第05章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

第五章

正弦穩(wěn)態(tài)電路分析重點：

相位差

正弦量的相量表示

復阻抗復導納

相量圖

用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路

正弦交流電路中的功率分析工程上往往以頻率區(qū)分電路：工頻50Hz中頻400-2000Hz高頻電路TtiOf(t)=f(t+nT)

n=0,±1,±2,…周期信號:正弦信號是周期信號中的一種。5.1正弦信號一.正弦量的三要素正弦量的表達式：f(t)=Fmcos(w

t+)Fm,w,這3個量一確定，正弦量就完全確定了。所以，稱這3個量為正弦量的三要素：波形：tO/TFmf(t)(1)振幅

(amplitude)：反映正弦量變化幅度的大小。(2)角頻率(angularfrequency)w

：反映正弦量變化快慢。即相角隨時間變化的速度。

正弦量的三要素：相關(guān)量：頻率f(frequency)：每秒重復變化的次數(shù)。周期T(period)：重復變化一次所需的時間。f=1/T單位：w：rad?s-1，弧度?秒-1

f：Hz，赫(茲)

T：s，秒市電：f=50Hz,T=1/50=0.02(s),w=2/T=2f=314rad/s(3)初相位(initialphaseangle)

：反映了正弦量的計時起點。

(wt+

)——相位角

—初相位角，簡稱初相位。一般規(guī)定：|

|即：-

②初相位是由f(t)=Fmcos(wt+)確定，若原用sin表示，求初相位時應先化為cos形式在求令t=0→f(0)=Fmcos

→=2n±arccos[f(0)/Fm]，可能為多值。例：f(t)=Fmsin(t+/2)，其初相位

≠/2.而應化為cos形式，即：

f(t)=Fmsin(t+/2)=Fmcost,

故初相位=0同一個正弦量，計時起點不同，初相位不同。tiO

=0

=-/2

=例：f(t)=Fmsin(t+/6)=Fmcos(/2-

t-/6)=Fmcos(/3-

t)=

Fmcos(t-/3)

故初相位=-/3

二.相位差(phasedifference)：兩個同頻率正弦量相位角之差。設u(t)=Umcos(wt+

u),i(t)=Imcos(wt+

i)則相位差j=(wt+

u)-(wt+

i)=

u-

i若j>0，則u超前

i相位角j，或i滯后

u相位角j。若j<0，則i超前u相位角

j，或u滯后i相位角j

。從波形圖上看相位差可取變化趨勢相同點來看。tu,iu

iuijOj=0，同相：j=±(180o)

，反相：規(guī)定：||(180°)。特例：tu,iu

iOtu,iu

iO=p/2：u領(lǐng)先ip/2,不說u落后i3p/2；

i落后up/2,

不說

i領(lǐng)先

u3p/2。tu,iu

iO=p/2,正交:三、有效值周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為了確切的衡量其大小工程上采用有效值來衡量。1.有效值(effectivevalue)定義定義：若周期性電流i流過電阻R，在一周期T內(nèi)產(chǎn)生的熱量，等于一直流電流I流過R,在時間T內(nèi)產(chǎn)生的熱量，則稱電流I為周期性電流i的有效值。Q2=I2RTRi(t)RI同樣，可定義電壓有效值：有效值也稱方均根值(root-meen-square，簡記為rms。)2.正弦電流、電壓的有效值設i(t)=Imcos(t+)同理，對正弦電壓也有：若一交流電壓有效值為U=220V，則其最大值為Um311V；U=380V，Um537V。工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如設備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設備的耐壓水平時應按最大值考慮。測量中，電磁式交流電壓、電流表讀數(shù)均為有效值。*區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的符號。例：求如圖周期信號的有效值。(a)101230-1-2u1(t)(V)t(s)(b)A1230-1u2(t)(V)t(s)-A解：(b)U2=A（有效值）若加在1電阻上，則平均功率：為什么要研究正弦信號?主要考慮以下幾點：1.正弦量是最簡單的周期信號之一，同頻正弦量在加、減、微分、積分運算后得到的仍為同頻正弦量；2.正弦信號應用廣泛（如市電，載波等）；3.非正弦量用傅立葉級數(shù)展開后得到一系列正弦函數(shù)。補充：復數(shù)復習1.復數(shù)A表示形式：一個復數(shù)A可以在復平面上表示為從原點到A的向量，此時a可看作與實軸同方向的向量，b可看作與虛軸同方向的向量。由平行四邊形法則。則a+jb即表示從原點到A的向量，其模為|A|，幅角為。所以復數(shù)A又可表示為A=|A|ejq

