第10章 含有耦合電感的電路

第10章含有耦合電感的電路首頁本章內(nèi)容互感10.1含有耦合電感電路的計算10.2耦合電感的功率10.3變壓器原理10.4理想變壓器10.5

1.互感和互感電壓以及同名端的含義；

2.含有互感電路的計算；

3.含有理想變壓器電路的計算。返回本章重點第10章含有耦合電感的電路10.1互感耦合電感在工程中有著廣泛的應(yīng)用。耦合電感元件屬于多端元件，在實際電路中，如收音機(jī)、電視機(jī)中的中周線圈、振蕩線圈，整流電源里使用的變壓器等都是耦合電感元件，熟悉這類多端元件的特性，掌握包含這類多端元件的電路問題的分析方法是非常必要的。下頁上頁返回下頁上頁變壓器返回下頁上頁變壓器返回下頁上頁有載調(diào)壓變壓器返回下頁上頁小變壓器返回下頁上頁調(diào)壓器整流器牽引電磁鐵電流互感器返回1.耦合電感線圈1中通入電流i1（施感電流）時，產(chǎn)生磁通11

。交鏈自身的線圈，產(chǎn)生自感磁通鏈；同時，有部分磁通穿過臨近線圈2，這部分稱為互感磁通鏈。兩線圈間有磁耦合。工程上稱這對耦合線圈為耦合電感（元件）。下頁上頁

21+–u11+–u21i111N1N2定義磁通鏈

：

=N返回11L1L2空心線圈，與i成正比。當(dāng)只有一個線圈時：

當(dāng)兩個線圈都有電流時，每一線圈的磁鏈為自感磁通鏈與互感磁通鏈的代數(shù)和：

M值與線圈的形狀、幾何位置、空間媒質(zhì)有關(guān)，與線圈中的電流無關(guān)，滿足M12=M21

L

總為正值，M值有正有負(fù)。下頁上頁注意返回下頁上頁返回注意③互感作用的兩種可能性：增磁——同向耦合、消磁——反向耦合。④工程上將同向耦合狀態(tài)下的一對施感電流的入端或出端定義為耦合電感的同名端。i1**L1L2+_u1+_u2i2M⑤耦合電感的電路符號：具有四個端子的二端口電路元件**i1i2i3△△下頁上頁N1N2N3返回⑥線圈的同名端必須兩兩確定。注意L1L2L3MM**M無標(biāo)記的另一對端點也是同名端。用“?”或“*”或“△”等標(biāo)記。2.耦合因數(shù)k一般情況下，一個線圈中的電流所產(chǎn)生的磁通只有一部分與鄰近線圈交鏈，另一部分稱為漏磁通。漏磁通越少，互感線圈之間的耦合程度越緊密。工程上常用耦合因數(shù)k表示其緊疏程度：11'22'L1L2i1F21漏磁通F1sF11=F21+F1skdelY12Y11·Y21Y22代入Y11=L1i1，Y22=L2i2k=L1L2M≤10≤k的大小與兩線圈的結(jié)構(gòu)、相對位置和周圍的磁介質(zhì)有關(guān)。k=1為緊耦合。Y12=Mi2，Y21=M

i1得當(dāng)i1為時變電流時，磁通也將隨時間變化，從而在線圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓。當(dāng)i1、u11、u21方向與

符合右手螺旋時，根據(jù)電磁感應(yīng)定律和楞次定律：自感電壓互感電壓3.耦合電感上的電壓、電流關(guān)系下頁上頁當(dāng)兩個線圈同時通以電流時，每個線圈兩端的電壓均包含自感電壓和互感電壓。返回在正弦交流電路中，其相量形式的方程為：下頁上頁返回兩線圈的自感磁通鏈和互感磁通鏈相助，互感電壓取正，否則取負(fù)。表明互感電壓的正、負(fù)：

