有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計

式中，Hg(ω)稱為幅度特性，θ(ω)稱為相位特性。注意，這里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)為ω的實函數(shù)，可能取負值，而|H(ejω)|總是正值。H(ejω)線性相位是指θ(ω)是ω的線性函數(shù)，即

θ(ω)=τω,τ為常數(shù)(7.1.3)

如果θ(ω)滿足下式：

θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位(7.1.4)

嚴格地說，此時θ(ω)不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時延是一個常數(shù)，即第1頁/共81頁第一頁，共82頁。

也稱這種情況為線性相位。一般稱滿足(7.1.3)式是第一類線性相位；滿足(7.1.4)式為第二類線性相位。下面推導與證明滿足第一類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2偶對稱，即

h(n)=h(N-n-1)(7.1.5)

滿足第二類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2奇對稱，即

h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6)第2頁/共81頁第二頁，共82頁。(1)第一類線性相位條件證明：將(7.1.5)式代入上式得令m=N-n-1,則有(7.1.7)第3頁/共81頁第三頁，共82頁。

按照上式可以將H(z)表示為

將z=ejω代入上式，得到：

按照(7.1.2)式，幅度函數(shù)Hg(ω)和相位函數(shù)分別為(7.1.8)(7.1.9)第4頁/共81頁第四頁，共82頁。(2)第二類線性相位條件證明：(7.1.10)令m=N-n-1,則有同樣可以表示為第5頁/共81頁第五頁，共82頁。因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為(7.1.11)(7.1.12)第6頁/共81頁第六頁，共82頁。第7頁/共81頁第七頁，共82頁。第8頁/共81頁第八頁，共82頁。2.線性相位FIR濾波器幅度特性Hg(ω)的特點

1)h(n)=h(N-n-1),N=奇數(shù)按照(7.1.8)式，幅度函數(shù)Hg(ω)為

式中，h(n)對(N-1)/2偶對稱，余弦項也對(N-1)/2偶對稱，可以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項進行合并，由于N是奇數(shù)，故余下中間項n=(N-1)/2。這樣幅度函數(shù)表示為第9頁/共81頁第九頁，共82頁。令m=(N-1)/2-n,則有(7.1.13)(7.1.14)式中第10頁/共81頁第十頁，共82頁。

按照(7.1.13)式，由于式中cosωn項對ω=0,π,2π皆為偶對稱，因此幅度特性的特點是對ω=0,π,2π是偶對稱的。

2)h(n)=h(N-n-1),N=偶數(shù)推導情況和前面N=奇數(shù)相似，不同點是由于N=偶數(shù)，Hg(ω)中沒有單獨項，相等的項合并成N/2項。第11頁/共81頁第十一頁，共82頁。3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇數(shù)將(7.1.11)式重寫如下：令m=N/2-n,則有(7.1.15)(7.1.16)第12頁/共81頁第十二頁，共82頁。4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶數(shù)類似上面3)情況，推導如下：

令m=(N-1)/2-n，則有(7.1.17)(7.1.18)令m=N/2-n,則有第13頁/共81頁第十三頁，共82頁。(7.1.19)(7.1.20)第14頁/共81頁第十四頁，共82頁。3.線性相位FIR濾波器零點分布特點第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)分別滿足(7.1.7)式和(7.1.10)式，綜合起來用下式表示：(7.1.21)

圖7.1.1線性相位FIR濾波器零點分布第15頁/共81頁第十五頁，共82頁。4.線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)設N為偶數(shù)，則有令m=N-n-1,則有第16頁/共81頁第十六頁，共82頁。(7.1.22)如果N為奇數(shù)，則將中間項h［(N-1)/2］單獨列出，(7.1.23)第17頁/共81頁第十七頁，共82頁。圖7.1.2第一類線性相位網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)第18頁/共81頁第十八頁，共82頁。圖7.1.3第二類線性相位網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)第19頁/共81頁第十九頁，共82頁。7.2利用窗函數(shù)法設計FIR濾波器