=|A|q

AbReImaOA=a+jbAbReImaO兩種表示法的關(guān)系：A=a+jbA=|A|ejq

=|A|q

直角坐標表示極坐標表示或2.復數(shù)運算則A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加減運算——直角坐標若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReImO加減法可用圖解法。(2)乘除運算——極坐標若A1=|A1|1，若A2=|A2|2

則A1

A2=|A1||A2|q1+q2乘法：模相乘，角相加；除法：模相除，角相減。例1.

547+10-25=(3.41+j3.657)+(9.063-j4.226)=12.47-j0.567=12.48-2.61例2.(3)旋轉(zhuǎn)因子：復數(shù)ejq

=cosq+jsinq

=1∠qA?ejq

相當于A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度q，而模不變。故把ejq

稱為旋轉(zhuǎn)因子。ejp/2

=j,e-jp/2

=-j,ejp=–1故+j,–j,-1都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。1.用旋轉(zhuǎn)相量表示正弦量即：任意一個正弦時間函數(shù)都可以用一個在復平面上以角速度繞原點旋轉(zhuǎn)的向量與其對應。Fm+1ImO+jRe0t+02.用固定相量表示正弦量同一正弦電路，各支路響應的頻率相同，故只需標明各量振幅及初相位關(guān)系。如：

u1(t)=U1mcos(t+1)u2(t)=U2mcos(t+2)5.2正弦信號的相量表示+1O+j12（不變）故可用復平面上的固定相量來對應特定的正弦量。對應一個正弦量的向量稱為相量(phasor),用大寫字母上加一點表示。相量上加一點是為了和普通的復數(shù)相區(qū)別(強調(diào)它與正弦量的聯(lián)系)，因為它表示的不是一般意義的向量，而是對應了一個正弦量。3.相量的復數(shù)表示及運算+1O+jba(1)固定相量的四種表示方法：(2)旋轉(zhuǎn)相量的復數(shù)表示固定相量旋轉(zhuǎn)因子（實軸投影）或?qū)懗桑海?）有效值相量例1.解：已知①試分別寫出i1,i2對應的振幅相量和有效值相量。②求i(t)=i1(t)+i2(t)的瞬時表達式。③作i、i1、i2的有效值相量圖。將

i1、i2化為標準cos形式:①振幅相量：有效值相量：②（由相量形式寫時域形式）例.③i的有效值相量:i、i1、i2的有效值相量圖+1O+j注：頻率不同的相量不能畫在同一個相量圖上。4.相量運算（略）(1)同頻率正弦量相加減故同頻的正弦量相加減運算就變成對應的相量相加減運算。i1i2=i3這實際上是一種變換思想例．同頻正弦量的加、減運算可借助相量圖進行。相量圖在正弦穩(wěn)態(tài)分析中有重要作用，尤其適用于定性分析。y1y2ReIm將正弦量與相量建立起對應關(guān)系這實際上是一種變換思想，由時域變換到頻域：時域：在變量是時間函數(shù)條件下研究網(wǎng)絡，以時間為自變量分析電路。頻域：在變量經(jīng)過適當變換的條件下研究網(wǎng)絡，以頻率為自變量分析電路。相量法：將正弦時間函數(shù)“變換”為相量后再進行分析,屬于頻域分析。

(2)正弦量的微分，積分運算證明：5.相量法的應用求解正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)解(微分方程的特解)例一階常系數(shù)線性微分方程自由分量(齊次方程解)：Ae-R/Lt強制分量(特解)：Imcos(wt+yi)Ri(t)u(t)L+-wt+u=wt+

i+qi=u-qq=tg-1(wL/R)用相量法求：qRL小結(jié)①正弦量相量時域頻域②相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變線性電路。③相量法可以用來求強制分量是正弦量的任意常系數(shù)線性微分方程的特解，即可用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。N線性N線性w1w2非線性w不適用正弦波形圖相量圖5.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型一.電阻時域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值關(guān)系：UR=RI相位關(guān)系：u=i

