概率統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程53隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)方差課件

1第五章隨機(jī)變量的數(shù)字特征2定義若E((X-E(X))2)存在，則稱其為隨機(jī)變量X的方差,

記為D(X)

D(X)=E((X-E(X))2)稱為X的均方差.

方差的概念(X-E(X))2——隨機(jī)變量X的取值偏離平均值的情況,是X的函數(shù),也是隨機(jī)變量

E(X-E(X))2——隨機(jī)變量X的取值偏離平均值的平均偏離程度——數(shù)

3若

X為離散型變量.，概率分布為若

X為連續(xù)型，概率密度為f(x)常用的計(jì)算方差的公式：5若相互獨(dú)立，為常數(shù)則若X,Y相互獨(dú)立

對(duì)任意常數(shù)C,D(X)

E(X–C)2,

當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X)時(shí)等號(hào)成立D(X)=0P(X=E(X))=1稱為X依概率1等于常數(shù)E(X)

6例8

將編號(hào)分別為1~n的n

個(gè)球隨機(jī)地放入編號(hào)分別為1~n的n

只盒子中，每盒一球.

若球的號(hào)碼與盒子的號(hào)碼一致，則稱為一個(gè)配對(duì).

求配對(duì)個(gè)數(shù)X的期望與方差.解則不相互獨(dú)立，但7P10910僅知隨機(jī)變量的期望與方差并不能確定其分布,例如：P-1010.10.80.1P-2020.0250.950.025與它們有相同的期望、方差但是分布卻不同11但若已知分布的類型，及期望和方差，常能確定分布.例9

已知

X服從正態(tài)分布,E(X)=1.7,D(X)=3,

Y=1–2X,求

Y

的密度函數(shù).解

13§5.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布

這說明對(duì)于二維隨機(jī)變量，除了每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性以外，相互之間可能還有某種聯(lián)系.問題是用一個(gè)什么樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系.

數(shù)反映了隨機(jī)變量X,Y之間的某種關(guān)系14定義稱為X,Y的協(xié)方差.記為稱為（X,Y）的協(xié)方差矩陣可以證明協(xié)方差矩陣為半正定矩陣協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義15若D(X)>0,D(Y)>0,稱為X,Y的相關(guān)系數(shù)，記為事實(shí)上，若稱X,Y不相關(guān).17求cov(X,Y),XY10pqXP10pqYP例1

已知

X,Y的聯(lián)合分布為XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解10pqXYP1819例2

設(shè)(X,Y)~N(1,12,2,22,),求XY解:21例3

設(shè)~(0,2),X=cos,Y=cos(+),是給定的常數(shù)，求XY解2223若若有線性關(guān)系但若不相關(guān)，不獨(dú)立，沒有線性關(guān)系，但此時(shí)，有函數(shù)關(guān)系由X，Y表達(dá)式：由X，Y表達(dá)式：25而故繼續(xù)討論：a,b取何值時(shí)，

U,V不相關(guān)？此時(shí)，U,V是否獨(dú)立？若a=b，UV=0,則U,V不相關(guān).

此時(shí)，U，V也是獨(dú)立的。協(xié)方差的性質(zhì)

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)當(dāng)D(X)>0,D(Y)>0時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)29即即Y與X有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為30完全類似地可以證明當(dāng)E(X2)>0,E(Y

2

)>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立.31相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

Cauchy-Schwarz不等式的等號(hào)成立即Y與X有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為323