設希望設計的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ejω),hd(n)是與其對應的單位脈沖響應，因此第20頁/共81頁第二十頁，共82頁。

相應的單位取樣響應h-d(n)為(7.2.1)(7.2.2)

為了構(gòu)造一個長度為N的線性相位濾波器，只有將h-d(n)截取一段，并保證截取的一段對(N-1)/2對稱。設截取的一段用h(n)表示，即

h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)第21頁/共81頁第二十一頁，共82頁。

我們實際實現(xiàn)的濾波器的單位取樣響應為h(n),長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，圖7.2.1理想低通的單位脈沖響應及矩形窗第22頁/共81頁第二十二頁，共82頁。

以上就是用窗函數(shù)法設計FIR濾波器的思路。另外，我們知道Hd(ejω)是一個以2π為周期的函數(shù)，可以展為傅氏級數(shù)，即對(7.2.3)式進行傅里葉變換，根據(jù)復卷積定理，得到：(7.2.4)

式中，Hd(ejω)和RN(ejω)分別是hd(n)和RN(n)的傅里葉變換，即(7.2.5)第23頁/共81頁第二十三頁，共82頁。RN(ω)稱為矩形窗的幅度函數(shù)；將Ha(ejω)寫成下式：按照(7.2.1)式，理想低通濾波器的幅度特性Hd(ω)為將Hd(ejω)和RN(ejω)代入(7.2.4)式，得到：第24頁/共81頁第二十四頁，共82頁。

將H(ejω)寫成下式：(7.2.6)第25頁/共81頁第二十五頁，共82頁。

圖7.2.2矩形窗對理想低通幅度特性的影響第26頁/共81頁第二十六頁，共82頁。

通過以上分析可知，對hd(n)加矩形窗處理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差別有以下兩點：

(1)在理想特性不連續(xù)點ω=ωc附近形成過渡帶。過渡帶的寬度，近似等于RN(ω)主瓣寬度，即4π/N。

(2)通帶內(nèi)增加了波動，最大的峰值在ωc-2π/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負峰在ωc+2π/N處。在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN(ω)可近似為

第27頁/共81頁第二十七頁，共82頁。

下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。設

h(n)=hd(n)w(n)

式中w(n)表示窗函數(shù)。

1.矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=RN(n)

前面已分析過，按照(7.2.5)式，其頻率響應為第28頁/共81頁第二十八頁，共82頁。2.三角形窗(BartlettWindow)(7.2.8)其頻率響應為(7.2.9)第29頁/共81頁第二十九頁，共82頁。3.漢寧(Hanning)窗——升余弦窗當N1時，N-1≈N，第30頁/共81頁第三十頁，共82頁。圖7.2.3漢寧窗的幅度特性第31頁/共81頁第三十一頁，共82頁。4.哈明(Hamming)窗——改進的升余弦窗(7.2.11)其頻域函數(shù)WHm(ejω)為其幅度函數(shù)WHm(ω)為當N>>1時，可近似表示為第32頁/共81頁第三十二頁，共82頁。5.布萊克曼(Blackman)窗(7.2.13)其頻域函數(shù)為其幅度函數(shù)為(7.2.14)第33頁/共81頁第三十三頁，共82頁。圖7.2.4常用的窗函數(shù)第34頁/共81頁第三十四頁，共82頁。

圖7.2.5常用窗函數(shù)的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗第35頁/共81頁第三十五頁，共82頁。

圖7.2.6理想低通加窗后的幅度特性(N=51,ωc=0.5π)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；

(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗第36頁/共81頁第三十六頁，共82頁。6.凱塞—貝塞爾窗(Kaiser-BaselWindow)式中I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級數(shù)計算：第37頁/共81頁第三十七頁，共82頁。

一般I0(x)取15~25項，便可以滿足精度要求。α參數(shù)可以控制窗的形狀。一般α加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4<α<9。當α=5.44時，窗函數(shù)接近哈明窗。α=7.865時，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞窗的幅度函數(shù)為(7.2.16)第38頁/共81頁第三十八頁，共82頁。

