2023年北師大版七下相交線垂線三線八角知識點加練習

相交線、垂線、三線八角(一）概念知識點:一、鄰補角與對頂角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角112∠1與∠2有公共頂點∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即∠１=∠2鄰補角443∠3與∠4有公共頂點∠３與∠4有一條邊公共,另一邊互為反向延長線。∠３＋∠4=180°注意點:⑴對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角；⑵假如∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β;反之假如∠α＝∠β,那么∠α與∠β不一定是對頂角⑶假如∠α與∠β互為鄰補角,則一定有∠α＋∠β=１80°；反之假如∠α+∠β=1８0°,則∠α與∠β不一定是鄰補角。⑶兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個。二、垂線ABCABCDO符號語言記作:如圖所示：AＢ⊥CＤ，垂足為O⑵垂線性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。⑶垂線性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡稱:垂線段最短。三、垂線的畫法:⑴過直線上一點畫已知直線的垂線；⑵過直線外一點畫已知直線的垂線。注意：①畫一條線段或射線的垂線,就是畫它們所在直線的垂線；②過一點作線段的垂線，垂足可在線段上,也可以在線段的延長線上。四、點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離。PPABO如圖，PO⊥AB,同Ｐ到直線AB的距離是PO的長。PＯ是垂線段。PＯ是點P到直線AB所有線段中最短的一條?，F(xiàn)實生活中開溝引水,牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。五、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點間距離”、“點到直線的距離”這些相近而又相異的概念⑴垂線與垂線段區(qū)別:垂線是一條直線,不可度量長度；垂線段是一條線段,可以度量長度。聯(lián)系:具有垂直于已知直線的共同特性。(垂直的性質(zhì)）⑵兩點間距離與點到直線的距離區(qū)別:兩點間的距離是點與點之間,點到直線的距離是點與直線之間。聯(lián)系:都是線段的長度；點到直線的距離是特殊的兩點(即已知點與垂足)間距離。⑶線段與距離距離是線段的長度，是一個量;線段是一種圖形，它們之間不能等同。六、三線八角1212345678如圖，直線被直線所截①∠1與∠5在截線的同側(cè)，同在被截直線的上方,叫做同位角(位置相同）②∠５與∠3在截線的兩旁(交錯)，在被截直線之間（內(nèi))，叫做內(nèi)錯角(位置在內(nèi)且交錯)③∠5與∠4在截線的同側(cè),在被截直線之間(內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角。④三線八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型;內(nèi)錯角是“Z”型；同旁內(nèi)角是“Ｕ”型。(二)習題練習及講解一、選擇題:1．如圖所示,∠1和∠２是對頂角的圖形有()A.１個B.2個C．３個Ｄ.4個2.如圖１所示,三條直線AＢ,CD,EＦ相交于一點O，則∠ＡOE+∠DOB+∠ＣOＦ等于()A．１5０°Ｂ.1８0°C．２10°D.12０°（1）（2）(３)3.下列說法對的的有()①對頂角相等;②相等的角是對頂角;③若兩個角不相等,則這兩個角一定不是對頂角；④若兩個角不是對頂角,則這兩個角不相等.A．1個B．2個C.3個D．4個4.如圖2所示，直線AＢ和CD相交于點O,若∠AＯD與∠BOC的和為２36°,則∠AOＣ的度數(shù)為()A.6２°B.11８°Ｃ．7２°D.5９°5.如圖3所示，直線Ｌ1，L2,L３相交于一點,則下列答案中,全對的一組是()A.