（1）與電流的參考方向有關(guān)；

（2）與線圈的相對位置和繞向有關(guān)。下頁上頁注意返回4.互感線圈的同名端對自感電壓，當(dāng)u,i

取關(guān)聯(lián)參考方向，u、i與

符合右螺旋定則，其表達(dá)式為：上式說明，對于自感電壓由于電壓電流為同一線圈上的，只要參考方向確定了，其數(shù)學(xué)描述便可容易地寫出，可不用考慮線圈繞向。下頁上頁i1u11返回對互感電壓，因產(chǎn)生該電壓的電流在另一線圈上，因此，要確定其符號，就必須知道兩個線圈的繞向。這在電路分析中顯得很不方便。為解決這個問題引入同名端的概念。下頁上頁當(dāng)兩個電流分別從兩個線圈的對應(yīng)端子同時流入或流出，若所產(chǎn)生的磁通相互加強(qiáng)時，則這兩個對應(yīng)端子稱為兩互感線圈的同名端。同名端返回**i1i2i3△△下頁上頁+–u11+–u2111

0N1N2+–u31N3

s返回確定同名端的方法：(1)當(dāng)兩個線圈中電流同時由同名端流入(或流出)時，兩個電流產(chǎn)生的磁場相互增強(qiáng)。i11'22'**11'22'3'3**例(2)當(dāng)隨時間增大的時變電流從一線圈的一端流入時，將會引起另一線圈相應(yīng)同名端的電位升高。下頁上頁返回+–V同名端的實驗測定：i11'22'**電壓表正偏。如圖電路，當(dāng)閉合開關(guān)S

時，i

增加，當(dāng)兩組線圈裝在黑盒里，只引出四個端線組，要確定其同名端，就可以利用上面的結(jié)論來加以判斷。下頁上頁RS+-i返回由同名端及u、i參考方向確定互感線圈的特性方程有了同名端，表示兩個線圈相互作用時，就不需考慮實際繞向，而只畫出同名端及u、i參考方向即可。下頁上頁i1**u21+–Mi1**u21–+M返回☆當(dāng)施感電流從同名端的標(biāo)記端流進(jìn)線圈時，則其互感電壓（在另一線圈中）的“+”極性端就在同名端的標(biāo)記端。例：寫出圖示電路電壓、電流關(guān)系式下頁上頁i1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2M返回例：21010i1/At/s解：下頁上頁MR1R2i1**L1L2+_u+_u2返回§10-2含有耦合電感電路的計算方法1：直接列寫方程法與一般電路相比，在列寫互感電路方程時，必須考慮互感電壓，并注意極性。對互感電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析，用相量形式。方法2：互感消去法(去耦等效法)

通過列寫、變換互感電路的VCR方程，可以得到一個無感等效電路。分析計算時，用無感等效電路替代互感電路即可。方法3：受控源替代法重復(fù)前面的話：若i2從L2的同名端流互感電壓，控制量為相鄰電感的同名端確定。11'L1+-u1i1M22'L2+-u2i2.U2.I2jwL1jwM.I1.I211'+-jwL2jwM.I122'+-.U1可以用相量形式的CCVS替代互感電壓，從而將互感電壓明確地畫在電路中。施感電流。被控量為極性根據(jù)若i1從L1的同名端流入，則i1在L2中引起的互感電壓參考

“+”極在L2的同名端。的互感電壓參考

“+”極在L1的同名端。+-+-入，則i2在L1中引起1.耦合電感的串聯(lián)(1)L1、L2反向串聯(lián)時，無感等效電路如下：u1=

R1i+

L1dtdi

-

Mdtdi=

R1i+

(L1-

M)dtdiu2=

R2i+

L2dtdi-

Mdtdi=

R2i+

(L2-

M)dtdi互感起“削弱”作用。由KVL(注意互感)得：L1+-ui+-u2ML2R1R2u1+-L1-M+-ui+-u2L2-MR1u1+-R2相量形式：

.U1=

R1.I+

jw

(L1-

M).I=

Z1.I

.U=

.U1

+

.U2=

(Z1+

Z2).I=

Z.Iu1=

R1i

+(L1-

M)dtdiu2=

R2i

+(L2-

M)dtdi式中Z1=

R1+jw

(L1-

M)

.U2=

R2.I+

jw

(L2-

M).I=

Z2.I式中Z2=

R2+jw

(L2-

M)Z

=Z1+Z2=

(R1+

R2)

+jw

(L1+L2-2M)由KVL：jw

(L1-M)+-+-R1R2+-

.U

.U1

.U2.Ijw

(L2-M)互感的“削弱”作用類似于“容性”效應(yīng)。由于耦合因數(shù)k≤1，所以(L1+L2-2M)≥0。電路仍呈感性。Z

=Z1+Z2=

(R1+

R2)