表7.2.1凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影響第39頁/共81頁第三十九頁，共82頁。表7.2.2六種窗函數(shù)的基本參數(shù)第40頁/共81頁第四十頁，共82頁。

下面介紹用窗函數(shù)設計FIR濾波器的步驟。

(1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應hd(n)。如果給出待求濾波器的頻響為Hd(ejω)，那么單位取樣響應用下式求出：(7.2.17)(7.2.18)根據(jù)頻率采樣定理，hM(n)與hd(n)應滿足如下關(guān)系：第41頁/共81頁第四十一頁，共82頁。

例如，理想低通濾波器如(7.2.1)式所示，求出單位取樣響應hd(n)如(7.2.2)式，重寫如下：

(2)根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計窗口長度N。設待求濾波器的過渡帶用Δω表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。

(3)計算濾波器的單位取樣響應h(n)，

h(n)=hd(n)w(n)第42頁/共81頁第四十二頁，共82頁。(4)驗算技術(shù)指標是否滿足要求。設計出的濾波器頻率響應用下式計算：第43頁/共81頁第四十三頁，共82頁。

例7.2.1用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設計FIR低通濾波器，設N=11,ωc=0.2πrad。解用理想低通作為逼近濾波器，按照(7.2.2)式，有第44頁/共81頁第四十四頁，共82頁。

用漢寧窗設計：用布萊克曼窗設計：第45頁/共81頁第四十五頁，共82頁。圖7.2.7例7.2.1的低通幅度特性第46頁/共81頁第四十六頁，共82頁。7.3利用頻率采樣法設計FIR濾波器

設待設計的濾波器的傳輸函數(shù)用Hd(ejω)表示，對它在ω=0到2π之間等間隔采樣N點，得到Hd(k)，再對N點Hd(k)進行IDFT，得到h(n)，(7.3.1)(7.3.2)第47頁/共81頁第四十七頁，共82頁。

式中，h(n)作為所設計的濾波器的單位取樣響應，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為(7.3.3)(7.3.4)第48頁/共81頁第四十八頁，共82頁。1.用頻率采樣法設計線性相位濾波器的條件

FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)是實序列，且滿足h(n)=h(N-n-1)，在此基礎(chǔ)上我們已推導出其傳輸函數(shù)應滿足的條件是：(7.3.5)(7.3.6)(7.3.7)奇數(shù)偶數(shù)第49頁/共81頁第四十九頁，共82頁。

在ω=0~2π之間等間隔采樣N點，

將ω=ωk代入(7.3.4)~(7.3.7)式中，并寫成k的函數(shù)：(7.3.8)(7.3.9)奇數(shù)偶數(shù)(7.3.10)(7.3.11)第50頁/共81頁第五十頁，共82頁。

設用理想低通作為希望設計的濾波器，截止頻率為ωc，采樣點數(shù)N，Hg(k)和θ(k)用下面公式計算：

N=奇數(shù)時，(7.3.12)第51頁/共81頁第五十一頁，共82頁。N=偶數(shù)時，(7.3.13)第52頁/共81頁第五十二頁，共82頁。2.逼近誤差及其改進措施如果待設計的濾波器為Hd(ejω),對應的單位取樣響應為hd(n)，

則由頻率域采樣定理知道，在頻域0~2π之間等間隔采樣N點，利用IDFT得到的h(n)應是hd(n)以N為周期，周期性延拓乘以RN(ω)，即第53頁/共81頁第五十三頁，共82頁。

由采樣定理表明，頻率域等間隔采樣H(k)，經(jīng)過IDFT得到h(n)，其Z變換H(z)和H(k)的關(guān)系為第54頁/共81頁第五十四頁，共82頁。

圖7.3.1理想低通濾波器增加過渡點第55頁/共81頁第五十五頁，共82頁。

例7.3.1利用頻率采樣法設計線性相位低通濾波器，要求截止頻率ωc=π/2rad，采樣點數(shù)N=33，選用h(n)=h(N-1-n)情況。解用理想低通作為逼近濾波器。按照(7.3.12)式，