(u,i同相)R+-注：(1)uR,i是同頻正弦量功率：波形圖及相量圖：t

iOuRpRu=iP=URI≧0（純耗能）二.電感時域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型有效值關(guān)系：UL=wLI相位關(guān)系：u=i+90°

(uL

超前

i90°)jL+-（相量形式的歐姆定律）iu相量圖令XL=L，稱為感抗，單位為(歐姆)BL=1/L，感納，單位為S(同電導)感抗的物理意義：(1)表示限制電流的能力；(2)感抗和頻率成正比,w越大，XL越大，對正弦電流阻礙能力越強。(3)由于感抗的存在使電流落后電壓.。wXL寫法注意：w0直流（XL=0)（短路）w（開路）功率：波形圖：t

iOuLpL（1）平均功率為0（2）功率變化比電壓、電流快一倍（倍頻）能量流入電感能量流出電感三、電容時域形式：相量形式：相量模型有效值關(guān)系：IC=wCU相位關(guān)系：i=u+90°

(i超前

u90°)iC(t)u(t)C+-+-ui相量圖令Xc=1/wC，稱為容抗，單位為W(歐姆)

Bc=wC，稱為容納，單位為S容抗和頻率成反比,w0，|XC|

直流開路(隔直)w，|XC|0

高頻短路(旁路作用)wXC功率：波形圖：t

iCOupC能量流入電容能量流出電容四、基爾霍夫定律的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對應的相量形式來進行計算。因此，在正弦電流電路中，KCL和KVL可用相應的相量形式表示：簡證KCL的相量形式:（略）i3i2i1由KCL有：i1(t)+i2(t)+i3(t)=0同理可證KVL的相量形式故：i1(t)+i2(t)+i3(t)五、電路的相量模型(phasormodel)（略）時域列解微分方程求非齊次方程特解頻域列解代數(shù)方程LCRuSiLiCiR+-jw

L1/jwCR+-時域電路頻域電路例:如圖(a)電路,us=10cos1000t(V),求i1,i2,i3及i(t)并作相量圖。1H1F1KuSi3i2i1+-i(a)時域模型1K+-(b)相量模型-j103j103由KCL的相量形式：+10+j絕對相量圖封閉相量圖例：如圖正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知交流電壓表V1讀數(shù)為60V，

V2讀數(shù)為80V，求V讀數(shù)。解:（1）相量法求解RLi假設以電流為參考相量，即設：（2）相量圖解法V-+V1V2+--+6080100相量圖解法5.4阻抗與導納一、阻抗（impedance）（復）阻抗反映了對正弦電流的阻礙能力。1.阻抗定義：基本元件的阻抗：LCRuuLuCi+-+-+-jLR+-+-+-2.RLC串聯(lián)電路的正弦穩(wěn)態(tài)特性由KVL：Z—復阻抗；R—電阻(阻抗的實部)；X—電抗(阻抗的虛部)；

|Z|—復阻抗的模；z—阻抗角。關(guān)系：或R=|Z|coszX=|Z|sinz|Z|=U/I——反映u,i有效值關(guān)系z

=u-i——反映u,i相位關(guān)系|Z|RX阻抗三角形z阻抗Z與電路性質(zhì)的關(guān)系：Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠z

wL>1/wC

，X>0，z>0，電路為感性，電壓領(lǐng)先電流；wL<1/wC

，X<0，z<0，電路為容性，電壓落后電流；wL=1/wC

，X=0，z=0，電路為電阻性，電壓與電流同相。畫相量圖：選電流為參考向量(設wL>1/wC)三角形UR、UX、U

稱為電壓三角形，它和阻抗三角形相似。即zUX例.LCRuuLuCi+-+-+-已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC

及u,i的相位差.解：其相量模型為j56.515+-+-+--j26.5故：注：分壓UL大于總電壓U法二：相量圖解法（略）選電流為參考相量則：故：1.導納定義：二、導納（admittance）基本元件的導納：由KCL：iLCGuiLiC+-iGjCG+-2.GCL并聯(lián)電路的正弦穩(wěn)態(tài)特性Y—復導納；G—電導(導納的實部)；B—電納(導納的虛部)；

|Y|—復導納的模；y—導納角。關(guān)系：或G=|Y|cosy

B=|Y|siny|Y|=I/Uy

=i-u反映i,u幅度關(guān)系。反映i,u相位關(guān)系。|Y|GB導納三角形yY=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠y當wC>1/wL

