高考數(shù)學 優(yōu)等生拔高講義中（詳解）

第210頁/共393頁《優(yōu)等生拔高講義》第一章集合與簡易邏輯 1問題一集合中的創(chuàng)新問題 1問題二集合與其他知識的交匯問題 8問題三含參數(shù)的常用邏輯用語問題 16第二章函數(shù)與導數(shù) 23問題一如何靈活應用函數(shù)的四大性質(zhì) 23問題二函數(shù)中存在性與恒成立問題 31問題三如何利用導數(shù)處理參數(shù)范圍問題 39問題四函數(shù)與方程、不等式相關問題 48問題五利用導數(shù)處理不等式相關問題 55第三章三角函數(shù) 63問題一應用三角公式化解求值的技巧問題 63問題二：應用三角函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)問題 70問題三：三角形中的不等問題 78問題四：與向量、數(shù)列等相結(jié)合的三角形 86問題五：利用正、余弦定理解決實際問題 94第四章平面向量 104問題一平面向量基本定理的應用問題 104問題二平面向量中的范圍、最值問題 110問題三平面向量解析幾何中的應用 115問題四高考題中向量數(shù)量積的若干種求法 127第五章數(shù)列 132問題一：等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明問題 132問題二：數(shù)列中的最值問題 142問題三：由復雜遞推關系求解數(shù)列的通項公式問題 148問題四：如何順暢求解復雜數(shù)列的求和問題 153問題五數(shù)列與不等式的相結(jié)合問題 159問題六：數(shù)列中探索性問題 168第六章不等式 177問題一：含參數(shù)的不等式的恒成立、恰成立、能成立問題 177問題二線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 190問題三利用基本不等式處理最值、證明不等式和實際問題 198第七章立體幾何 209問題一：面體與球的組合體問題 209問題二立體幾何中折疊問題 217問題三立體幾何中的最值問題 225問題四：化歸與轉(zhuǎn)化思想解決立體幾何中的探索性問題 230問題五：利用空間向量解決開放性問題 241第八章解析幾何 252問題一與圓有關的最值問題 252問題二：求解離心率的范圍問題 257問題三：橢圓、雙曲線、拋物線與圓相結(jié)合問題 264問題四圓錐曲線的最值、范圍問題 274問題五：圓錐曲線的定值、定點問題 285問題六：圓錐曲線的存在、探索問題 292第九章概率與統(tǒng)計 303問題一：復雜的排列組合問題 303問題一：與幾何概型相結(jié)合的問題 309問題二：交匯創(chuàng)新—離散型隨機變量的交匯題（理） 313第十章推理證明、框圖和復數(shù) 329問題一推理問題的常見求解策略 329問題二數(shù)學歸納法在證明不等式中的應用 335問題三算法與其他問題相結(jié)合問題 341問題四：復數(shù)與其他知識相結(jié)合問題 353第四章平面向量問題一平面向量基本定理的應用問題平面向量問題一直在高中數(shù)學中以數(shù)學工具的形式出現(xiàn),它很好的體現(xiàn)了數(shù)學知識間的聯(lián)系與遷移,具體到平面向量基本定理,又在向量這部分知識中占有重要地位,是向量坐標法的基礎,是聯(lián)系幾何和代數(shù)的橋梁,本文從不同角度介紹定理的應用．一、利用平面向量基本定理表示未知向量平面向量基本定理的內(nèi)容：如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2使=λ1+λ2,平面內(nèi)選定兩個不共線向量為基底,可以表示平面內(nèi)的任何一個向量．【例1】如圖,平面內(nèi)有三個向量,其中與的夾角為,與的夾角為,且,若,則（）A. B. C. D.【小試牛刀】【2016屆重慶市巴蜀中學高三上學期期中】在中,若點滿足,則（）A．B．C．D．二、利用平面向量基本定理確定參數(shù)的值、取值范圍問題平面向量基本定理是向量坐標的理論基礎,通過建立平面直角坐標系,將點用坐標表示,利用坐標相等列方程,尋找變量的等量關系,進而表示目標函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．【例2】【2016屆浙江省紹興市一中高三9月回頭考】已知向量滿足,若為的中點,并且,則的最大值是（）A．B．C．D．【小試牛刀】如圖,在正方形ABCD中,E為AB的中點,P為以A為圓心,AB為半徑的圓弧上的任意一點,設向量．三、三點共線向量式設是共線三點,是平面內(nèi)任意一點,則,其特征是“起點一致,終點共線,系數(shù)和為1”,利用向量式,可以求交點位置向量或者兩條線段長度的比值．【例3】如圖所示,已知點G是△ABC的重心,過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點,且,則的值為.【小試牛刀】若點M是ABC所在平面內(nèi)一點,且滿足：.（1）求ABM與ABC的面積之比.（2）若N為AB中點,AM與CN交于點O,設,求的值.四、平面向量基本定理在解析幾何中的應用【例4】【2016屆安徽省六安一中高三上第五次月考】設雙曲線的右焦點為F,過點F與x軸垂直的直線交兩漸近線于A,B兩點,與雙曲線的其中一個交點為P,設坐標原點為O,若,且,則該雙曲線的漸近線為（）A．B．C．D．【小試牛刀】【2016屆河北省邯鄲市一中高三一輪收官考試】已知是雙曲線（,）的左頂點,、分別為左、右焦點,為雙曲線上一點,是的重心,若,則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．與的取值有關【遷移運用】1.如圖,在平行四邊形中,,,,則（）(用,表示)A．B．C．D．2．設向量,若(tR),則的最小值為（）A．B.1C.D.3.【2016屆廣西武鳴縣高中高三8月月考】直線過拋物線的焦點,且交拋物線于兩點,交其準線于點,已知,則（）A.2B.C.D.44．已知是兩個單位向量,且=0．若點C在∠AOB內(nèi),且∠AOC=30°,則（）A．B．CD．5．在△ABC中,M為邊BC上任意一點,N為AM中點,＝λ＋μ,則λ＋μ的值為()A.B.C.D.16.已知,若是以為直角頂點的等腰直角三角形,則的面積是（）A．B．2C．D．47.過坐標原點O作單位圓的兩條互相垂直的半徑,若在該圓上存在一點,使得（）,則以下說法正確的是（）A．點一定在單位圓內(nèi)B．點一定在單位圓上C．點一定在單位圓外D．當且僅當時,點在單位圓上8.在平面上,⊥,||=||=1,=+．若||<,則||的取值范圍是()A．(0,]B．(,]C．(,]D．(,]9.在平面直角坐標系中,為坐標原點,直線與圓相交于兩點,．若點在圓上,則實數(shù)（）A．B．C．D．10.如圖,在扇形OAB中,,C為弧AB上的一個動點．若,則的取值范圍是．11.如圖,四邊形是邊長為1的正方形,,點為內(nèi)（含邊界）的動點,設,則的最大值等于12.（2015北京理13）在中,點,滿足,.若,則；.