初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系4解直角三角形

北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第一章第四節(jié)解直角三角形課時(shí)練習(xí)一、單選題（共15題）1．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，則BC邊長(zhǎng)為（）A．7B．8C．8或17D．7或17答案：D解析：解答：∵cos∠B=，∴∠B=45°，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖1，∵AB=12，∠B=45°，∴AD=BD=12，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD-CD=12-5=7；當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖2，BC=BD+CD=12=5=17，故選D．分析:首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得∠B的度數(shù)，然后分銳角三角形和鈍角三角形分別求得BD和CD的長(zhǎng)后即可求得線段BC的長(zhǎng)2.如圖，在直角△BAD中，延長(zhǎng)斜邊BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC，若tanB=，則tan∠CAD的值（）A．B．C．D．答案：D解析：解答:如圖，延長(zhǎng)AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，∵tanB=，即，∴設(shè)AD=5x，則AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=x，DE=x，∴AE=x，∴tan∠CAD=故選D．分析:本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握，解題的關(guān)鍵是：正確添加輔助線，將∠CAD放在直角三角形中3.等腰三角形底邊與底邊上的高的比是2：，則頂角為（）A．60°B．90°C．120°D．150°答案：A解析：解答:如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥CB于D，依題意得CD：AD=1：=:3而tan∠DAC=CD：AD，∴tan∠DAC=:3∴∠DAC=30°，∴頂角∠BAC=60°．故選A．分析:本題利用了等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的概念解決問題4.△ABC中，∠B=90°，AC=，tan∠C=，則BC邊的長(zhǎng)為（）A．2B．2C．D．4答案:B解析：解答:∵∠B=90°，∴tan∠C==，設(shè)AB=x，則BC=2x，∴AC==x，∴x=，解得x=1，∴BC=2x=2．故選B．分析:本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形5.在△ABC中，AB=5，BC=6，∠B為銳角且sinB=，則∠C的正弦值等于（）A．B．C．D．答案:C解析：解答:過點(diǎn)A作AD⊥BC∵sinB=，∴=，∵AB=5，∴AD=3，∴BD==4，∵BC=6，∴CD=2，∴AC==∴sinC=故選C．分析:過點(diǎn)A作AD⊥BC，根據(jù)三角函數(shù)的定義得出AD的長(zhǎng)，再求得BD、CD，根據(jù)勾股定理得出AC，再由三角函數(shù)的定義得出答案即可6.在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，若BC：AC=3：4，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，則tan∠DBC的值為（）A．B．C．D．答案:B解析：解答:作DE⊥AB于E，在Rt△ABC中，設(shè)BC為3x，則AC為4x，根據(jù)勾股定理，AB=5x，設(shè)CD為a，BD平分∠ABC，則DE=CD=a，AD=4x-a，AE=5x-3x=2x，在Rt△ADE中，AD2=DE2+AE2，即（4x-a）2=a2+（2x）2，解得，a=x，tan∠DBC=故選：B．分析:解直角三角形中的勾股定理等知識(shí)解答．7.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AB=c，∠A=α，則CD長(zhǎng)為（）A．c?sin2αB．c?cos2αC．c?sinα?tanαD．c?sinα?cosα答案:D解析：解答：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，∠A=a根據(jù)已知條件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根據(jù)余弦求出CD的長(zhǎng)，得到答案，sinα=，BC=c?sinα，∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，∴∠DCB=∠A=α在Rt△DCB中，∠CDB=90°，cos∠DCB=，CD=BC?cosα=c?sinα?cosα，故選：D．分析:根據(jù)已知條件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根據(jù)余弦求出CD的長(zhǎng)，得到答案8.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinB=，則AC等于（）A．3B．9C．4D．12答案:B解析：解答:∵sinB=∴AC=×15=9．故選B．分析:直接根據(jù)正弦的定義求解9.在銳角△ABC中，cosA=，cosB=，BC=13，則△ABC的面積為（）A．B．30C．78D．答案:D解析：解答:∵cosA=，cosB=，∴sinA=，sinB=∴sinC=sin（A+B）=sinA?cosB+sinB?cosA=，∵∴，c=，∴△ABC的面積為acsinB=×13××=故選：D．分析:此題考查了解直角三角形，用到的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形、正弦定理、同角三角函數(shù)的關(guān)系、三角形的面積公式，熟練掌握公式是關(guān)鍵．10.在△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且sinA=，cosB=AC=40，則△ABC的面積是（）A．800B．800C．400D．400答案:D解析：解答:如圖所示，過C作CD⊥AB，∵在△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且sinA=，cosB=，∴∠A=∠B=30°，∴BC=AC，∴D為AB中點(diǎn)，在Rt△ACD中，AC=40，∴CD=AC=20，根據(jù)勾股定理得：AD==20，∴AB=2AD=40則△ABC的面積是AB?CD=400故選D分析:如圖所示，過C作CD⊥AB，根據(jù)題意，利用銳角三角函數(shù)定義求出∠A與∠B的度數(shù)，利用等角對(duì)等邊得到AC=BC，利用三線合一得到D為AB中點(diǎn)，在直角三角形ACD中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出CD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，確定出AB的長(zhǎng)，求出三角形ABC面積即可11.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和△DEF，尺寸如圖．如果兩個(gè)三角形的面積分別記作S△ABC、S△DEF，那么它們的大小關(guān)系是（）△ABC＞S△DEFB．S△ABC＜S△DEFC．S△ABC=S△DEFD．不能確定答案:C解析：解答:如圖，過點(diǎn)A、D分別作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分別為G、H，在Rt△ABG中，AG=ABsinB=5×sin50°=5sin50°，在Rt△DHE中，∠DEH=180°-130°=50°，DH=DEsin∠DEH=5sin50°，∴AG=DH．∵BC=4，EF=4，∴S△ABC=S△DEF．故選C．分析:在兩個(gè)圖形中分別作BC、EF邊上的高，欲比較面積，由于底邊相等，所以只需比較兩條高即可12.