軸對稱導學案

二、學習與應用二、學習與應用軸對稱一、目標與策略明確學習目標及主要的學習方法是提高學習效率的首要條件，要做到心中有數(shù)!學習目標:通過具體實例認識軸對稱，探索它的基本性質(zhì)，理解對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質(zhì);能按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形;探索簡單圖形之間的軸對稱關(guān)系，并能指出對稱軸;欣賞生活中的軸對稱圖形，結(jié)合現(xiàn)實生活中的典型實例了解并欣賞物體的鏡面對稱.重點：軸對稱概念及有關(guān)性質(zhì);基本圖形（如線段、角）的軸對稱性;畫和軸對稱有關(guān)的圖形.難點：?軸對稱的性質(zhì)的探索和掌握.學習策略：?通過操作、歸納，探索并總結(jié)出軸對稱的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，并能運用其性質(zhì)解答簡單的幾何問題."凡事預則立，不預則廢".科學地預習才能使我們上課聽講更有目的性和針對（一）能夠完全重合的兩個圖形叫,（二）能夠完全重合的兩個三角形叫（三）兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫重合的邊叫一，重合的角叫（四）全等三角形對應邊.，對應角（五）在線段上并且能夠把這條線段平分點的點叫做.知識要點一一預習和課堂學習認真閱讀、理解教材，嘗試把下列知識要點內(nèi)容補充完整，帶著自己預習的疑惑認真聽課學習.請在虛線部分填寫預習內(nèi)容，在實線部分填寫課堂學習內(nèi)容.課堂筆記或者其它補充填在右欄.知識點一：軸對稱圖形及對稱軸（一） 軸對稱圖形：一個圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個圖形就叫做 一…，該直線就是它的… （二） 要點：前提是——個圖形，且這個圖形滿足兩個條件：（1） 存在直線（對稱軸）；（2） 沿著這條直線折疊，折痕兩旁的部分能 （三） 注意：一個軸對稱圖形的對稱軸是 且不一定只有一條，可能有兩條或多條.如圖所示：知識點二：軸對稱及對稱點（一）軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線 （或說這兩個圖形成軸對稱），這條直線叫做..折疊后重合的點是.也叫做對稱點.直線叫做..折疊后重合的點是.也叫做對稱點.（二） 要點：（1）前提是 個圖形；（2） 存在一條直線；（3） 兩個圖形沿著這條直線對折能夠完全重合.（三） 注意：（1） 成軸對稱的兩個圖形一定全等；（2） 它與軸對稱圖形的區(qū)別主要是：它是指——個圖形，而軸對稱圖形前提是——個圖形；（3） 成軸對稱的兩個圖形除了全等外還有特定的位置關(guān)系.如圖所示：

