，邊界層方程為相應(yīng)的邊界條件為

Blasius假設(shè)，在平板上邊界層內(nèi)的速度分布具有相似性特征。即

5.3、平板層流邊界層的相似解根據(jù)量級(jí)比較，邊界層厚度的量級(jí)為:

引入流函數(shù)，可消掉一個(gè)連續(xù)方程。

5.3、平板層流邊界層的相似解由此得到代入方程中，得到5.3、平板層流邊界層的相似解化簡(jiǎn)后變?yōu)檫吔鐥l件為Blasius用無(wú)窮級(jí)數(shù)進(jìn)行了求解。假設(shè)：其中，為待定系數(shù)。5.3、平板層流邊界層的相似解

由邊界條件，可得（1）邊界層厚度

（2）邊界層位移厚度

（3）邊界層動(dòng)量損失厚度

5.3、平板層流邊界層的相似解（4）壁面切應(yīng)力（5）壁面摩擦阻力系數(shù)

（6）平均壁面摩擦總阻力系數(shù)

郭永懷（1953年）對(duì)平板前緣點(diǎn)的修正，得到適用范圍：

5.4、邊界層動(dòng)量積分方程邊界層動(dòng)量積分關(guān)系式是由Karman1921導(dǎo)出的，對(duì)近似求解邊界層特性具有重要作用。適應(yīng)于層流邊界層和湍流邊界層。今在邊界層內(nèi)任取一控制體，控制體長(zhǎng)度為dx，控制面為Aab、Abc、Acd、Ada。現(xiàn)對(duì)控制體應(yīng)用動(dòng)量定律，可得由Aab面流入控制體的質(zhì)量為

由Acd面流出控制體的質(zhì)量為5.4、邊界層動(dòng)量積分方程根據(jù)質(zhì)量守恒定律，通過(guò)Abc流入控制體的質(zhì)量為由Aab面流入控制體的動(dòng)量為由Acd面流出控制體的動(dòng)量為通過(guò)Abc流入控制體的動(dòng)量在x方向的分量為

5.4、邊界層動(dòng)量積分方程在Aab面上的作用力為在Acd面上的作用力為在Abc面上的力為在Aad面上的切應(yīng)力為

5.4、邊界層動(dòng)量積分方程現(xiàn)對(duì)控制體建立x方向的動(dòng)量方程為整理后，得由于5.4、邊界層動(dòng)量積分方程由Bernoulli方程，可得這就是邊界層動(dòng)量積分方程。是一個(gè)一階常微分方程，適應(yīng)于層流和湍流邊界層。

5.4、邊界層動(dòng)量積分方程如果寫(xiě)成無(wú)量綱形式，有對(duì)于零壓梯度的平板邊界層流動(dòng)，有動(dòng)量積分方程也可通過(guò)直接積分邊界層微分方程獲得。對(duì)于二維不可壓縮流體邊界層方程為5.4、邊界層動(dòng)量積分方程用ue乘以連續(xù)方程，并把動(dòng)量方程改寫(xiě)。兩式相減，得到積分上式，有5.4、邊界層動(dòng)量積分方程整理后，得到這與Karman方程完全一樣。動(dòng)量積分方程含有三個(gè)未知數(shù)，排移厚度、動(dòng)量損失厚度、壁面切應(yīng)力。因此，必須尋求補(bǔ)充關(guān)系，積分求解。由于三個(gè)未知量都取決與邊界層的速度分布，因此只要給定速度分布，就可以求解。顯然，該方法的精度取決于邊界層內(nèi)速度分布的合理性。通常假定，邊界層內(nèi)速度分布為

確定系數(shù)的條件為例題：解的形式一次型：3.464二次型：5.477三次型：

4.641四次型：5.835正弦函數(shù)：

4.795精確解：Blasius數(shù)值解5.00平板邊界層，有5.4、邊界層動(dòng)量積分方程對(duì)于壁面切應(yīng)力，有代入動(dòng)量積分方程中，得到5.4、邊界層動(dòng)量積分方程5.5、邊界層的分離現(xiàn)象1、邊界層分離現(xiàn)象邊界層中的流體質(zhì)點(diǎn)受慣性力、粘性力和壓力的作用。其中，粘性力的作用始終是阻滯流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，使流體質(zhì)點(diǎn)減速，失去動(dòng)能；壓力的作用取決于繞流物體的形狀和流道形狀，順壓梯度有助于流體加速前進(jìn)，而逆壓梯度阻礙流體運(yùn)動(dòng)。以圓柱繞流為例說(shuō)明邊界層的分離現(xiàn)象。對(duì)于理想流體，流體微團(tuán)繞過(guò)圓柱時(shí)，在OM段為加速減壓區(qū)，壓能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。在MF段為減速增壓區(qū)，動(dòng)能減小壓能增加5.5、邊界層的分離現(xiàn)象對(duì)于粘性流體，在上述能量的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，由于粘性的作用，邊界層內(nèi)的流體質(zhì)點(diǎn)將要克服粘性力作功而消耗機(jī)械能。因此微團(tuán)在逆壓區(qū)，不可能到達(dá)F點(diǎn)，而是在MF段中的某點(diǎn)處微團(tuán)速度降為零，以后來(lái)的質(zhì)點(diǎn)將改道進(jìn)入主流中，使來(lái)流邊界層與壁面分離。在分離點(diǎn)下游的區(qū)域，受逆壓梯度的作用而發(fā)生倒流。分離點(diǎn)定義為緊鄰壁面順流區(qū)與倒流區(qū)的分界點(diǎn)。在分離點(diǎn)附近和分離區(qū)，由于邊界層厚度大大增加，邊界層假設(shè)不在成立。邊界層分離的必要條件是：逆壓梯度和物面粘性的阻滯作用結(jié)果。

僅有粘性的阻滯作用而無(wú)逆壓梯度，不會(huì)發(fā)生邊界層的分離，因?yàn)闊o(wú)反推力使邊界層流體進(jìn)入到外流區(qū)。這說(shuō)明，順壓梯度的流動(dòng)不可能發(fā)生邊界層分離。只有逆壓梯度而無(wú)粘性的阻滯作用，同樣也不會(huì)發(fā)生分離現(xiàn)象，因?yàn)闊o(wú)阻滯作用，運(yùn)動(dòng)流體不可能消耗動(dòng)能而滯止下來(lái)。5.5、邊界層的分離現(xiàn)象氣流繞翼型的流動(dòng)與邊界層分離現(xiàn)象。

需要指出的是：逆壓梯度和壁面粘性阻滯作用是邊界層分離的必要條件，但不是充分的，也就是說(shuō)只有在一定的逆壓梯度下，才有可能發(fā)生分離。5.5、邊界層的分離現(xiàn)象2、在不同壓力梯度區(qū)