江蘇省南京市九龍中學2022年高三數(shù)學文期末試卷含解析

江蘇省南京市九龍中學2022年高三數(shù)學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當時，，則函數(shù)的零點的個數(shù)為（

）A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：D略2.函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.“”是“實系數(shù)一元二次方程無實根”的（

）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A4.有關下列命題的說法正確的是（）

A．命題“若x2=1,則x=1”的否命題為:若“x2=1則x≠1”

B．“”是“”的必要不充分條件

C．命題“x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“x∈R,均有x2+x+1<0”

D．命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為真命題參考答案：【知識點】四種命題．A2

【答案解析】D

解析：對于A，該命題的否命題為：“若x2≠1，則x≠1”，∴A錯誤；對于B，x=﹣1時，x2﹣5x﹣6=0，充分性成立，x2﹣5x﹣6=0時，x=﹣1或x=6，必要性不成立，∴是充分不必要條件，B錯誤；對于C，該命題的否定是：“x∈R，均有x2+x﹣1≥0，∴C錯誤．對于D，x=y時，sinx=siny成立，∴它的逆否命題也為真命題，∴D正確．故選：D．【思路點撥】A中，寫出該命題的否命題，即可判斷A是否正確；B中，判斷充分性和必要性是否成立，即可得出B是否正確；C中，寫出該命題的否定命題，從而判斷C是否正確．D中，判斷原命題的真假性，即可得出它的逆否命題的真假性．5.已知i是虛數(shù)單位，若z（1+3i）=i，則z的虛部為（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：A【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】把已知的等式變形，然后利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：由z（1+3i）=i，得，∴z的虛部為．故選：A．6.某程序的框圖如圖所示,執(zhí)行該程序，若輸入的為，則輸出

的的值分別為

A.

B.C.

D.參考答案：B第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，；第五次循環(huán)，不滿足條件，輸出，選B.7.設集合，，則（

）A．(0,+∞)

B．[0,+∞)

C．R

D．參考答案：B8.已知λ∈R，向量=（3，λ），=（λ﹣1，2），則“λ=3”是“∥”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)向量的平行關系求出λ的值，根據(jù)集合的包含關系判斷即可．【解答】解：由“∥”，得：λ（λ﹣1）=6，解得：λ=3或﹣2，故“λ=3”是“∥”的充分不必要條件，故選：A．【點評】本題考查了向量的平行關系以及充分必要條件的定義，是一道基礎題．9.已知，則的值為()．參考答案：A10.等軸雙曲線：與拋物線的準線交于兩點，，則雙曲線的實軸長等于……………（）

A．

B．

C．4

D．8參考答案：C拋物線的準線為，當時，，解得，因為，所以，所以，所以，所以雙曲線的實軸為，選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數(shù)滿足約束條件若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .參考答案：略12.中心在原點，焦點在軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則它的離心率為．參考答案：根號下5/213.已知等比數(shù)列｛an｝中，，則等于

參考答案：4在等比數(shù)列中，所以，所以。所以，即，所以。14.設△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=1,b=2,,則sinB等于

【答案】【解析】，由余弦定理得，即。由得，。由正弦定理得，得。（或者因為，所以，即三角形為等腰三角形，所以）。14.在平面直角坐標系中，已知點P（﹣2，2），對于任意不全為零的實數(shù)a、b，直線l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若點P到直線l的距離為d，則d的取值范圍是．參考答案：[0，5]【考點】IT：點到直線的距離公式．【分析】由題意，直線過定點Q（1，﹣2），PQ⊥l時，d取得最大值=5，直線l過P時，d取得最小值0，可得結論．【解答】解：由題意，直線過定點Q（1，﹣2），PQ⊥l時，d取得最大值=5，直線l過P時，d取得最小值0，∴d的取值范圍[0，5]，故答案為[0，5]．15.現(xiàn)有三枚外觀一致的硬幣，其中兩枚是均勻硬幣另一枚是不均勻的硬幣，這枚不均勻的硬幣拋出后正面出現(xiàn)的概率為.現(xiàn)投擲這三枚硬幣各1次，設為得到的正面?zhèn)€數(shù)，則隨機變量的數(shù)學期望=．參考答案：16.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)=1,f’(x)為f(x)的導函數(shù)，已知y=f’(x)的圖像如圖所示，若兩個正數(shù)a、b滿足f(2a+b)<1，則的取值范圍是