，B>0，y>0，電路為容性，i領(lǐng)先u；當wC<1/wL

，B<0，y<0，電路為感性，i落后u；當wC=1/wL

，B=0，y=0，電路為電阻性，i與u同相。畫相量圖：選電壓為參考向量(設wC<1/wL，y<0)y電流三角形三、阻抗串聯(lián)、并聯(lián)的電路及分壓分流公式同直流電路相似：ZZ1Z2+++---Y+-Y1Y2Z2Z3ab+-Z1c例：已知Z1=10+j6.28,Z2=20-j31.9,Z3=15+j15.7,分流分壓例：如圖無源單口網(wǎng)絡，設=2rad/s,(1)求Zab

及Yab

，判定電路的性質(zhì)，并求u,i的相位差。(2)若=1rad/s，重求問題(1)。(3)分別求=0和=時Zab

。（容性）解：（1）=2rad/s時ab3+-相量模型2Hab30.5F+-時域模型u落后于i

82o相位（2）=1rad/s時（容性）u落后于i

56.3o相位（3）=0rad/s時L視為短路，C視為開路=時，L視為開路，C視為短路2Hab30.5F+-時域模型5.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法電阻電路與正弦電流電路相量法分析比較：可見，二者依據(jù)的電路定律是相似的。只要作出正弦電流電路的相量模型，便可將電阻電路的分析方法應用于正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析中。列寫電路的節(jié)點電壓方程例.解：自(互)電導→自(互)導納節(jié)點電壓→節(jié)點電壓相量電壓(流)源→電壓(流)源相量+_-+21Y1Y2Y3Y4Y5列寫電路的回路電流方程如前圖.自(互)電阻→自(互)阻抗回路電流→回路電流相量電壓(流)源→電壓(流)源相量+_-+21Z1Z2Z3Z4Z55j5a5-j5-j5+-+-100V解：法一：網(wǎng)孔分析法化簡為：5j5a5-j5-j5+-+-100V法二：節(jié)點分析法法一：電源變換解：例：Z2Z1ZZ3Z2Z1Z3Z+-法二：戴維南等效-例：用疊加定理計算電流Z0Z+Z2Z1Z3+-解：Z2Z1Z3Z2Z1Z3+-如圖交流電橋電路，試求其平衡條件。電橋平衡條件：即：

Z1Z4=Z2Z3例：解：|Z1|1

?|Z4|4

=|Z2|2

?|Z3|3（模條件）（阻抗角條件）|Z1|

|Z4|

=|Z2|

|Z3|

1

+4

=2

+3

故：實際應用：可用于精確測量實際電感線圈的參數(shù)Lx和RxZ1Z3Z2Z4r0Z1/Z2=Z3/Z4如果Z4為電感元件，電橋還能平衡嗎？解：r0RRBCnRALxRx調(diào)節(jié)Cn使電橋平衡有：利用電橋精確測量實際電感線圈的參數(shù)Lx和Rx得：已知：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。例：解：ZZ1+_ab用相量圖分析例：移相橋電路。當R2由0時，解：當R2=0，q=180；當R2

，q=0。且R2

，q

。ooabR2R1R1+_+-+-+-+-已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz

求：線圈的電阻R2和電感L2。已知的都是有效值，畫相量圖進行定性分析。例：解：R1R2L2+_+_+_q2q另解：利用阻抗概念。解得：R1R2L2+_+_+_5.6正弦電流電路中的功率無源單口網(wǎng)絡吸收的功率(u,i關(guān)聯(lián))1.瞬時功率(instantaneouspower)無源+ui_一、單口網(wǎng)絡的功率p有時為正,有時為負p>0,

電路吸收功率p<0，電路發(fā)出功率瞬時功率的分解：t

i0upUIcosUIcos(2t)瞬時功率實用意義不大，一般討論所說的功率指一個周期平均值。2.平均功率(averagepower)P：單位：W即：平均功率實際上是電阻消耗的功率，即為有功功率,代表電路實際消耗的平均功率，它不僅與電壓電流有效值有關(guān)，而且與cos