+jw

(L1+L2-2M)可見，當(dāng)反向串聯(lián)時，由于互感的“削弱”作用，使每一條耦合電感支路阻抗(Z1、Z2)和輸入阻抗Z都比無互感時小。(L1-M)和(L2-M)有可能一個為負(fù)，但不會都為負(fù)。友情提示：jw

(L1-M)+-+-R1R2+-

.U

.U1

.U2.Ijw

(L2-M)(2)順向串聯(lián)用同樣的方法可得出：Z1=

R1+jw

(L1+M)Z2=

R2+jw

(L2+M)綜上：兩個串聯(lián)的耦合電感可以用一個等效電感L來替代：Z

=

(R1+

R2)

+jw

(L1+L2+2M)去耦等效電路為：jwL1+-+-jwMR1R2+-.I

.U

.U1

.U2jwL2jw(L1+M)+-+-R1R2+-

.U

.U1

.U2.Ijw(L2+M)L

=

L1+

L2±2M順接取“+”，反接取“-”。解題指導(dǎo)：電路如圖，L1=0.01H，L2=0.02HR1=R2=10Ω，C=20μF，M=0.01H，U=6V。L1+-+-L2R1R2+-

.U.I

.U1

.U2CMw=1000rad/s等效復(fù)阻抗為：Z=(R1+R2)+jw(L1+L2-2M)

-wC1求I、U1、U2。...解：耦合線圈為反向串聯(lián)L1改為L1-ML2改為L2-ML1-M+-+-L2-MR1R2+-

.U.I

.U1

.U2Cw=1000rad/s去耦等效電路如圖。代入數(shù)據(jù)求得：Z=20-j40=

44.7-63.4oW

.U1=[R1+jw(L1-M)].I=

1.3463.4oV可進(jìn)一步分析功率等問題。L1+-+-L2R1R2+-

.U.I

.U1

.U2CMw=1000rad/sZ=20-j40=

44.7-63.4oW設(shè)

.U=

60oV則：.I=Z

.U=60o44.7-63.4o=

0.13463.4oAL1-M+-+-L2-MR1R2+-

.U.I

.U1

.U2Cw=1000rad/s

.U2=[R2+jw(L2-M)].I=

1.90108.4oV順接一次，反接一次，就可以測出互感：全耦合時：

當(dāng)

L1=L2

時

,

M=L4M

順接

0

反接L=互感的測量方法：下頁上頁返回例如課后習(xí)題P273：10-7在正弦激勵下：**–下頁上頁jL1jL2jM+–R1+–+–返回**相量圖：(a)順接(b)反接下頁上頁jL1jL2jM+–R1+–+–返回2.耦合電感的并聯(lián)①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM

.U

=jwL1.I1+

jwM.I2

.U+jwL2.I2=

jwM.I1

.I3

=.I1+.I2

.U.I1

=jwL1+

jwM

.I3

-.I1()=

jw(L1-M).I1+

jwM

.I3

(1)同側(cè)并聯(lián)同名端接在同一結(jié)點上。把(3)代入(1)得……(1)……(2)………………(3)把(3)代入(2)得

.U

=

jwM

.I3

-.I2().I2

+jwL2=

jwM

.I3

+

jw(L2-M).I2.I3jwM.I1jw(L1-M)+-

.U.I2jw(L2-M)②①1'①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM

.U

=jw(L1-M).I1+

jwM

.I3

.U=

jwM

.I3

+

jw(L2-M).I2由以上兩個方程得到去耦等效電路：(1)同側(cè)并聯(lián).I3-jwM.I1jw(L1+M)+-

.U.I2jw(L2+M)②①1'①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM與同側(cè)并聯(lián)的比較去耦等效電路①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM：異名端連接在同一個結(jié)點上。(2)異側(cè)并聯(lián).I3jwM.I1jw(L1-M)+-