問題二平面向量中的范圍、最值問題平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題,也是難點問題,此類問題綜合性強,體現(xiàn)了知識的交匯組合．其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值,比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等,解決思路是建立目標函數(shù)的函數(shù)解析式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,同時向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份,所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合．一、平面向量數(shù)量積的范圍問題已知兩個非零向量和,它們的夾角為,把數(shù)量叫做和的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作.即=,規(guī)定,數(shù)量積的表示一般有三種方法：(1)當已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即=；(2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),則a·b＝x1x2＋y1y2；（3）運用平面向量基本定理,將數(shù)量積的兩個向量用基底表示后,再運算．【例1】【2015河北邯鄲摸底】在邊長為2的等邊三角形中,是的中點,為線段上一動點,則的取值范圍為【小試牛刀】【2015福建高考試題理9】已知,若點是所在平面內(nèi)一點,且,則的最大值等于（）.A．13B．15C．19D．21二、平面向量模的取值范圍問題設,則,向量的模可以利用坐標表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向線段的長度,過可結(jié)合平面幾何知識求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以將向量用基底向量表示再求．【例2】【2015.浙江臺州中學】已知向量滿足與的夾角為,,則的最大值為（）（A）（B）（C）（D）【小試牛刀】【2016屆山西省山西大學附中高三10月月考】已知是平面內(nèi)互不相等的兩個非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是（）A．B．C．D．三、平面向量夾角的取值范圍問題設,,且的夾角為,則．【例3】已知向量與的夾角為,時取得最小值,當時,夾角的取值范圍為（）A.B.C.D.【小試牛刀】非零向量滿足=,,則的夾角的最小值是．四、平面向量系數(shù)的取值范圍問題平面向量中涉及系數(shù)的范圍問題時,要注意利用向量的模、數(shù)量積、夾角之間的關系,通過列不等式或等式得系數(shù)的不等式,從而求系數(shù)的取值范圍．【例4】【2015.山東濰坊市期中】已知,,且與的夾角為銳角,則的取值范圍是．【小試牛刀】【2016屆江西省南昌二中高三上學期第三次考試】設向量、滿足：,,的夾角是,若與的夾角為鈍角,則的范圍是（）A．B．C．D．【遷移運用】1．【2015-2016學年福建三明一中高二上第二次月考】已知,,,點在直線上運動,則當取得最小值時,點的坐標為（）A．B．C．D．2．【2016屆廣西河池高中高三上第五次月考】在中,為中線上一個動點,若,則的最小值是（）A．2B．-1C．-2D．-43．【2016屆湖南師范大學附中高三上學期月考】已知的面積為1,為直角頂點．設向量,,,則的最大值為（）A．1B．2C．3D．44．【2016屆遼寧省葫蘆島市一中高三上學期期中】若均為單位向量,,,則的最大值是（）A．1B．C．D．２5．【2016屆陜西省商洛市商南高中高三上第二次模擬】已知向量,滿足：||=3,||=1,|﹣2|≤2,則在上的投影長度的取值范圍是（）A．[0,]B．（0,]C．[,1]D．[,1]6．【2016屆寧夏銀川一中高三上學期第三次月考】已知,是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量滿足,則的最大值是（）A．1B．2C．D．7.已知向量,則的最大值,最小值分別是（）A．B．C．D．8．已知是單位向量,.若向量滿足（）A．B．C．D．9．設為單位向量,非零向量,若的夾角為,則的最大值等于________.10.如圖,邊長為1的正方形ABCD的頂點A,D分別在軸,軸正半軸上移動,則的最大值是．11.【2016屆福建省廈門一中高三上學期期中】平面上四點滿足,則面積的最大值為．12．【2016屆浙江省慈溪中學高三上學期期中】已知非零向量,,滿足,,,則的最小值是,最大值是．13.【2015.河南頂級名校】設O是的三邊中垂線的交點,分別為角對應的邊,已知,則的范圍是___________．14（2015天津高考理14）在等腰梯形中,已知,,,,動點和分別在線段和上,且,,則的最小值為.15.如圖,在等腰直角三角形中,,是的重心,是內(nèi)的一點（含邊界）,則的最大值為_________.16．△的面積滿足,且,與的夾角為,則的取值范圍____．17.在矩形ABCD中,邊AB、AD的長分別為2、1,若M、N分別是邊BC、CD上的點,且滿足,則的取值范圍是________．問題三平面向量解析幾何中的應用向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份,平面向量與解析幾何的交匯是新課程高考命題改革的發(fā)展方向和必然趨勢,平面向量在解析幾何的應用非常廣泛,通常涉及長度、角度、垂直、平行、共線、三點共線等問題的處理,其目標就是將幾何問題坐標化、符號化、數(shù)量化,從而將推理轉(zhuǎn)化為運算,本文從以下幾個方面加以闡述一、利用向量相等的關系,把幾何問題代數(shù)化兩向量相等當且僅當兩個向量的長度相等、方向相同,由于向量坐標的唯一性,故兩個向量相等的充要條件是坐標對應相等．【例1】【2016屆重慶市巴蜀中學高三上學期一診模擬】橢圓,作直線交橢圓于兩點,為線段的中點,為坐標原點,設直線的斜率為,直線的斜率為,．（1）求橢圓的離心率；（2）設直線與軸交于點,且滿足,當?shù)拿娣e最大時,求橢圓的方程．【小試牛刀】已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點,離心率等于.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線交橢圓C于A,B兩點,交y軸于M點,若,求證為定值.二、利用向量垂直的充要條件,巧妙化解解析幾何中的垂直問題兩個非零向量垂直的充要條件是,如,,則．【例2】設F1,F2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點,P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點,且PF1⊥PF2,則點P的橫坐標為()A．1B.C．2D.