◎知識點三：軸對稱與軸對稱圖形（一） 相互轉(zhuǎn)化：軸對稱圖形和軸對稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是 ；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關(guān)于這條直線（原對稱軸） （二） 軸對稱、軸對稱圖形的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：若兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是 注：經(jīng)過線段 并且 于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線.性質(zhì)1的證明如下：如圖所示，^ABC與^A'B'C關(guān)于i對稱，其中點a、A是對稱點，設AA交對稱軸1于點P.將AABC和^AB'C'沿I折疊后，點a與A'重合，則有AP=AAP，Z1=Z2=90°，即對稱軸把AA'垂直平分，同樣也能把BB'、CC都垂直平分，于是得出性質(zhì)1.ccf（2） 性質(zhì)2：軸對稱圖形的對稱軸也是 .證明類似性質(zhì)1.（3） 小結(jié)：不論性質(zhì)1，還是性質(zhì)2所指的都是只要兩個點關(guān)于某直線對稱，那么這條直線（對稱軸）就是這兩個點連線的 也就是說這兩條性質(zhì)所體現(xiàn)的是 與 的關(guān)系.也揭示了軸對稱（軸對稱圖形）的實質(zhì).知識點四：線段的垂直平分線（一）性質(zhì)1:線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離.證法一：如圖所示，/是線段AB的垂直平分線，P為l上任意一點.如果把AB沿著l對折，A點和B點一定重合，同時PA、PB也應該重合，如果在l上再取一點P,1連PA、PB，則PA、PB也應該重合，即它們分別對應相等，由此得出性質(zhì)1.1 1 1 1證法二：另外，我們還可以從全等的角度得出性質(zhì)1，過程如下：如上圖，?/l垂直平分AB，AO=BO，Z1=Z2.又PO=PO（公共邊），...RtAPAO^ （SAS）PA=PB.即性質(zhì)1成立.（二） 性質(zhì)2：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的 性質(zhì)2的探究如下：如圖所示，作直線PCXAB于C，則在RtAPAC和RtAPBC中，TOC\o"1-5"\h\zPA=PB，PC=PC， pIRtAPAC^， /j\AC= . / |即PC垂直平分AB， 」/ . \所以點P在線段AB垂直平分線上. C' B（三） 小結(jié)：（1）從以上的兩個結(jié)論可以看出，在線段AB垂直平分線上的點與A、B兩點的距離 一；反過來與點A、B距離相等的點都在 綜合以上兩點可以得出：線段的垂直平分線可以看作是與線段兩個端點距離相等的所有點的集合.（2）線段垂直平分線的兩個性質(zhì)具有不同的作用，性質(zhì)l是線段的垂直、平分線的性質(zhì)，可用它來證明線段 的問題；而性質(zhì)2實質(zhì)是 的判定.◎知識點五：對稱軸的作法（一） 若兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應點所連線段的 .因此只要找到一對對應點，再作出連接它們的線段的 就可以得到這兩個圖形的對稱軸.軸對稱圖形的對稱軸作法相同.（二） 例如：A、B兩點關(guān)于某直線對稱，連接AB,作線段AB的垂直平分線就是A、B兩點的對稱軸，作法如下：（1）分別以點 為圓心，以大于 的長為半徑作?。ㄈ魞苫“霃叫∮诨虻扔?AB，則兩弧沒有交點或切于一點），兩弧交于C、D兩點；2（2）連 ，得直線 ，直線CD即為所求.如下圖所示：（三） 說明：作對稱軸的方法也就是作 的方法.用此方法可確定線段的中點，即把線段平分.◎:知識點六：軸對稱變換（一）由一個平面圖形得到它關(guān)于某直線的對稱圖形，這一過程叫 （二）注意：（1）將一個圖形進行軸對稱變換（作一個圖形關(guān)于某直線的對稱圖形）.關(guān)鍵是作某些點（關(guān)鍵點）關(guān)于這條直線的 ①如：作點A關(guān)于直線l的對稱點.先作AO±于O；再延長AO至A使OA=，則A就是A關(guān)于l的對稱點，如下圖所示:②主要有兩步：第一步，過巳知點作對稱軸的 ，得到一個垂線段；第二步，將這個垂線段延長 所到達的點就是巳知點關(guān)于這條直線（對稱軸）的對稱點.（2） 成軸對稱的兩個圖形中的任何一個都可以看作是另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換得到的.同樣，一個軸對稱圖形也可以看作是以它的一部分為基礎，經(jīng)軸對稱變換擴展而成的.（3） 經(jīng)過軸對稱變換并結(jié)合平移變換我們可得到一些美麗的圖案，如圖所示：知識點七：用坐標表示軸對稱（一）關(guān)于x軸對稱的兩個點的橫（縱）坐標的關(guān)系巳知P點坐標（a，b），則它關(guān)于X軸的對稱點P'的坐標為 ，如下圖所示：…[P-2a-aO-b度t2ax~2b即關(guān)于X軸的對稱的兩點，坐標的關(guān)系是：橫坐標 ，縱坐標互為 （二）關(guān)于y軸對稱的兩個點橫（縱）坐標的關(guān)系巳知P點坐標為（a，b），則它關(guān)于y軸對稱點P"的坐標為，如上圖所示.

即關(guān)于y軸對稱的兩點坐標關(guān)系是：縱坐標 ，橫坐標互為 注意：由此我們可以在平面直角坐標系中作出與一個巳知圖形關(guān)于%軸或y軸對稱的圖形.（三）關(guān)于與%軸（y軸）平行的直線對稱的兩個點橫（縱）坐標的關(guān)系（1）p點坐標（a,b）關(guān)于直線y=c的對稱點P'的坐標為 證明：如下圖所示，令p'坐標為（a,y'）,由題意可知PD=PD,即c一y'=b-c，故y'=2c-b.所以P（a,2c-b）.同樣可以推導出下面的結(jié)論.同樣可以推導出下面的結(jié)論.，如上圖所示.（2）P點關(guān)于直線%=c的對稱點P"的坐標為.，如上圖所示.經(jīng)典例題-自主學習認真分析、解答下列例題，嘗試總結(jié)提升各類型題目的規(guī)律和技巧，然后完成舉一反三.無星號題目要求同學們必須掌握，為基礎題型，一個星號的題目綜合性稍強.類型一：對稱軸問題例1.觀察下圖中的圖案，問這些軸對稱圖形，各有幾條對稱軸?①②③①②③思路點撥：對于一個圖形的對稱軸一定要按定義全方位地去找或按照定義實際操作一下，否則就容易造成漏解或找不到對稱軸.解：