.U.I2jw(L2-M)②①1'“去耦方法”歸納如下：使用條件：兩個耦合電感必須有一側(cè)聯(lián)在一起，或經(jīng)電阻聯(lián)在一起。L2L1M312**L2-ML1-MM312同正異負(fù)L2L1M312R1R2L2+ML1+M-M312R1R2同減異加另一側(cè)可任意聯(lián)接?！铖詈想姼械腡型等效電路同名端為共端的T型去耦等效電路下頁上頁**jL1123jL2jM312j(L1-M)j(L2-M)jM返回如果耦合電感的兩條支路有一端與第三條支路形成了僅含三條支路的共同結(jié)點，則可用三條無耦合的電感支路來等效替代，且等效電感與電流的參考方向無關(guān)。異名端為共端的T型去耦等效電路下頁上頁**jL1123jL2jM12j(L1+M)j(L2+M)-jM3返回☆耦合電感的T型等效電路下頁上頁**Mi2i1L1L2ui+–(L1－M)M(L2－M)i2i1ui+–**Mi2i1L1L2u1+–u2+–(L1－M)M(L2－M)**Mi2i1L1L2u1+–u2+–返回等效電感：等效電路下頁上頁Lequi+–返回**Mi2i1L1L2ui+–同側(cè)并聯(lián)☆耦合電感的直接等效電路如全耦合：L1L2=M2當(dāng)

L1L2

，Leq=0

(短路)當(dāng)L1=L2=L

，Leq=L

(相當(dāng)于導(dǎo)線加粗，電感不變)

等效電感：下頁上頁返回同側(cè)并聯(lián)

異側(cè)并聯(lián)等效電感：下頁上頁**Mi2i1L1L2ui+–返回等效電路Lequi+–☆耦合電感的直接等效電路3.耦合電感的受控源等效電路下頁上頁**Mi2i1L1L2u1+–u2+–jL1jL2+––++–+–返回Lab=6H解下頁上頁M=4H6H2H3H5HabM=1H4H3H2H1Hab3H返回例例：求圖示電路的開路電壓。解：互感消法。作去耦等效電路，一對一對地消去互感。L2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23RL1-M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12△△M31M23RL2-M12L1-M12+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12△△M31RL2-M12+M23-M23-M23例：求圖示電路的開路電壓。解：互感消法。作去耦等效電路，一對一對地消去互感。L2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23RL1-M12+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12△△M31RL2-M12+M23-M23-M23L1-M12+M23+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12-M23RL2-M12-M23-M31-M31+M31由去耦等效電路得開路電壓為：

.UOC=R

+jw(L1+

L3-2M31)jw(L3+M12-M23-M31)

.USL1-M12+M23+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12-M23RL2-M12-M23-M31-M31+M31例：求圖示電路的開路電壓。解：互感消法。L2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23R10.3耦合電感的功率當(dāng)耦合電感中的施感電流變化時，將出現(xiàn)變化的磁場，從而產(chǎn)生電場（互感電壓），耦合電感通過變化的電磁場進(jìn)行電磁能的轉(zhuǎn)換和傳輸，電磁能從耦合電感一邊傳輸?shù)搅硪贿?。下頁上?*jL1jL2jM+–R1R2例：求圖示電路的復(fù)功率返回下頁上頁**jL1jL2jM+–R1R2返回下頁上頁線圈1中互感電壓耦合的復(fù)功率線圈2中互感電壓耦合的復(fù)功率注意兩個互感電壓耦合的復(fù)功率為虛部同號，而實部異號，這一特點是耦合電感本身的電磁特性所決定的；耦合功率中的有功功率相互異號，表明有功功率從一個端口進(jìn)入，必從另一端口輸出，這是互感M非耗能特性的體現(xiàn)。返回下頁上頁耦合功率中的無功功率同號，表明兩個互感電壓耦合功率中的無功功率對兩個耦合線圈的影響、性質(zhì)是相同的，即，當(dāng)M起同向耦合作用時，它的儲能特性與電感相同，將使耦合電感中的磁能增加；當(dāng)M起反向耦合作用時，它的儲能特性與電容相同，將使耦合電感的儲能減少。注意返回**Mi2i1L1L2ui+–R1R2例題：電路如圖所示，設(shè)正弦電壓U=50V，R1=3Ω，ωL1=7.5Ω，R2=5Ω，ωL2=12.5Ω，ωM=8Ω。試對電路中的復(fù)功率的轉(zhuǎn)換和傳輸做以分析。解：復(fù)功率為互感吸收的復(fù)功率：M起同向耦合的作用，使耦合電感中的無功功率都增加了同一個值。有功功率的傳輸情況是：線圈1吸收功率（54.78W）→線圈2發(fā)出（-54.78W）→線圈2電阻R2的消耗（19.80W）+剩余功率（-34.98W）→返回給電源（有功功率的“過沖”現(xiàn)象）。**Mi2i1L1L2ui+–R1R210.4變壓器原理變壓器由兩個具有互感的線圈構(gòu)成，一個線圈接向電源，另一線圈接向負(fù)載，變壓器是利用互感來實現(xiàn)從一個電路向另一個電路傳輸能量或信號的器件。當(dāng)變壓器線圈的芯子為非鐵磁材料時，稱空心變壓器。1.變壓器電路（工作在線性段）原邊回路副邊回路下頁上頁**jL1jL2jM+–R1R2Z=R+jX返回2.分析方法方程法分析令