【小試牛刀】【2016屆廣西武鳴縣高中高三月考】已知橢圓的左頂點為,是橢圓上異于點的任意一點,點與點關于點對稱．（1）若點的坐標為,求的值；（2）若橢圓上存在點,使得以線段為直徑的圓過原點,求的取值范圍．三、利用向量平行的充要條件,靈活轉(zhuǎn)換解析幾何中的平行或共線問題與非零向量平行的充要條件是存在唯一實數(shù),使得,若,,則．【例3】（1）求橢圓C的方程；（2）點,在線段上取一點使得,試判斷當直線運動時,點是否在某一定直線上運動？若在請求出該定直線,若不在請說明理由.【小試牛刀】設橢圓的左右焦點分別為、,是橢圓上的一點,,坐標原點到直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）設是橢圓上的一點,,連接QN的直線交軸于點,若,求直線的斜率．四、利用向量夾角,合理處理解析幾何中的角度問題兩個非零向量夾角范圍為,由數(shù)量積定義可以推出,當時,夾角為銳角；當時,夾角為鈍角,所以當排除和的情況,的范圍與三角形內(nèi)角范圍一致,利用向量夾角可以靈活處理解析幾何中的角的問題．【例4】已知拋物線,為拋物線的焦點,為拋物線上的動點,過作拋物線準線的垂線,垂足為．（1）若點與點的連線恰好過點,且,求拋物線方程；（2）設點在軸上,若要使總為銳角,求的取值范圍．【小試牛刀】已知圓C的圓心在坐標原點,且與直線相切（1）求直線被圓C所截得的弦AB的長．（2）過點G(1,3)作兩條與圓C相切的直線,切點分別為M,N求直線MN的方程（3）若與直線l1垂直的直線l與圓C交于不同的兩點P,Q,若∠POQ為鈍角,求直線l縱截【遷移運用】1．【2016屆吉林省吉林大學附中高三上第四次摸底】已知兩個動點、和一個定點均在拋物線上（、與不重合）.設為拋物線的焦點,為其對稱軸上一點,若,且、、成等差數(shù)列.（Ⅰ）求的坐標（可用、和表示）；（Ⅱ）若,,、兩點在拋物線的準線上的射影分別為、,求四邊形面積的取值范圍.2．【2016屆貴州省貴陽市六中高三元月月考】如圖,已知橢圓C的方程為,雙曲線的兩條漸近線為,過橢圓C的右焦點F作直線,使交于點P,設與橢圓C的兩個焦點由上至下依次為A,B．（1）若的夾角為60,且雙曲線的焦距為4,求橢圓C的方程；（2）若,求橢圓C的離心率．3．【2016屆云南師范大學附屬中學高三月考】如圖,過橢圓內(nèi)一點的動直線與橢圓相交于M,N兩點,當平行于x軸和垂直于x軸時,被橢圓所截得的線段長均為.（1）求橢圓的方程；（2）在平面直角坐標系中,是否存在與點A不同的定點B,使得對任意過點的動直線都滿足？若存在,求出定點B的坐標,若不存在,請說明理由.4．【2016屆安徽省六安一中高三上第五次月考】橢圓的左、右焦點分別是,過斜率為1的直線與橢圓C相交于A,B兩點,且．（1）求橢圓的離心率；（2）設點,,求橢圓C的方程．5．已知分別是橢圓的左、右焦點,其左準線與x軸相交于點N,并且滿足.設A、B是上半橢圓上滿足的兩點,其中.（1）求此橢圓的方程；（2）求直線AB的斜率的取值范圍.6．已知橢圓C：的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,直線與以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切．（1）求橢圓的方程．（2）設為橢圓上一點,若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點和,且滿足（O為坐標原點）,求實數(shù)的取值范圍7．已知點是橢圓的右焦點,點、分別是軸、軸上的動點,且滿足．若點滿足．（1）求點的軌跡的方程；（2）設過點任作一直線與點的軌跡交于、兩點,直線、與直線分別交于點、（為坐標原點）,試判斷是否為定值？若是,求出這個定值；若不是,請說明理由．8.已知A、B是橢圓上的兩點,且,其中F為橢圓的右焦點.（1）當時,求直線AB的方程;（2）設點,求證:當實數(shù)變化時,恒為定值.9.平面內(nèi)動點P(x,y)與兩定點A(-2,0),B(2,0)連線的斜率之積等于,若點P的軌跡為曲線E,過點直線交曲線E于M,N兩點．（Ⅰ）求曲線E的方程,并證明：MAN是一定值；（Ⅱ）若四邊形AMBN的面積為S,求S的最大值10.如圖,橢圓的離心率為,軸被曲線截得的線段長等于的短軸長.與軸的交點為,過坐標原點的直線與相交于點,直線分別與相交于點.（Ⅰ）求、的方程；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）記的面積分別為,若,求的取值范圍.11.已知橢圓的離心率為,過頂點的直線與橢圓相交于兩點.（1）求橢圓的方程；（2）若點在橢圓上且滿足,求直線的斜率的值.12.設分別是橢圓的左,右焦點.（1）若是橢圓在第一象限上一點,且,求點坐標；（2）設過定點的直線與橢圓交于不同兩點,且為銳角（其中為原點）,求直線的斜率的取值范圍.13．已知點A（－1,0）,B（1,－1）和拋物線.,O為坐標原點,過點A的動直線l交拋物線C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點Q,如圖.（1）證明:為定值;（2）若△POM的面積為,求向量與的夾角；(3)證明直線PQ恒過一個定點.問題四高考題中向量數(shù)量積的若干種求法平面向量的數(shù)量積是向量知識中的重要內(nèi)容,考題中往往會涉及到求值或者取值范圍的小題或大題,是高考題的熱點和重點,那么如何求平面向量數(shù)量積呢？本文從三個方面予以闡述,以期給同學們啟發(fā)．一、利用“定義”求平面向量數(shù)量積,根據(jù)幾何或代數(shù)關系求非零向量的模和夾角是前提.【例1】【2015四川綿陽市高三一診】如圖,正六邊形ABCDEF的邊長為1,則＝（）（A）（B）（C）3（D）－3AABCDEF【小試牛刀】【2015江西南昌】若等腰△ABC底邊BC上的中線長為1,底角B＞60o,則·的取值范圍是______．二、利用“坐標”求平面向量數(shù)量積設,,則,用此法求平面向量數(shù)量積時,必須先建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?把向量坐標化,特別注意,當遇到特殊三角形或四邊形時可以多考慮建系,以達到事半功倍的效果．【例2】【2015河南八?！吭凇鰽BC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,a=b=3,點P是邊AB上的一個三等分點,則=()A.0B.6C.9D.12【小試牛刀】【2016屆遼寧省大連市八中高三12月月考】已知是坐標原點,點,若點為平面區(qū)域上的一個動點,則的取值范圍是（）A．B．C．D．三、利用“分解轉(zhuǎn)化法”求平面向量數(shù)量積利用平面向量基本定理將所求向量用基底表示,在不含坐標系或者不宜建系的情況下,通過向量運算得到解題結(jié)果,這種方法應予以重視．【例3】【2016屆福建省上杭縣一中高三12月考】如圖,、是半徑為1的圓的兩條直徑,,則的值是（）A．B．C．D．【小試牛刀】【2015湖南婁底市】在邊長為1的正三角形ABC中,＝x,＝y(tǒng),x>0,y>0,且x＋y＝1,則·的最大值為（）A．－B．－C．－D．－【遷移運用】1.【2016屆廣西河池高中高三上第五次月考】在中,為中線上一個動點,若,則的最小值是（）A．