2022-2023學(xué)年江蘇省常州市高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省常州市第三中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則求導(dǎo)函數(shù)即可.【詳解】.故選：B.2．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用雙曲線的方程即可求出雙曲線漸近線.【詳解】由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，即，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B3．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此為等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單位），這個問題中戊所得為（

）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢【答案】D【分析】根據(jù)題意將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題即可解決．【詳解】解：由題意，可設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為，，，，．則，，，，成等差數(shù)列，設(shè)公差為．，．整理上面兩個算式，得：，解得，．故選：．4．已知點(diǎn).若直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出直線恒過定點(diǎn)，然后畫圖觀察直線的變化時(shí)斜率的變化，再求的斜率，所以得答案.【詳解】即，又因?yàn)?，所以直線恒過定點(diǎn)，畫圖得直線要想與線段有交點(diǎn)，就需要繞著點(diǎn)，從直線開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線，則，所以直線斜率故選：A5．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本量法，將所給條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比的關(guān)系式，再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可【詳解】解：設(shè)的公比為．成等差數(shù)列，．即，化簡得，解得或．由已知，，．故選：B．6．若函數(shù)的圖象上存在與直線垂直的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】函數(shù)的圖象上存在與直線垂直的切線,即有解，轉(zhuǎn)化為有解即可求出.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象上存在與直線垂直的切線，所以函數(shù)的圖象上存在斜率為2的切線，故有解，所以有解，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)樗?【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，方程有根的問題，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.7．已知，是橢圓C：的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義分別求出，在中，利用余弦定理求得的關(guān)系，從而可得出答案.【詳解】解：在橢圓C：中，由橢圓的定義可得，因?yàn)椋?，在中，，由余弦定理得，即，所以，所以C的離心率.故選：A.8．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且通項(xiàng)公式為，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，結(jié)合裂項(xiàng)法求得數(shù)列的前和，得出不等式，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，由“均值數(shù)列”的定義可得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以，所以，所以，又對一切恒成立，所以，整理得，解得或.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題的求解策略：1、已知數(shù)列的條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一把要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，求和方法等對于式子化簡變形，注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊性；2、解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等，若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決.二、多選題9．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的部分圖象如圖所示，則（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極小值 D．函數(shù)在處取得極大值【答案】AB【分析】由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)性，再逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】有的圖象可得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；函數(shù)在處無極值，故C錯誤；函數(shù)在處取得極小值，故D錯誤.故選：AB.10．點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．過點(diǎn)可以作出圓的兩條切線B．點(diǎn)到直線距離的最大值為C．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為D．當(dāng)最大時(shí)，【答案】ABD【分析】對于A，判斷得點(diǎn)在圓外即可；對于B，利用圓上動點(diǎn)到直線的最大距離為即可判斷；對于C，求得圓心關(guān)于直線對稱的點(diǎn)即可得解；對于D，判斷得最大時(shí)直線與圓相切，再利用兩點(diǎn)距離公式與勾股定理即可得解.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，則過點(diǎn)可以作出圓的兩條切線，故A正確；對于B，由題意可得，直線的方程為，即，因?yàn)閳A，所以，半徑為，所以圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為，故B正確；對于C，設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則，解得，所以圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為，故C錯誤；對于D，當(dāng)最大時(shí)，易得直線與圓相切，如圖，在中，，，所以，故D正確.故選：ABD.11．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（

）A．已知，則使得成等比數(shù)列的充要條件為B．若為等差數(shù)列，且，則當(dāng)時(shí)，的最大值為2022C．若，則數(shù)列前5項(xiàng)的和最大D．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則【答案】CD【分析】對于A：利用等比中項(xiàng)求出，即可判斷；對于B：由等差數(shù)列的性質(zhì)求出即可判斷；對于C：先判斷出為等差數(shù)列，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出時(shí)，取得最大值；對于D：利用等差數(shù)列的分段和性質(zhì)直接求解.【詳解】對于A：因?yàn)?，所以使得成等比?shù)列等價(jià)于，即，解得：.故A錯誤；對于B：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，所以.故B錯誤；對于C：因?yàn)?，所以，，所以為等差?shù)列.所以的前項(xiàng)和為.由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，取得最大值.故C正確；對于D：在等差數(shù)列中，設(shè).因?yàn)?，所以，?由等差數(shù)列的分段和性質(zhì)可知：也構(gòu)成等差數(shù)列，所以，解得：，所以.故D正確.故選：CD12．法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過上的動點(diǎn)作的兩條切線，分別與交于，兩點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，則（