Z11=R1+jL1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)回路方程：下頁上頁**jL1jL2jM+–R1R2Z=R+jX返回等效電路法分析下頁上頁+–Z11+–Z22原邊等效電路副邊等效電路返回根據(jù)以上表示式得等效電路。副邊對原邊的引入阻抗。引入電阻。恒為正,表示副邊回路吸收的功率是靠原邊供給的。引入電抗。負(fù)號反映了引入電抗與付邊電抗的性質(zhì)相反。下頁上頁+–Z11原邊等效電路注意返回引入阻抗反映了副邊回路對原邊回路的影響。原副邊雖然沒有電的聯(lián)接，但互感的作用使副邊產(chǎn)生電流，這個電流又影響原邊電流電壓。能量分析電源發(fā)出有功

P=I12(R1+Rl)I12R1

消耗在原邊；I12Rl

消耗在付邊證明下頁上頁返回原邊對副邊的引入阻抗。利用戴維寧定理可以求得變壓器副邊的等效電路。副邊開路時，原邊電流在副邊產(chǎn)生的互感電壓。副邊等效電路下頁上頁+–Z22注意去耦等效法分析對含互感的電路進(jìn)行去耦等效，再進(jìn)行分析。返回已知

US=20V,原邊引入阻抗

Zl=10–j10.求:

ZX

并求負(fù)載獲得的有功功率.負(fù)載獲得功率：實際是最佳匹配：例1解下頁上頁**j10j10j2+–10ZX10+j10Zl+–返回L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,

R2=0.08W,

RL=42W,w=314rad/s,應(yīng)用原邊等效電路例2解1下頁上頁**jL1jL2jM+–R1R2RL+–Z11返回下頁上頁+–Z11返回應(yīng)用副邊等效電路解2下頁上頁+–Z22返回例3全耦合電路如圖，求初級端ab的等效阻抗。解1解2畫出去耦等效電路下頁上頁**L1aM+–bL2L1－M

L2－M+–

Mab返回例4L1=L2=0.1mH,M=0.02mH,R1=10W,C1=C2=0.01F

問：R2=？能吸收最大功率,求最大功率。解1w=106rad/s,下頁上頁jL1jL2jMR1R2**+–1/jC21/jC1返回應(yīng)用原邊等效電路當(dāng)R2=40時吸收最大功率下頁上頁10+–返回解2應(yīng)用副邊等效電路當(dāng)時吸收最大功率下頁上頁R2+–返回解例5**問Z為何值時其上獲得最大功率，求出最大功率。判定互感線圈的同名端下頁上頁＋－uS(t)Z100CL1L2MjL1R

+–

MZ**jL21/jC

返回作去耦等效電路下頁上頁+–

Zj100－j20j20100j(L-20)jL1R

+–

MZ**jL21/jC

+–

Zj100100j(L-20)返回下頁上頁＋－uoc+–

j100100j(L-20)j100100j(L-20)Zeq返回10.5理想變壓器1.理想變壓器的三個理想化條件理想變壓器是實際變壓器的理想化模型，是對互感元件的理想科學(xué)抽象，是極限情況下的耦合電感。全耦合無損耗線圈導(dǎo)線無電阻，做芯子的鐵磁材料的磁導(dǎo)率無限大。參數(shù)無限大下頁上頁返回以上三個條件在工程實際中不可能滿足，但在一些實際工程概算中，在誤差允許的范圍內(nèi)，把實際變壓器當(dāng)理想變壓器對待，可使計算過程簡化。下頁上