2B．-1C．-2D．-42.在中,已知,,若點在斜邊上,,則的值為（）A．48B．24C．12D3．【2015四川成都】已知函數(shù)f（x）＝sin（2πx＋φ）的部分圖象如圖所示,點B,C是該圖象與x軸的交點,過點C的直線與該圖象交于D,E兩點,則（）?的值為（）A．B．C．1D．24．【2015山東膠州】在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝30°,BC＝1,D為斜邊AB的中點,則＝（）A．1B-1C．2D．-25．【2015山東膠州】△中,點在線段上,點在線段上,且滿足,若,則的值為（）A.1B.C.D.6.【2015吉林摸底】如圖,平行四邊形ABCD中,,點M在AB邊上,且,則等于（）A．B．C．D．17.【2015吉林摸底】中,,D是邊BC上的一點（包括端點）,則的取值范圍是（）A．[1,2]B．[0,1]C．[0,2]D．[-5,2]8．【2016屆吉林省吉林大學附中高三上第四次摸底】在中,,,若為外接圓的圓心（即滿足）,則的值為.9．【2016屆河南省信陽高中高三上第八次大考】如圖在平行四邊形中,已知,,則的值是．10．【2016屆黑龍江省哈爾濱師大附中高三12月考】在邊長為1的正三角形ABC中,設,則__________．11．【2016屆中國人大附中高三上期中檢測】在等腰梯形ABCD中,已知,,點E和點F分別在線段BC和CD上,且,,則的值為．12．【2015湖北省重點中學】已知在直角三角形中,,,點是斜邊上的一個三等分點,則．

第五章數(shù)列問題一：等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明問題翻看近幾年的高考題，有關證明、判斷數(shù)列是等差（等比）數(shù)列的題型比比皆是，主要證明方法有：利用等差、等比數(shù)列的定義、運用等差或等比中項性質(zhì)、反證法、利用通項公式與前項和公式，證明或判斷等差（等比）數(shù)列即數(shù)學歸納法.一：利用等差（等比）數(shù)列的定義用定義法判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列，常采用的兩個式子和有差別，前者必須加上“”，否則時無意義；在等比數(shù)列中一樣有：時，有（常數(shù)）；②時，有（常數(shù)）．【例1】【2016屆廣西河池高中高三上第五次月考】在數(shù)列中，．（Ⅰ）證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求的通項公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項和．【小試牛刀】【2016屆安徽省馬鞍山二中等高三第三次聯(lián)考】已知數(shù)列滿足．（1）求證：為等比數(shù)列，并求出的通項公式；（2）若，求的前n項和．二：運用等差或等比中項性質(zhì)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，這是證明數(shù)列為等差（等比）數(shù)列的另一種主要方法．【例2】正數(shù)數(shù)列和滿足：對任意自然數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列．證明：數(shù)列為等差數(shù)列．【小試牛刀】設數(shù)列的前項為，已知，且其中為常數(shù)．（Ⅰ）求與的值；（Ⅱ）證明數(shù)列為等差數(shù)列．三：反證法解決數(shù)學問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時會遇到從正面不易入手的情況，這時可從反面去考慮．如： 【例3】設是公比不相等的兩等比數(shù)列，．證明數(shù)列不是等比數(shù)列．【小試牛刀】設{an}是公比為q的等比數(shù)列．（Ⅰ）推導{an}的前n項和公式；（Ⅱ）設q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．四：利用通項公式與前項和公式，證明或判斷等差（等比）數(shù)列【例4】若是數(shù)列的前項和，,則是()A．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C．等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D.既非等數(shù)列又非等差數(shù)列利用常規(guī)結(jié)論，證明或判斷等差（等比）數(shù)列若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則（1）數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；（2）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（4）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（5）在數(shù)列中，每隔項取出一項，按原來順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為；（6），，等都是等比數(shù)列；（7）若成等差數(shù)列時，成等比數(shù)列；（8）均不為零時，則成等比數(shù)列；（9）若是一個等差數(shù)列，則正項數(shù)列是一個等比數(shù)列．若數(shù)列是公差為等差數(shù)列，則（1）成等差數(shù)列，公差為（其中是實常數(shù)）；（2），（為常數(shù)），仍成等差數(shù)列，其公差為；（3）若都是等差數(shù)列，公差分別為，則是等差數(shù)列，公差為；（4）當數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列時，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；（5）成等差數(shù)列時，成等差數(shù)列．【小試牛刀】已知正數(shù)數(shù)列{an}對任意p，q∈N＋，都有ap＋q＝ap＋aq，若a2＝4，則a9＝()A．6B．9C．18 D．20五：運用數(shù)學歸納法【例5】數(shù)列的前項和記為，已知，．證明：數(shù)列是等比數(shù)列．【小試牛刀】已知數(shù)列滿足.（Ⅰ）寫出，，，并推測的表達式；（Ⅱ）用數(shù)學歸納法證明推測的結(jié)論.【遷移運用】1.已知在正整數(shù)數(shù)列{an}中，前n項和Sn滿足：Sn＝eq\f(1,8)(an＋2)2，則{an}為（）數(shù)列．A.等差B.等比C.常數(shù)列D.可能是等差數(shù)列也可能是等比數(shù)列2.等差數(shù)列的前項和為30，前項和為100則它的前項和為（）A．130 B．170 C．210 D．2603.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n－2，n∈N*，則()A．