∠1=9０°,∠2=30°,∠3=∠4=６0°；B.∠１=∠3=90°,∠2=∠4＝３０C．∠1=∠３=9０°,∠2=∠４=6０°;D.∠1＝∠3=90°，∠2=60°,∠4＝30°6、.已知OA⊥OC，∠AOB：∠ＡＯC=2：3，則∠ＢOC的度數(shù)是( ）． A.30°?Ｂ.150° Ｃ.３0°或者說５0°?D．以上答案都不對7、假如∠1與∠2互為補角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是(?). A.(∠1+∠2)??B.∠1??C.(∠１–∠２)?D.∠28、下列說法對的的是（ ?）. Ａ.兩條直線相交成四個角,假如有三個角相等,那么這兩條直線垂直．?Ｂ.兩條直線相交成四個角,假如有兩個角相等,那么這兩條直線垂直.?C.兩條直線相交成四個角,假如有一對對頂角互余,那么這兩條直線垂直. D.兩條直線相交成四個角,假如有兩個角互補,那么這兩條直線垂直.9、如圖4-56,與∠C是同旁內(nèi)角的有（ )個.?A.2?B.3?C.４ D.510、下列說法對的的是（ ?). A.在同一平面內(nèi),過已知直線外一點作這條直線的垂線有且只有一條.?B．連結(jié)直線外一點和直線上任一點,使這條線段垂直于已知直線.?C.作出點P到直線的距離 Ｄ.連結(jié)直線外一點和直線上任一點的線段長是點到直線的距離.１１、.如圖４-57,OA⊥OB,OC⊥OD,則(?). Ａ.∠AＯC＝∠AOＤ?B.∠ＡOD=∠DOB C.∠AOC＝∠BOD?D.以上結(jié)論都不對12.如圖4-58,ＰO⊥ＯR,OQ⊥ＰR，能表達點到直線(或線段）的距離的線段有( )．A.1 Ｂ.２??Ｃ.3條??Ｄ．5條13.兩條相交直線與此外一條直線在同一平面內(nèi)，它們的交點個數(shù)是( ）． Ａ.1?B.２ C．3或２? Ｄ．1或2或31４．下列語句對的的是(?).?A.相等的角為對頂角 ??B．不相等的角一定不是對頂角?C.不是對頂角的角都不相等 ?D.有公共頂點且和為18０°的兩角 A.1 ?B．２ ?Ｃ．3條??Ｄ．5條二、填空題:(每小題2分，共１6分)如圖４所示,AB與CD相交所成的四個角中,∠1的鄰補角是______,∠1的對頂角＿__.（４)(５）(６）2．如圖4所示,若∠1=25°，則∠2=__＿___＿,∠3=__＿_＿_,∠４=__＿____.３.如圖5所示,直線AB,CD,EＦ相交于點O，則∠AOD的對頂角是___＿_,∠AOC的鄰補角是_____＿＿;若∠AOＣ=5０°,則∠BOD＝__＿___,∠ＣＯB=__＿___＿.4．如圖6所示，已知直線AＢ，ＣＤ相交于O，ＯA平分∠EOC,∠EOC=70°,則∠BＯＤ=＿____＿.5.對頂角的性質(zhì)是_＿＿＿__＿_＿___＿_______＿_．6.如圖7所示,直線AB,ＣD相交于點O,若∠1-∠２=70,則∠ＢＯＤ=__＿＿_，∠2=＿__＿.（7)（８)(９)7.如圖８所示,直線AB,CD相交于點O,ＯE平分∠AOC,若∠ＡOD－∠ＤOＢ=5０°，則∠EOB=＿__.8．如圖9所示,直線ＡB,CＤ相交于點O,已知∠AOC=70°,OE把∠ＢOD提成兩部分,且∠BOE:∠EOD=2：3,則∠EOD=＿＿__＿___.9、如圖4-49，直線ＡB,CD被EF所截,∠1=∠2,要證∠2+∠4=１80°，請完善證明過程,并在括號內(nèi)填上相應(yīng)依據(jù):∵直線AＢ與EF相交,∴∠1=∠３（_＿_＿＿＿___________＿___）,又∵∠1+∠4=1８0°（＿_____＿＿____＿＿____＿＿_）,∠1=∠２(已知),∴∠2＝∠３,∠2+∠4=1８0°（_＿___＿＿________＿_____）。10、.如圖4-50,要證ＢO⊥OD,請完善證明過程,并在括號內(nèi)填上相應(yīng)依據(jù)：∵AO⊥CO(已知),∴∠AＯＣ=_＿__＿___＿__＿___(＿____＿＿_＿_＿_______＿＿___＿).又∵∠COD＝4０°(已知),∴∠AOD=___＿＿_＿____＿.∵∠BOC＝∠ＡＯD＝50°（已知),∴∠BOＤ＝_____＿＿_,∴_＿_＿＿__⊥____＿__(_________________＿_____＿___＿____).1１、.通過直線外或直線上一點,有且只有＿_＿＿＿_________＿直線與已知直線垂直.12、.