正弦定理及其應(yīng)用_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

1.問題的引入:

.某游客在爬上山頂后,在休息時(shí)看到對(duì)面的山頂想:這離對(duì)面有多遠(yuǎn)的距離呢?請(qǐng)同學(xué)們幫幫這位游客。(工具是測(cè)角儀和皮尺)第1頁/共30頁第一頁,共31頁。思考:在直角三角形中,“邊”與“角”的關(guān)系Rt中思考:對(duì)于一般三角形,上述結(jié)論是否成立第2頁/共30頁第二頁,共31頁。在銳角三角形中,第3頁/共30頁第三頁,共31頁。在鈍角三角形中,第4頁/共30頁第四頁,共31頁。由以上三種情況的討論可得:正弦定理:思考:用“向量”的方法如何證明“正弦定理”

在一個(gè)三角形中,各邊的長(zhǎng)和它所對(duì)角的正弦的比相等,即第5頁/共30頁第五頁,共31頁。思考:用“三角形面積公式”如何證明“正弦定理”

第6頁/共30頁第六頁,共31頁?!連ACDabc而∴同理∴ha第7頁/共30頁第七頁,共31頁。

正弦定理在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即變形:第8頁/共30頁第八頁,共31頁。小結(jié):知道三角形的兩個(gè)內(nèi)角和任何一邊,利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。定理的應(yīng)用舉例例1第9頁/共30頁第九頁,共31頁。例2、在三角形ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形(角度精確到1°邊長(zhǎng)精確到1cm)

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他邊和角第10頁/共30頁第十頁,共31頁。

在例2中,將已知條件改為以下幾種情況,結(jié)果如何?(1)b=20,A=60°,a=20√3;(2)b=20,A=60°,a=10√3;(3)b=20,A=60°,a=15.60°ABCb第11頁/共30頁第十一頁,共31頁。(1)b=20,A=60°,a=20√3sinB==,bsinA

a12B=30°或150°,∵150°+60°>180°,∴B=150°應(yīng)舍去.60°2020√3ABC第12頁/共30頁第十二頁,共31頁。(2)b=20,A=60°,a=10√3sinB==1,bsinA

aB=90°.B60°AC20第13頁/共30頁第十三頁,共31頁。(3)b=20,A=60°,a=15.sinB==,bsinA

a2√332√33

>1,∴無解.60°20AC

第14頁/共30頁第十四頁,共31頁。已知邊a,b和角A,求其他邊和角.A為銳角a<bsinA無解a=bsinA一解bsinA<a<b兩解一解a≥bA為直角或鈍角a>b一解a≤b無解ABCbaACbaACabABCabAB1B2CabABCab第15頁/共30頁第十五頁,共31頁。(2R為△ABC外接圓直徑)第16頁/共30頁第十六頁,共31頁。證明:OC/cbaCBA第17頁/共30頁第十七頁,共31頁。

正弦定理在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即含三角形的三邊及三內(nèi)角,由己知二角一邊或二邊一角可表示其它的邊和角定理結(jié)構(gòu)特征:正弦定理第18頁/共30頁第十八頁,共31頁。剖析定理、加深理解1、A+B+C=π2、大角對(duì)大邊,大邊對(duì)大角第19頁/共30頁第十九頁,共31頁。剖析定理、加深理解3、正弦定理可以解決三角形中的問題:①已知兩角和一邊,求其他角和邊②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角,進(jìn)而可求其他的邊和角第20頁/共30頁第二十頁,共31頁。剖析定理、加深理解4、一般地,把三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫解三角形第21頁/共30頁第二十一頁,共31頁。剖析定理、加深理解5、正弦定理的變形形式6、正弦定理,可以用來判斷三角形的形狀,其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化第22頁/共30頁第二十二頁,共31頁。ACaba<bsinA無解ACaba=bsinA一解ACabbsinA<a<b兩解BB1B2BACba一解a第23頁/共30頁第二十三頁,共31頁。ABabCABabCABabCa<b

無解a=b

無解a>b

一解第24頁/共30頁第二十四頁,共31頁。,求B;

判斷解的個(gè)數(shù):,求B;

,求B;

,求B;

一解一解一解兩解第25頁/共30頁第二十五頁,共31頁。第26頁/共30頁第二十六頁,共31頁。第27頁/共30頁第二十七頁,共31頁。第28頁/共30頁第二十八頁,共31頁。第29頁/共30頁第二十九頁,共31頁。感謝您的觀看!第30頁/共30頁第三十頁,共31頁。內(nèi)容總結(jié)1.問題的引入:。某游客在爬上山頂后,在休息時(shí)看到對(duì)面的山頂想:這離對(duì)面有多遠(yuǎn)的距離呢。思考:在直角三角形中,“邊”與“角”的關(guān)系。思考:用“向量”的方法如何證明“正弦

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