{an}是遞增的等比數(shù)列B．{an}是遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列C．{an}是遞減的等比數(shù)列D．{an}不是等比數(shù)列，也不單調(diào)4.等差數(shù)列的公差，，前項和為，則對正整數(shù)，下列四個結(jié)論中：正確的是（）（1）成等差數(shù)列，也可能成等比數(shù)列；（2）成等差數(shù)列，但不可能成等比數(shù)列；（3）可能成等比數(shù)列，但不可能成等差數(shù)列；（4）不可能成等比數(shù)列，也不可能成等差數(shù)列；A.（1）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）D.（2）（4）5.已知數(shù)列的前項和為，，，，其中為常數(shù)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）當為何值時，數(shù)列為等差數(shù)列？并說明理由．6.設數(shù)列的前項和為，已知，，其中.（Ⅰ）求證:是等差數(shù)列；（Ⅱ）求證:；（Ⅲ）求證:.7．【2016屆吉林省吉林大學附中高三上第四次摸底】設數(shù)列滿足：.（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）若，且對任意的正整數(shù)，都有，求實數(shù)的取值范圍.8.【2016屆陜西省商洛市商南高中高三上第二次模擬】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=4an﹣p，其中p是不為零的常數(shù)．（1）證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）當p=3時，若數(shù)列{bn}滿足bn+1=bn+an（n∈N*），b1=2，求數(shù)列{bn}的通項公式．9.【2016屆山東省棗莊八中高三上12月月考】在數(shù)列{an}中，已知．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（3）設數(shù)列{cn}滿足cn=an+bn，求{cn}的前n項和Sn．10．【2016屆寧夏石嘴山三中高三補習班上第三次適應性考試】設數(shù)列{an}滿足當n＞1時，．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）試問a1a2是否是數(shù)列{an}中的項．如果是，是第幾項；如果不是，說明理由．11.【2016屆黑龍江省哈爾濱師大附中高三12月考】已知數(shù)列的前項和為,若（）,且．（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（Ⅱ）設,數(shù)列的前項和為,證明:（）．12．【2016屆山東省棗莊市三中高三12月月考】已知數(shù)列的各項均不為0，其前n項和為，且滿足，．（1）求的值；（2）求證是等差數(shù)列；（3）若，求數(shù)列的通項公式，并求問題二：數(shù)列中的最值問題數(shù)列中的最值常見題型有：求數(shù)列的最大項或最小項、與有關的最值、求滿足數(shù)列的特定條件的最值、求滿足條件的參數(shù)的最值、實際問題中的最值及新定義題型中的最值問題等.一：求數(shù)列的最大項【例1】已知數(shù)列的通項公式為=，求的最大項．【小試牛刀】【2015-2016學年湖南省常德石門一中高二上期中】已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為_____．二：的最值問題【例2】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值為8.（Ⅰ）確定常數(shù)k，并求an；(Ⅱ)求數(shù)列的前n項和Tn.【小試牛刀】【2016屆河北省衡水中學高三上學期四調(diào)】設向量，（），若，設數(shù)列的前項和為，則的最小值為．三：求滿足數(shù)列的特定條件的最值【例3】【2016屆云南師范大學附屬中學高三月考四】數(shù)列是等差數(shù)列，若，且它的前n項和有最大值，那么當取得最小正值時，n等于（）A．17B．16C．15D．14【小試牛刀】已知數(shù)列的前項和，數(shù)列{}滿足，且．（Ⅰ）求，；(Ⅱ)設為數(shù)列{}的前項和，求，并求滿足7時的最大值．四：求滿足條件的參數(shù)的最值【例4】己知各項均不相等的等差數(shù)列的前四項和，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)設為數(shù)列的前項和，若對恒成立，求實數(shù)的最小值．【小試牛刀】已知數(shù)列的通項公式為，前項和為，若對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，則常數(shù)所能取得的最大整數(shù)為.五：實際問題中的最值【例5】為了保障幼兒園兒童的人身安全，國家計劃在甲、乙兩省試行政府規(guī)范購置校車方案，計劃若干時間內(nèi)（以月為單位）在兩省共新購1000輛校車．其中甲省采取的新購方案是：本月新購校車10輛，以后每月的新購量比上一月增加50％；乙省采取的新購方案是：本月新購校車40輛，計劃以后每月比上一月多新購m輛．（Ⅰ）求經(jīng)過n個月，兩省新購校車的總數(shù)S(n)；（Ⅱ）若兩省計劃在3個月內(nèi)完成新購目標，求m的最小值．【小試牛刀】某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購進一臺新設備用于生產(chǎn).第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設備每年生產(chǎn)的收入均為萬元.設該設備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A.B.C.D.【遷移運用】1.設an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項的值是()．A.eq\f(16,3)B.eq\f(13,3)C．4 D．02.等差數(shù)列中，，是前n項和且，則當（）時，最大.A.12B.13C．12或13 D．13或143.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當Sn最大時，n的值是()A．5B．6C．7D．84.數(shù)列{an}滿足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n項和為Sn，則滿足Sn>1025的最小n值是()．A．9B．10C．11D．125.在數(shù)列{an}中，an＝eq\f(n－\r(2013),n－\r(2014))，則該數(shù)列前100項中的最大項與最小項分別是()A．a(chǎn)1，a50 B．a(chǎn)1，a44 C．a(chǎn)45，a44 D．a(chǎn)45，a506.