總結(jié)升華： 舉一反三：【變式1】試說出下列圖形的對稱軸的條數(shù).（1）線段；（2）角；（3）平行線（兩條）.解析：類型二：軸對稱圖形的作法例2.巳知△ABC,直線/.求作AA'B'C'，使AA'B'C'和^ABC關(guān)于l對稱.思路點撥：作一個圖形關(guān)于巳知直線的對稱圖形關(guān)鍵是作出一些特殊點關(guān)于巳知直線的對稱點，所謂的特殊點，即可以決定圖形的大小和形狀的點，一般來說一個多邊形的特殊點就是它的各個 .作法：總結(jié)升華： 舉一反三：【變式】把圖中的圖形補成以l為對稱軸的軸對稱圖形.解析：

。類型三：中垂線問題例3.如圖所示，在AABC中，AC=10cm,△DBC的周長為16cm,求BC的長.i思路點撥：欲求BC長，只需求出DB+DC.一，此題可解.解析：AB的中垂線交ABAB的中垂線交AB于E,交AC于D，——C而DE垂直平分，故舉一反三：【變式1】如圖所示，AD垂直平分BC，DE±AB，DFXAC，垂足分別為E、F.求證DE=DF.

思路點撥：欲證DE=DF,只需證AD是ZBAC的平分線.而AD是BC中垂線可得B、C兩點關(guān)于 對稱，故△ABD和^ACD關(guān)于 對稱，則可得ZBAD證明:總結(jié)升華： 【變式2】如圖所示，在道路OA、OB的交叉區(qū)域內(nèi)有M、N兩所學校，現(xiàn)在要在此區(qū)域內(nèi)建一圖書館P，使它到兩條道路距離相等，并且到兩所學校距離也相等，求P點位置.思路點撥：P點到OA、OB距離相等，只需P在 上即可.P到M、N距離相等，只需？點在 上即可.解：總結(jié)升華:類型四：最短路問題☆☆例4.在銳角ZAOB內(nèi)有一定點P,試在OA、OB上確定兩點C、。，使左PCD的周長最短.思路點撥：APCD的周長等于PC+CD+PD，要使△PCD的周長最短，-根據(jù)兩點之間線段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某兩點之間的距離，于是考慮作點P關(guān)于直線OA*和OB的對稱點E、F,則△PCD的周長等于線段EF的長.解析:總結(jié)升華：舉一反三：【變式】草原上兩個居民點A、B在河流a的同旁，一汽車從A出發(fā)到B,途中需要到河邊加水.汽車在哪一點加水，可使行駛的路程最短？在圖上畫出該點.BAa思路點撥：若P為直線a上的點，則要使PA+PB最小與線段有關(guān)的結(jié)論是兩點之間 最短，當把PA+PB轉(zhuǎn)化成為一條線段時，點P就是符合條件的點.解析：。；類型五：坐標系中的對稱問題例5.如圖，（1）請寫出△ABC中各頂點的坐標.（2）在同一坐標系中畫出直線m：x=?-1，并作出^ABC關(guān)于直線m對稱的AA'B‘C.（3）若P（a,員是^ABC中AC邊上一點，?請表示其在MB'C'中對應點的坐標.思路點撥：直線m：x=-1表示直線m上任意一點的橫坐標都等于 ，因此過點（-1，0）-作軸的平行線即直線m.畫出直線m后，再作點A、C關(guān)于直線m的對稱點A'、C'，?而點B在直線m上，則其關(guān)于直線m對稱的點8'就是 .解析：總結(jié)升華:舉一反三:【變式】如下圖，一束光線從y軸上的點A（0,2）出發(fā)，經(jīng)過x軸上點C反射后經(jīng)過點B（6,6），則光線從點A到點B所經(jīng)過的路程是（）A.10BA.10B.C.D.4答案:II三、總結(jié)與測評要想學習成績好，總結(jié)測評少不了！課后復習是學習不可或缺的環(huán)節(jié)，它可以幫助我們鞏固學習效果，彌補知識缺漏，提高學習能力.（一）由一個平面圖到它的軸對稱圖形總結(jié)規(guī)律和方法一一強化所學（一）由一個平面圖到它的軸對稱圖形認真回顧總結(jié)本部分內(nèi)容的規(guī)律和方法，熟練掌握技能技巧.軸對稱變換.-成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看著由另一個圖形經(jīng)過 后得到.（二）軸對稱變換的性質(zhì)：（1） 經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣.（2） 經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關(guān)于對稱軸的 TOC\o"1-5"\h\z連接任意一對對應點的線段被對稱軸 .作一個圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形的步驟：作出一些關(guān)鍵點或特