）A．橢圓的離心率為B．面積的最大值為C．到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為D．若動點(diǎn)在上，將直線，的斜率分別記為，，則【答案】ABD【分析】由條件可得，由此可求橢圓的離心率，由此判斷A，由條件可得為圓的直徑，確定面積的表達(dá)式求其最值，由此判斷B，由條件確定的表達(dá)式求其范圍，由此判斷C，結(jié)合點(diǎn)差法判斷D.【詳解】依題意，過橢圓的上頂點(diǎn)作軸的垂線，過橢圓的右頂點(diǎn)作軸的垂線，則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；因?yàn)辄c(diǎn)，，都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以，所以面積的最大值為，故B正確；設(shè)，的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，又，所以，則到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為，故C不正確；由直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，，則，，，又，所以，所以，所以，故D正確故選：ABD．【點(diǎn)睛】橢圓的蒙日圓及其幾何性質(zhì)過橢圓上任意不同兩點(diǎn)，作橢圓的切線，若兩切線垂直且相交于，則動點(diǎn)的軌跡為圓，此圓即橢圓的蒙日圓．橢圓的蒙日圓有如下性質(zhì)：性質(zhì)1：．性質(zhì)2：平分切點(diǎn)弦．性質(zhì)3：的最大值為，的最小值為．三、填空題13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，則___________.【答案】【分析】先求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，所以，解得：.所以焦點(diǎn).所以.故答案為：14．點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最短距離為_________.【答案】【解析】當(dāng)P為與直線平行且與曲線相切的切線的切點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最短，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得點(diǎn)P坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得結(jié)果.【詳解】設(shè)與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)P（x0，y0）.所以，，解得，∴點(diǎn)到直線的距離為最小距離，故答案為：.15．設(shè)等比數(shù)列滿足，記為中在區(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，則數(shù)列的前50項(xiàng)和___________.【答案】114【分析】由題意求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此確定數(shù)列中的項(xiàng)的取值，進(jìn)而求得的前50項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，解得，故，因?yàn)闉橹性趨^(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故,故答案為：114.16．若函數(shù)在上有且僅有一個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________【答案】.【分析】先求導(dǎo)得，要使在上僅有一個極值點(diǎn)，只需在上有且僅有一根，且在根的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號，然后利用二次方程根的分布求解.【詳解】函數(shù)則，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有一個極值點(diǎn)，即在上有且僅有一根，且在根的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號，又因?yàn)樵谏线f增，所以，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知滿足即可，則，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍問題，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，難度一般.四、解答題17．已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的動直線與圓相交于兩點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)當(dāng)時(shí)，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用圓心到直線的距離公式求圓的半徑，又知圓心坐標(biāo)為，從而求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先討論斜率不存在的直線是否合題意，斜率存在時(shí)，根據(jù)點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，求出圓心到直線的距離，設(shè)出直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及勾股定理求直線斜率，進(jìn)而確定直線方程.【詳解】（1）設(shè)圓的半徑為，∵圓與直線相切，∴，∴圓的方程為.（2）設(shè)的中點(diǎn)為，則，∴，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知直線的方程為，此時(shí)，符合題意；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，又，，∴，又，∴，則，則直線的方程為：，即，綜上可知直線的方程為：或.18．已知函數(shù)的圖像在處的切線斜率為，且時(shí)，有極值.(1)求的解析式；(2)求在上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2)最大值為，最小值為.【分析】（1）由題得①，②，解方程組即得解；（2）令解得或，再列表得解.【詳解】（1）解：求導(dǎo)得，因?yàn)樵诔龅那芯€斜率為，則，即①因?yàn)闀r(shí)，有極值，則.即②由①②聯(lián)立得，所以.（2）解：由（1），令解得或，列表如下：極大值極小值所以，在［－3，2］上的最大值為，最小值為.19．設(shè)是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為；是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知，，，.（1）求和；（2）若，求正整數(shù)的值.【答案】（1），；（2）4.【分析】（1）由題設(shè)條件先求出公比，進(jìn)而求出和，再由與的關(guān)系求出；（2）由（1）代換得，再化簡解方程即可【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，可得，∴，∴.∴.又設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得；由，可得，∴，∴.（2），由有，∴，解得或(舍)，故的值為4.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的求解，前項(xiàng)和公式的求解，屬于中檔題20．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足.設(shè)在數(shù)列且不在數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)5651【分析】（1）利用數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系即可求得的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和【詳解】（1）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且①則②②①得，整理得又，則，即又由，可得或（舍）則數(shù)列是首項(xiàng)為2公差為1的等差數(shù)列，則（2）由（1）可知，則由，可得.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為則由在數(shù)列且不在數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列的前項(xiàng)和21．橢圓為橢圓的一個焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).（i）若直線的斜率成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）若以為直徑的圓過橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，求證：直線過異于點(diǎn)的一個定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)（i）；（ii）答案見解析.【分析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；（2）用“設(shè)而不求法”表示出.（i）把直線的斜率成等比數(shù)列表示出來，解得，代入判斷式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）用向量法表示出以為直徑的圓過點(diǎn)，解得：或，即可證明.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，所以橢圓的方程為：.（2）設(shè).聯(lián)立，得：，所以，即①.且.（i）依題意，，即，所以，所以，所以，所以，即.因?yàn)椋?，解得?將代入①，整理得：，解得：且所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（ii）橢圓：與軸正半軸的交點(diǎn)為.因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)，所以，即.于是，所以，所以，化簡，得：，解得：或，均滿足.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過定點(diǎn)，舍去.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過定點(diǎn)，符合題意.所以，直線定點(diǎn).22．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若有不相等的兩個正實(shí)數(shù)滿足，求證：.【答案】(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，對分類討論：①和②，分別討論單調(diào)性；（2）利用分離常數(shù)法得到對恒成立.令，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）極值點(diǎn)偏移問題，利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，令，即，解得：.令，解得：；令，解得：；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，都有，即，亦即對恒成立.令，只需..令，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單增，所以，所以當(dāng)時(shí)，.所以，所以在上單減，所以.所以.綜上所述：實(shí)數(shù)的