從直線外一點到這條直線的＿＿_________＿＿__叫做這點到直線的距離.13、直線外一點與直線上各點連結(jié)的線段中,以_____＿___＿___＿_為最短.14、如圖４-5１，ＡB是一直線，ＯM為∠AOC的角平分,ON為∠BOＣ的角平分線,則OＭ,OＮ的位置關(guān)系是_＿____＿___＿____.１5、如圖4－52,AＢ⊥CD于Ｏ,EF為過點O的直線,MN平分∠AOC,若∠EOＮ=1００°，那么∠ＥOＢ＝________＿______,∠BＯM＝＿_＿＿_______＿_＿_．１6、如圖4－５３，直線AB,ＣD相交于O,OE平分∠AOD,FO⊥ＯD于O，∠1=4０°,則∠2=__＿__＿,∠４=____＿_.17、如圖4-54,∠1的同位角是＿＿___＿__,∠1的內(nèi)錯角是_______＿＿,∠1的同旁內(nèi)角是__＿__＿___＿.18、如圖4-5５,直線截直線所得的同位角有____＿對,它是＿__＿_＿__＿＿______;內(nèi)錯角有______對，它們是_________＿＿＿____；同旁內(nèi)角有__＿＿_對,它們是_________＿＿_＿___;對頂角有_＿__對,它們是＿＿_______＿__＿＿_＿．三、判斷.1、如圖4-47,其中共有4對同位角,4對內(nèi)錯角，4對同旁內(nèi)角. ??(?)２、Ｏ是直線ＡＢ上一點,C,Ｄ分別在AB的兩側(cè)，且∠DOＢ=∠AOＣ,則Ｃ,O,D三點在同一條直線上. ? ?? ????（ )3、如圖4－48，∠２和∠10是內(nèi)錯角.?? ? ?（?)4、如圖4-48,∠９和∠10是同旁內(nèi)角,∠1和∠7也是同旁內(nèi)角． ?(?)5、如圖４-４８，∠1和∠3是同位角.? ?? ? ?(?)6、如圖4-４8,∠2和∠4是同位角. ? ??? ??（ )7、如圖4－８,∠2和∠８是對頂角.????? ( )8、直線外一點到這條直線的垂線段叫做這點到這條直線的距離. ? （?)9、相交直線構(gòu)成的四個角中若有一個角是直角,就稱這兩條直線互相垂直．?（?）1０、頂點相同并且相等的兩個角是對頂角. ? ?? (?)四、訓練平臺:1、如圖所示,AB,ＣＤ,EF交于點O,∠1=２0°,∠BＯC=80°,求∠2的度數(shù)．2、如圖所示，L１，L2,L3交于點O,∠1=∠2,∠3:∠1=８:１,求∠4的度數(shù).五、提高訓練：如圖所示,ＡB,CD相交于點O,OE平分∠ＡOD,∠AOC=１２0°,求∠BOＤ,∠ＡＯＥ的度數(shù).如圖所示,直線AB與ＣＤ相交于點O，∠AOＣ：∠AOD=２:３，求∠BOD的度數(shù)．如圖所示,直線a,b,c兩兩相交,∠1=2∠3,∠2=6５°,求∠４的度數(shù).六、探索發(fā)現(xiàn)：若4條不同的直線相交于一點,則圖中共有幾對對頂角？若n條不同的直線相交

于一點呢?在一個平面內(nèi)任意畫出6條直線，最多可以把平面提成幾個部分?n條直線呢？(三）課后練習：１、如圖１,ＡC⊥ＢC，CD⊥AB,垂足為Ｄ,圖中共有___個直角,它們是＿_＿__＿__＿＿__＿_＿___,圖中線段＿_＿__＿_的長表達點C到AB的距離,線段__＿_＿___的長表達點Ａ到ＢC的距離.2、如圖2，請你寫出一組內(nèi)錯角：___＿_；一組同位角_____；一組同旁內(nèi)角_____;(2)(2)(1）（2）(3）3、如圖3，當剪子口∠AOB增大1５°時，∠ＣＯＤ增大_＿＿_______＿_。4、如圖４，計劃把河水引到水池Ａ中，先引AB⊥CＤ,垂足為B，然后沿ＡB開渠,能使所開的渠道最短，這樣設(shè)計的依據(jù)是_＿＿＿_＿__＿____＿____________＿____＿____＿＿__＿。5、如圖５有一個與地面成3０°角的斜坡，,現(xiàn)要在斜坡上豎一電線桿，當電線桿與斜坡所成的角α=__度角時,電線桿與地面垂直。(5)（6)6、觀測圖形（６),下列說法對的的個數(shù)是（)①過點Ａ有且只有一條直線AＣ垂直于直線l;②線段AC的長是點A到直線l的距離。③線段ＡB、ＡＣ、AD中，線段AC最短,根據(jù)是垂線段最短；④線段AB、AＣ、AＤ中，線段AC最短,根據(jù)是兩點之間線段最短;A.1個Ｂ.2個C.3個