如果三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，那么我們稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”．下列各組數(shù)據(jù)中，能作為一個(gè)智慧三角形三邊長(zhǎng)的一組是（）A．1，2，3B．1，1，C．1，1，D．1，2，答案:D解析：解答:A.∵1+2=3，不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.底邊上的高是，可知是頂角120°，底角30°的等腰三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定義，故選項(xiàng)正確．故選：D．分析:考查了解直角三角形，涉及三角形三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念13.在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，則AC=（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°答案:D解析：解答：∠B=90°-∠A=90°-40°=50°，又∵tanB=，∴AC=BC?tanB=3tan50°．故選：D．分析:利用直角三角形兩銳角互余求得∠B的度數(shù)，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解14.等腰三角形的底邊長(zhǎng)10m，周長(zhǎng)為36cm，則底角的正弦值為（）A．B．C．D．答案:D解析：解答：AB=AC，BC=10cm，AB+BC+AC=36cm，則AB=AC=13cm，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD=BC=5，在Rt△ABD中，∵AB=13，BD=5，∴AD==12，∴tanB==故選D．分析:本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性質(zhì)15.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一點(diǎn)，若tan∠DBC=，則AD的長(zhǎng)為（）A．2B．4C．D．答案:A解析：解答：在等腰Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，∴BC=AC=6．在Rt△DBC中，∵∠C=90°，∴tan∠DBC=∴DC=BC=4，∴AD=AC-DC=6-4=2．故選A．分析:先由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC=AC=6，再解Rt△DBC，求出DC的長(zhǎng)，然后根據(jù)AD=AC-DC即可求解．二、填空題（共5題）16.已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在原△ABC的點(diǎn)C處，此時(shí)點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，延長(zhǎng)線段AD，交原△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，那么線段DE的長(zhǎng)等于____________答案:解析：解答:作CH⊥AE于H，∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=（180°-30°）=75°，∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在原△ABC的點(diǎn)C處，此時(shí)點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，∵∠ACB=∠CAD+∠E，∴∠E=75°-30°=45°，在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，∴CH=AC=4，AH=，∴DH=AD-AH=8-4在Rt△CEH中，∵∠E=45°，∴EH=CH=4，∴DE=EH-DH=4-（8-4）=4-4．故答案為分析:本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)17.如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E為垂足，若cosB=，EC=2，P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段PE的長(zhǎng)度的最小值是________答案:解析：解答:設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x-2，因?yàn)锳E⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=于是＝，解得x=10，即AB=10．所以易求BE=8，AE=6，當(dāng)EP⊥AB時(shí)，PE取得最小值．故由三角形面積公式有：AB?PE=BE?AE，求得PE的最小值為．故答案為．分析：本題考查了余弦函數(shù)在直角三角形中的運(yùn)用、三角形面積的計(jì)算和最小值的求值問題，求PE的值是解題的關(guān)鍵18.如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sinA=，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是___________答案:40解析：解答:已知如圖DE⊥AB，垂足是E，所以△AED為直角三角形，則得：sinA=，即：=∴AD=10，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為：10×4=40．故答案為：40．分析:此題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形和菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出菱形ABCD的邊長(zhǎng)AD19.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一點(diǎn)，若tan∠DBA=，則AD的長(zhǎng)為________答案：2解析：解答：作DE⊥AB于E，如圖，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB為等腰直角三角形，AB=AC=6∴∠A=45°，在Rt△ADE中，設(shè)AE=x，則DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=∴AD=×=2．故答案為2．分析:本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)20.如圖，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，且它們的交角為α，則它們重疊部分（圖中陰影部分）的面積為________答案：解析：解答：∵AC=∴它們重疊部分（圖中陰影部分）的面積為×1=故答案為：分析:重疊部分為菱形，運(yùn)用三角函數(shù)定義先求邊長(zhǎng)AB，再求出面積三、解答題（共5題）21.若等腰三角形兩邊為4，10，求底角的正弦值答案：解析：解答:∵4+4=8＜10，∴AB=AC=10，BC=4．過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=BC=2．∵AB=AC=10，∴AD=∴sin∠ABD=故答案為分析:根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理確定腰和底邊的長(zhǎng)．作底邊上的高，利用三角函數(shù)的定義求解22.如圖，在△ABC中，AC=2，∠A=45°，tanB=，求BC的長(zhǎng)答案:解析：解答：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∵AC=2，∠A=45°，∴CD=AC?sin∠A=2?sin45°=2×=∵tanB=，∴BD=CDtanB=∴BC=故答案為分析：過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，利用∠A的正弦值求出CD，再根據(jù)∠B的正切值求出BD，利用勾股定理列式求出BC的長(zhǎng)23.在△ABC中，若AB=AC=