【2016屆重慶市南開中學高三12月月考】已知函數(shù)，且，設等差數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為（）A．B．C．D．7.在正項等比數(shù)列{an}中，a5＝eq\f(1,2)，a6＋a7＝3.則滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________．8.【2016屆江蘇省鹽城市鹽阜中學高三上12月月】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為．9.【2016屆河北省正定中學高三上第五次月考】已知數(shù)列滿足，，則的最小值為．10.已知等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記為數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)n，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.11.已知首項為eq\f(3,2)的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列．(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；(Ⅱ)設Tn＝Sn－eq\f(1,Sn)(n∈N*)，求數(shù)列{Tn}的最大項的值與最小項的值．12.【2016屆上海市七校高三上12月聯(lián)考】公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1、a2、a5成等比數(shù)列，且該數(shù)列的前10項和為100．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn=an﹣10，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最小值．13.【2015北京理20】已知數(shù)列滿足：，，且，記集合.（1）若，寫出集合的所有元素；（2）若集合存在一個元素時3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（3）求集合的元素個數(shù)的最大值.14.【2015四川理16】設數(shù)列（）的前項和滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，求使得成立的的最小值.問題三：由復雜遞推關系求解數(shù)列的通項公式問題遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法，利用遞推關系式求數(shù)列的通項時，通常將所給遞推關系式進行適當?shù)淖冃握?如累加、累乘、待定系數(shù)等，構造或轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后求通項.一：用累加法求數(shù)列的通項【例1.】【2016屆福建省三明一中高三上第二次月考】在數(shù)列中，，，則該數(shù)列的通項公式=．【小試牛刀】在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，當n≥2時，有an＝an－1＋2n－1(n≥2)，求數(shù)列的通項公式；二：利用累乘法求數(shù)列的通項【例2】設是首項為1的正項數(shù)列，且，則.【小試牛刀】在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項公式為．三：用構造法求數(shù)列的通項【例3】【2016屆寧夏六盤山高中高三上學期第二次月考】已知數(shù)列滿足，且=2，則=__________．【小試牛刀】【2016屆云南師范大附中高考適應性月考】已知數(shù)列滿足，，，，則．四．利用與的關系求數(shù)列的通項【例4】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式．【小試牛刀】【2016屆貴州市興義市八中高三上第四次月考】已知數(shù)列的前項和滿足，則__________．五：遞推公式為（其中，均為常數(shù)）.【例5.】數(shù)列：，，求數(shù)列的通項公式.【解法一】（待定系數(shù)——迭加法）:【解法二】（特征根法）：【小試牛刀】已知數(shù)列滿足（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列\(zhòng)【遷移運用】1.已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式是()A．2n－1B.C．n2D．n2.【2016屆河北省邯鄲市一中高三一輪收官考試】數(shù)列中，，，（，），則．3.數(shù)列{an}的首項為3，{bn}為等差數(shù)列且bn＝an＋1－an(n∈N＋)．若b3＝－2，b10＝12，則a8＝()A．0B．3C．8 D．114.正項數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2,2aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)(n∈N*，n≥2)，則a7＝________.5.在數(shù)列{an}中，a1＝1，eq\f(1,12)an＝eq\f(1,4)an－1＋eq\f(1,3)(n≥2)，則{an}的通項公式為．6.已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝eq\f(an,2an＋1)，則其通項公式為________．7．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，(n－1)an＝n×2nan－1(n∈N，n≥2)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．8.在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項通項．9．【2016屆重慶市第一中學高三12月月考】已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求出數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，若對于任意正整數(shù)n都成立，求實數(shù)t的取值范圍．10．【2016屆江蘇省鹽城市鹽阜中學高三上12月月測】已知{an}的前n項和Sn，an＞0且an2+2an=4Sn+3（1）求{an}的通項公式；（2）若bn=，求{bn}的前n項和Tn．11．【2016屆河南省信陽高中高三上第八次月考】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=．