有關(guān)，這是交流和直流的很大區(qū)別,主要由于存在儲能元件產(chǎn)生了阻抗角。解：視在功率并不代表電路實際的吸收功率，它反映電氣設備的容量。單位：VA（伏安），（不用W，以示區(qū)別）3.視在功率S(apparentpower)*若電流滯后電壓，標“滯后”，若電流超前電壓，標“超前”例：cosz

=0.5(滯后)，則z=60o(電壓領(lǐng)先電流60o)。一般地,有0cos

1cosz1,純電阻0，純電抗功率因數(shù)反映了設備利用效率。

稱功率因數(shù)角。對無源網(wǎng)絡，即為其阻抗角z已知：電動機PD=1000W，其功率因數(shù)cosD=0.8，U=220V，f=50Hz，C=30F。求負載電路的功率因數(shù)。（不講）+_DC例.解：4.無功功率(reactivepower)Q單位：var(乏)，或稱無功伏安。無功功率的物理意義：t0UIcos(1+cos2t)

UIsin

sin2t瞬時功率的分解UIcos(1+cos2t)為不可逆分量，相當于電阻元件消耗的功率。UIsin

sin2t為可逆分量，周期性交變，相當于電抗吸收的瞬時功率，與外電路周期性交換。pR——電阻分量消耗的瞬時功率（≧0）pX——電抗分量吸收的瞬時功率

5.R、L、C元件的有功功率和無功功率PR=UIcos=UIcos0=UI=I2R=U2/RQR=UIsin=UIsin0=0對電阻，u,i同相，故Q=0，即電阻只吸收(消耗)功率，不發(fā)出功率。電抗元件吸收無功，在平均意義上不做功。Q=UIsin,Q的大小反映網(wǎng)絡與外電路間交換能量的最大速率。無功功率的物理意義:純電阻：純電感：電感不消耗有功，且QL>0。PC=UIcos=Uicos(-90)=0QC=UIsin=UIsin(-90)=-UI電容不消耗有功且QC<0。*電感、電容的無功功率具有互相補償?shù)淖饔肞L=UIcos=UIcos90=0QL=UIsin=UIsin90=UI純電容：6.復功率負載+_有功，無功，視在功率的關(guān)系：RjX+_+_oo+_SPQ功率三角形ZRX阻抗三角形UURUX電壓三角形復功率守恒定理：在正弦穩(wěn)態(tài)下，任一電路的所有支路吸收的復功率之和為零。即有功守恒無功守恒一般情況下：+_+_+_已知如圖，求各支路的復功率。(不講）例.+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解一：+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解二：7.功率因數(shù)提高設備容量S(額定)向負載送多少有功要由負載的阻抗角決定。S75kVA負載P=Scosjcosj

=1,

P=S=75kWcosj

=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用戶：異步電機空載cosj

=0.2~0.3

滿載cosj=0.7~0.85日光燈cosj

=0.45~0.6

(1)設備不能充分利用，電流到了額定值，但功率容量還有；(2)當輸出相同的有功功率時，線路上電流大I=P/(Ucosj

)，線路壓降損耗大,且線路熱損耗大。功率因數(shù)低帶來的問題：解決辦法：并聯(lián)性質(zhì)相反的電抗型元件，提高功率因數(shù)。已知：f=50Hz,U=380V,P=20kW,cosj1=0.6(滯后)。要使功率因數(shù)提高到0.9,求并聯(lián)電容C。例.P=20kWcosj1=0.6+_CLRC+_解：j1j2補償容量也可以從無功補償角度來確定：j1j2PQCQLQ補償電容不同全——不要求(電容設備投資增加,經(jīng)濟效果不明顯)欠過——使功率因數(shù)又由高變低(性質(zhì)不同)綜合考慮，提高到適當值為宜(0.9左右)。j1j2再從無功功率補償角度來看:并聯(lián)C后，電源向負載輸送的有功不變，但是電源向負載輸送的無功減少了,而功率因數(shù)得到改善。單純從提高cosj

看是可以，但是負載上電壓改變了。在電網(wǎng)與電網(wǎng)連接上有用這種方法的，一般用戶采用并聯(lián)電容。思考：能否用串聯(lián)電容提高cosj?功率因數(shù)提高后，線路上電流和熱損耗減少，就可以帶更多的負載，充分利用設備帶負載的能力。3+_j4-j53+_j4-j5解三：利用有功和無功功率守恒總的有功等于所有電阻功率之和，總的無功等于各電抗