對理想低通幅度特性采樣情況如圖7.3.2所示。將采樣得到的第56頁/共81頁第五十六頁，共82頁。圖7.3.2對理想低通進行采樣第57頁/共81頁第五十七頁，共82頁。圖7.3.3例7.3.1的幅度特性第58頁/共81頁第五十八頁，共82頁。圖7.3.4例7.3.1——(N=65)有兩個過渡點幅度特性第59頁/共81頁第五十九頁，共82頁。7.4利用切比雪夫逼近法設計FIR濾波器

如果用E(ejω)表示Hd(ejω)和所設計濾波器H(ejω)之間的頻響誤差

E(ejω)=H-d(ejω)-H(ejω)(7.4.1)

其均方誤差為(7.4.2)第60頁/共81頁第六十頁，共82頁。1.切比雪夫最佳一致逼近準則設希望設計的濾波器幅度特性為Hd(ω)，實際設計的濾波器幅度特性為Hg(ω)，其加權(quán)誤差E(ω)用下式表示：

E(ω)=W(ω)［Hd(ω)-Hg(ω)］(7.4.3)

為設計具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應h(n)或幅度特性必須滿足一定條件。假設設計的是h(n)=h(n-N-1),N=奇數(shù)情況，第61頁/共81頁第六十一頁，共82頁。將Hg(ω)代入(7.4.3)式，則(7.4.4)

式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的問題是選擇M+1個系數(shù)a(n),使加權(quán)誤差E(ω)的最大值為最小，即第62頁/共81頁第六十二頁，共82頁。

該定理指出最佳一致逼近的充要條件是E(ω)在A上至少呈現(xiàn)M+2個“交錯”，使得第63頁/共81頁第六十三頁，共82頁。第64頁/共81頁第六十四頁，共82頁。2.利用最佳一致逼近準則設計線性相位FIR濾波器設我們希望設計的濾波器是線性相位低通濾波器，其幅度特性為

如果我們知道了A上的M+2個交錯點頻率：ω0,ω1,:,ωM+1,按照(7.4.4)式，并根據(jù)交錯點組準則，可寫出(7.4.5)第65頁/共81頁第六十五頁，共82頁。

將(7.4.5)式寫成矩陣形式，(7.4.6)第66頁/共81頁第六十六頁，共82頁。(1)在頻域等間隔取M+2個頻率ω0,ω1,:,ωM+1，作為交錯點組的初始值。按下式計算ρ值：(7.4.7)(7.4.8)第67頁/共81頁第六十七頁，共82頁。

一般初始值ωi并不是最佳的極值頻率，ρ也不是最優(yōu)估計誤差，它是相對于初始值產(chǎn)生的偏差。然后利用拉格朗日(Lagrange)插值公式，求出Hg(ω)，即(7.4.9)(7.4.10)(7.4.11)第68頁/共81頁第六十八頁，共82頁。(2)對上次確定的ω0,ω1,:,ωM+1中每一點，都檢查其附近是否存在某一頻率|E(ω)|>ρ，如有，再在該點附近找出局部極值點，并用該點代替原來的點。

(3)利用和第二步相同的方法，把各頻率處使|E(ω)|>|ρ|的點作為新的局部極值點，從而又得到一組新的交錯點組。第69頁/共81頁第六十九頁，共82頁。圖7.4.2雷米茲算法流程圖第70頁/共81頁第七十頁，共82頁。3.線性相位FIR濾波器的四種類型統(tǒng)一表示式在7.1節(jié)，我們已推導出線性相位的四種情況，它們的幅度特性H-g(ω)分別如下式：

奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)第71頁/共81頁第七十一頁，共82頁。

經(jīng)過推導可把H-g(ω)統(tǒng)一表示為

Hg(ω)=Q(ω)P(ω)(7.4.13)

式中，P(ω)是系數(shù)不同的余弦組合式，Q(ω)是不同的常數(shù)，四種情況的Q(ω)和P(ω)如表7.4.1所示。第72頁/共81頁第七十二頁，共82頁。