正弦定理及其應(yīng)用

1.問題的引入:

.某游客在爬上山頂后，在休息時(shí)看到對(duì)面的山頂想：這離對(duì)面有多遠(yuǎn)的距離呢？請(qǐng)同學(xué)們幫幫這位游客。（工具是測(cè)角儀和皮尺）第1頁/共30頁第一頁，共31頁。思考：在直角三角形中，“邊”與“角”的關(guān)系Rt中思考：對(duì)于一般三角形，上述結(jié)論是否成立第2頁/共30頁第二頁，共31頁。在銳角三角形中，第3頁/共30頁第三頁，共31頁。在鈍角三角形中，第4頁/共30頁第四頁，共31頁。由以上三種情況的討論可得：正弦定理：思考：用“向量”的方法如何證明“正弦定理”

在一個(gè)三角形中，各邊的長(zhǎng)和它所對(duì)角的正弦的比相等，即第5頁/共30頁第五頁，共31頁。思考：用“三角形面積公式”如何證明“正弦定理”

第6頁/共30頁第六頁，共31頁?！連ACDabc而∴同理∴ha第7頁/共30頁第七頁，共31頁。

正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即變形：第8頁/共30頁第八頁，共31頁。小結(jié)：知道三角形的兩個(gè)內(nèi)角和任何一邊，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。定理的應(yīng)用舉例例1第9頁/共30頁第九頁，共31頁。例2、在三角形ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角度精確到1°邊長(zhǎng)精確到1cm）

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他邊和角第10頁/共30頁第十頁，共31頁。

在例2中，將已知條件改為以下幾種情況，結(jié)果如何？（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3;（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3;（3）b＝20，A＝60°，a＝15.60°ABCb第11頁/共30頁第十一頁，共31頁。（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3sinB＝＝，bsinA

a12B＝30°或150°，∵150°＋60°>180°，∴B＝150°應(yīng)舍去.60°2020√3ABC第12頁/共30頁第十二頁，共31頁。（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3sinB＝＝1，bsinA

aB＝90°.B60°AC20第13頁/共30頁第十三頁，共31頁。（3）b＝20，A＝60°，a＝15.sinB＝＝，bsinA

a2√332√33

∵

>1，∴無解.60°20AC

第14頁/共30頁第十四頁，共31頁。已知邊a,b和角Ａ，求其他邊和角．Ａ為銳角a<bsinA無解a=bsinA一解bsinA<a<b兩解一解a≥bＡ為直角或鈍角a>b一解a≤b無解ＡＢＣbaＡＣbaＡＣabＡＢＣabＡＢ１Ｂ２ＣabＡＢＣab第15頁/共30頁第十五頁，共31頁。（2R為△ABC外接圓直徑）第16頁/共30頁第十六頁，共31頁。證明：OC/cbaCBA第17頁/共30頁第十七頁，共31頁。

正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即含三角形的三邊及三內(nèi)角,由己知二角一邊或二邊一角可表示其它的邊和角定理結(jié)構(gòu)特征:正弦定理第18頁/共30頁第十八頁，共31頁。剖析定理、加深理解1、A+B+C=π2、大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角第19頁/共30頁第十九頁，共31頁。剖析定理、加深理解3、正弦定理可以解決三角形中的問題：①已知兩角和一邊，求其他角和邊②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其他的邊和角第20頁/共30頁第二十頁，共31頁。剖析定理、加深理解4、一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫解三角形第21頁/共30頁第二十一頁，共31頁。剖析定理、加深理解5、正弦定理的變形形式6、正弦定理，可以用來判斷三角形的形狀，其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化第22頁/共30頁第二十二頁，共31頁。ACaba<bsinA無解ACaba=bsinA一解ACabbsinA<a<b兩解BB1B2BACba一解a第23頁/共30頁第二十三頁，共31頁。ABabCABabCABabCa<b

無解a=b

無解a>b

一解第24頁/共30頁第二十四頁，共31頁。，求B；

判斷解的個(gè)數(shù)：，求B；

，求B；

，求B；

一解一解一解兩解第25頁/共30頁第二十五頁，共31頁。第26頁/共30頁第二十六頁，共31頁。第27頁/共30頁第二十七頁，共31頁。第28頁/共30頁第二十八頁，共31頁。第29頁/共30頁第二十九頁，共31頁。感謝您的觀看！第30頁/共30頁第三十頁，共31頁。內(nèi)容總結(jié)1.問題的引入:。某游客在爬上山頂后，在休息時(shí)看到對(duì)面的山頂想：這離對(duì)面有多遠(yuǎn)的距離呢。思考：在直角三角形中，“邊”與“角”的關(guān)系。思考：用“向量”的方法如何證明“正弦