（1）求{an}的通項公式；（2）設bn=n（2﹣Sn），n∈N*，若bn≤λ，n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．（3）設Cn=，Tn是數(shù)列{Cn}的前n項和，證明≤Tn＜1．12．【2016屆重慶市巴蜀中學高三上學期一診模擬】已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和．13.【2015湖南文19】設數(shù)列的前項和為，已知，，且.（1）證明：；（2）求.14.【2015浙江文17】已知數(shù)列和滿足，.(1)求與;(2)記數(shù)列的前項和為，求.問題四：如何順暢求解復雜數(shù)列的求和問題數(shù)列求和數(shù)歷年高考命題的熱點，數(shù)列求和的方法取決于其通項公式的形式，基本思路是將其轉(zhuǎn)化為等成數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題進行求解.一、公式法公式法是數(shù)列求和的最基本的方法．也是數(shù)列求和的基礎．其他一些數(shù)列的求和可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和.利用等比數(shù)列求和公式,當公比是用字母表示時，應對其是否為1進行討論．【例1】設為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項和，已知，，為數(shù)列的前n項和，求．【小試牛刀】【2016屆河北省衡水二中高三上學期期中】的值為（）A．B．C．D．二、分組法將數(shù)列的每一項拆成多項，然后重新分組，將一般的數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列求和問題.運用這種方法的關鍵是將通項變形.“合項”法是利用加法的交換律和結(jié)合律將“不規(guī)則和”轉(zhuǎn)化為“規(guī)則和”，化繁為簡.【例2】【2016屆河北省衡水中學高三二調(diào)】已知數(shù)列中，，且，則數(shù)列的前項和為（）A．B．C．D．【小試牛刀】已知數(shù)列的通項公式為，數(shù)列是以函數(shù)的最小正周期為首項，以為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.三、裂項相消法此類變形的特點是將原數(shù)列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了．只剩下有限的幾項．注意：eq\o\ac(○,1)余下的項前后的位置前后是對稱的．eq\o\ac(○,2)余下的項前后的正負性是相反的．常用的裂項公式：【例3】已知數(shù)列前項和為，首項為，且，，成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）數(shù)列滿足，求證：．【小試牛刀】【2016屆湖南省長沙明德中學高三上第三次月考】數(shù)列1，，，…，的前項和（）A．B．C．D．四、錯位相減法若數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，由這兩個數(shù)列的對應項的乘積組成的新數(shù)列，當求數(shù)列的前項和時，常常采用將各項乘以的公比，并向后錯一項與原的同次項對應相減的方法.錯位相減法實際上是把一個數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題.注意：eq\o\ac(○,1)要考慮當公比為1時為特殊情況，eq\o\ac(○,2)錯位相減時要注意末項.【例4】已知數(shù)列，滿足，,，.（Ⅰ）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令求數(shù)列的前項和.【小試牛刀】【2016屆重慶市巴蜀中學高三上學期一診模擬】已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和．五.數(shù)列{|an|}的前n項和問題【例5】在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列．(Ⅰ)求d，an；（Ⅱ）若d<0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.【牛刀小試】【2016屆浙江寧波效實中學高三上期中考試】數(shù)列的前項和為，則；數(shù)列的前10項和．【遷移運用】1.【2016屆浙江省余姚中學高三上學期期中】已知數(shù)列滿足：，且，則的值為（）A．B．C．D．2.【2014年杭州模擬】已知函數(shù)f(x)＝x2＋2bx過(1,2)點，若數(shù)列的前n項和為Sn，則S2014的值為()A.eq\f(2012,2011)B.eq\f(2010,2011)C.eq\f(2014,2013) D.eq\f(2014,2015)3.已知函數(shù)f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2當n為奇數(shù)時，,－n2當n為偶數(shù)時，))且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于（）A．0 B．100 C．－100 D．102004.【2016屆學年江西省新余一中等校高三聯(lián)考模擬】已知數(shù)列的前n項和為，令，記數(shù)列的前n項為，則）A．B．C．D．5.【2016屆學年江西省新余一中等校高三聯(lián)考模擬】數(shù)列的通項公式是，則該數(shù)列的前100項之和為A．B．C．200D．1006.設f(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，若S＝f(eq\f(1,2015))＋f(eq\f(2,2015))＋…＋f(eq\f(2014,2015))，則S＝________.7.【2016屆甘肅省蘭州一中高三12月月考】數(shù)列的通項為，前項和為，則=．8.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則S2012。9.【2016屆云南省玉溪市一中高三上學期期中】數(shù)列的通項，其前項和為，則為．10.數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項和為________．11．設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝(－1)nan－eq\f(1,2n)，n∈N＋，則：(Ⅰ)a3＝________；（Ⅱ）S1＋S2＋…＋S100＝________.12.【2016屆福建省上杭縣一中高三12月考】已知等差數(shù)列的公差，其前項和為，若，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，且數(shù)列的前項和為，證明：．13.直線ln：y＝x－eq\r(2n)與圓Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的兩點An，Bn，n∈N＋.