。

參考答案：17.若滿足條件的整點（x，y）恰有9個，其中整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點，則整數(shù)a的值為

．參考答案：-1【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出滿足條件的平面區(qū)域，利用整點（x，y）恰有9個，可求整數(shù)a的值．【解答】解：作出滿足條件的平面區(qū)域，如圖：要使整點（x，y）恰有9個，即為（0，0）、（1，0）、（2，0），（1，1）、（﹣1，﹣1）、（0，﹣1）、（1，﹣1），（2，﹣1）、（3，﹣1）故整數(shù)a的值為﹣1故答案為：﹣1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖：四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．（1）證明：無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；（2）當BE等于何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°．參考答案：見解析【考點】用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（1）建立如圖所示空間坐標系，得出P、B、F、D的坐標．設BE=x得E（x，1，0），算出的坐標，得出，由此可得無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；（2）利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，算出是平面PDE的一個法向量，結合=（0，0，1）與題中PA與平面PDE所成角，利用空間向量夾角公式建立關于x的方程，解出x的值即可得到PA與平面PDE所成角的大小為45°時，BE的長．【解答】解：（1）分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸，建立如圖所示空間坐標系則可得P（0，0，1），B（0，1，0），F(xiàn)（0，，），D（，0，0）

設BE=x，則E（x，1，0）∴=（x，1，﹣1）得=x?0+1×+（﹣1）×=0可得，即AF⊥PE成立；（2）求出=（，0，﹣1），設平面PDE的一個法向量為則，得∵PA與平面PDE所成角的大小為45°，=（0，0，1）∴sin45°==，得=解之得x=或x=∵BE=x，∴BE=，即當BE等于時，PA與平面PDE所成角的大小為45°．19.（本小題滿分10分）【選修4-1：幾何證明選講】如圖，是的直徑，弦與垂直，并與相交于點，點為弦上異于點的任意一點，連接、并延長交于點．（Ⅰ）求證：四點共圓；（Ⅱ）求證：．參考答案：見解析.證明（Ⅰ）連接，則，……………2分又則，.......4分即，則四點共圓．..............5分（Ⅱ）由直角三角形的射影定理可知

.................6分相似可知：，

,.........................………8分.............................10分20.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在處的切線與直線平行，求實數(shù)n的值；（2）試討論函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)上最大值；（3）若時，函數(shù)恰有兩個零點，求證：.參考答案：(1)6;(2)當時,,當時，;(3)見解析.試題分析：(1)求函數(shù)的導數(shù)，由求之即可；(2)，分當與分別討論函數(shù)的單調(diào)性，求其最值即可；(3)由可得，即，設，則，即，故，用作差比較法證明即可.試題解析：（1）由，，由于函數(shù)在處的切線與直線平行，故，解得.（2），由時，；時，，所以①當時，在上單調(diào)遞減，故在上的最大值為；②當，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上的最大值為；（3）若時，恰有兩個零點，由，，得，∴，設，，，故，∴，記函數(shù)，因，∴在遞增，∵，∴，又，，故成立.考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值；3.函數(shù)與不等式.【名師點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)與不等式，難題；在解函數(shù)的綜合應用問題時,我們常常借助導數(shù),將題中千變?nèi)f化的隱藏信息進行轉化，探究這類問題的根本，從本質(zhì)入手,進而求解，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點，解題技巧是構造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式.21.直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），為直線與曲線的公共點.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（Ⅰ）求點的極坐標；（Ⅱ）將曲線上所有點的縱坐標伸長為原來的倍（橫坐標不變）后得到曲線，過點作直線，若直線被曲線截得的線段長為，求直線的極坐標方程.參考答案：略22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（Ⅰ）若，求直線被曲線截得的線段的長度；（Ⅱ）若，在曲線上求一點，使得點到直線的距離最小，并求出最小距離.參考答案：解：（Ⅰ）曲線的普通方程為.當時，直線的普通方程為.由.解得或，直線被曲線截得的線