數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝eq\f(1,4)|AnBn|2.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n－1n為奇數(shù)，,ann為偶數(shù)，))求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.14.(山東省青島市高三3月統(tǒng)一質(zhì)量檢測考試2)在數(shù)列中，其前項和為，滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式;（Ⅱ）設（為正整數(shù)）,求數(shù)列的前項和.15.在等比數(shù)列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，又4是a4與a6的等比中項．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn＝log2an，求數(shù)列{|bn|}的前n項和Sn.問題五數(shù)列與不等式的相結(jié)合問題數(shù)列與不等式的交匯題，是高考數(shù)學的常見題型.對數(shù)列不等式綜合題的解答，往往要求能夠熟練應用相關的基礎知識和基本技能，同時還應具備比較嫻熟的代數(shù)變換技能和技巧.近年數(shù)列與不等式交匯題考查點：1．以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡單交匯.2．以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學思想，試題新穎別致，難度相對較大.3．將數(shù)列與不等式的交匯滲透于遞推數(shù)列及抽象數(shù)列中進行考查，主要考查轉(zhuǎn)化及方程的思想.一：最值問題求解數(shù)列中的某些最值問題，有時須結(jié)合不等式來解決，其具體解法有：（1）建立目標函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進而求得最值；（2）首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；（3）利用條件中的不等式關系確定最值.【例1】設等差數(shù)列的前項和為，若，，則的最大值為______.【小試牛刀】【2016屆浙江省嘉興一中等高三第一次五校聯(lián)】已知等差數(shù)列的等差，且，，成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項和，則的最小值為（）A．4B．3C．D．二:恒成立問題求解數(shù)列與不等式結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：（1）若函數(shù)在定義域為，則當時，有恒成立；恒成立；（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識化簡不等式，再通過解不等式解得.【例2】已知正項數(shù)列的首項，前項和滿足．（Ⅰ）求證：為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記數(shù)列的前項和為，若對任意的，不等式4恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【小試牛刀】【2016屆湖北武漢華中師大第一附中高三上期中】設等差數(shù)列的前項和為，且滿足，對任意正整數(shù)，都有，則的值為()A.1006B.1007C.1008D.1009三：證明問題【例3】設數(shù)列滿足，，其中為實數(shù).（Ⅰ）證明：對任意成立的充分必要條件是；(Ⅱ)設，證明：；（Ⅲ）設，證明：.【小試牛刀】【2015屆江蘇省鹽城中學高三上學期12月月考】已知等差數(shù)列的公差，其前項和為，若，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，且數(shù)列的前項和為，證明：．四：探索性問題數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設所探求對象存在或結(jié)論成立，以此假設為前提條件進行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.【例4】已知等差數(shù)列滿足：，且、、成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式.（Ⅱ）記為數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.【小試牛刀】是否存在一個等比數(shù)列同時滿足下列三個條件：①且；②；③至少存在一個，使得，，依次構成等差數(shù)列？若存在，求出通項公式；若不存在，說明理由.五:新定義題型【例5】【2016屆北京市海淀區(qū)高三上學期期中考試】對于數(shù)列，都有為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）若數(shù)列的通項公式為，且具有性質(zhì)，則t的最大值為；（2）若數(shù)列的通項公式為，且具有性質(zhì)，則實數(shù)a的取值范圍是．【小試牛刀】若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足，即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”.（Ⅰ）已知數(shù)列是項數(shù)為7的對稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，，試寫出的每一項.（Ⅱ）已知是項數(shù)為的對稱數(shù)列，且構成首項為50，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當為何值時，取到最大值？最大值為多少？（Ⅲ）對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)不超過的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當時，試求其中一個數(shù)列的前2008項和.【遷移運用】1.【2015浙江理3】已知是等差數(shù)列，公差不為零，前項和是，若成等比數(shù)列，則（）．A.B.C.D.2.【2015北京理6】設是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）.A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則3.設數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是數(shù)列是遞增數(shù)列的（）A.充分不