由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式

狀態(tài)變量選為

則

由微分方程有所以

因此，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為第1頁/共40頁第一頁，共41頁。

(2.43a)因此，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為輸出方程為

(2.43b)由微分方程

所以

(2.44b)第2頁/共40頁第二頁，共41頁。

表達(dá)為矩陣形式

(2.44a)

第3頁/共40頁第三頁，共41頁。

例2.10已知系統(tǒng)的微分方程為,求狀態(tài)空間表達(dá)式。解選取狀態(tài)變量為，，，則由式(2.44)得狀態(tài)空間描述為

3．微分方程含有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)

第4頁/共40頁第四頁，共41頁。

這時，一般描述為

(2.45)狀態(tài)變量的選取：對于這種情況不能選輸出及其各階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量。因?yàn)槿绻眩?，作為狀態(tài)變量，則狀態(tài)方程為

第5頁/共40頁第五頁，共41頁。

這時，狀態(tài)變量中包含了輸入信號的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，使得當(dāng)輸入信號出現(xiàn)階躍時，狀態(tài)變量將是不確定的，不滿足選擇狀態(tài)變量的要求，因此，在這種情況下，不能選擇，，…作為狀態(tài)變量。（1）方法一選取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

第6頁/共40頁第六頁，共41頁。

(2.46)

其中，，…，是個待定系數(shù)。整理上式可得

(2.47)

第7頁/共40頁第七頁，共41頁。

對式(2.46)中最后一式求導(dǎo)，得

(2.48)由微分方程(2.45)得

(2.49)

第8頁/共40頁第八頁，共41頁。

將式(2.49)代入式(2.48)得

(2.50)第9頁/共40頁第九頁，共41頁。

選擇待定系數(shù)，，使中輸入信號的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為零，即

(2.51)且令中輸入項(xiàng)的系數(shù)為，即

(2.52)第10頁/共40頁第十頁，共41頁。

則

(2.53)聯(lián)立式(2.47)，(2.53)即為狀態(tài)方程

(2.54)矩陣形式為

(2.55a)

第11頁/共40頁第十一頁，共41頁。

輸出方程為

(2.55b)其中,，，由式(2.51)和式(2.52)確定，寫成如下便于記憶的矩陣形式

（2.56a）第12頁/共40頁第十二頁，共41頁。

（2.56a）第13頁/共40頁第十三頁，共41頁。

另一方面，而且是更重要的一個原因，通過實(shí)現(xiàn)可以構(gòu)造一個與原系統(tǒng)輸入輸出等價的系統(tǒng)以便進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)等，從而實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制，改善系統(tǒng)控制特性。

2．微分方程不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)則

（2.56b）

第14頁/共40頁第十四頁，共41頁。

因此有（2.57）

從式（2.56）可見，當(dāng)，時可得，，代入式(2.55)可得式(2.44)，就是前面討論的微分方程不含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情況的結(jié)果。第15頁/共40頁第十五頁，共41頁。

例2.11以知系統(tǒng)的微分方程為

求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解由式（2.57）得

第16頁/共40頁第十六頁，共41頁。

取狀態(tài)變量為

由式(2.55a)得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式描述為

第17頁/共40頁第十七頁，共41頁。

（2）方法二

這種方法的思路是基于方框圖變換，與微分方程(2.45)等效的方框圖如圖（2.8a）所示，等效變換為圖（2.8b）。第18頁/共40頁第十八頁，共41頁。

引入中間變量z，則微分方程(2.45)可以化成下面兩個方程表示（2.58a）

（2.58b）取狀態(tài)變量，，，則

第19頁/共40頁第十九頁，共41頁。

所以，狀態(tài)方程為

或

(2.59a)第20頁/共40頁第二十頁，共41頁。

由式(2.58)得輸出方程為

(2.59b)一般，則

(2.59c)這種方案選擇的狀態(tài)變量已不具有明顯的物理意義，但便于記憶。

第21頁/共40頁第二十一頁，共41頁。

例2.12以知系統(tǒng)的微分方程為求系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。解由式（2.59）得狀態(tài)空間描述為

由輸入輸出描述構(gòu)造狀態(tài)空間描述，即系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)問題的方法還很多，例如由傳遞函數(shù)構(gòu)造狀態(tài)空間表達(dá)式。第22頁/共40頁第二十二頁，共41頁。

2.4傳遞函數(shù)

2.4.1傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的定義設(shè)描述線性定常系統(tǒng)的微分方程為

(2.60)因?yàn)榭刂评碚撝胤治鱿到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與系統(tǒng)的動態(tài)性能之間的關(guān)系，所以，為簡化分析，設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零。在零初始條件下，對式（2.60）取拉氏變換

第23頁/共40頁第二十三頁，共41頁。

記（2.61）反映了系統(tǒng)輸出與輸入之間的關(guān)系，描述了系統(tǒng)的特性，通常稱為線性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)。定義：在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)，記為。

第24頁/共40頁第二十四頁，共41頁。

顯然，在零初始條件下，若線性定常系統(tǒng)的輸入的拉氏變換為，則系統(tǒng)的輸出的拉氏變換為（2.62）系統(tǒng)的輸出為（2.63)由于單位脈沖輸入信號的拉氏變換為

所以，單位脈沖輸入信號作用下系統(tǒng)的輸出的拉氏變換為

第25頁/共40頁第二十五頁，共41頁。

單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出為g(t),則（2.64）可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的拉氏反變換即為單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出。因此，系統(tǒng)的單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出完全描述了系統(tǒng)動態(tài)特性，所以也是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，通常稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。第26頁/共40頁第二十六頁，共41頁。

定義在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)在單位脈沖輸入信號作用下的輸出響應(yīng)，稱為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，記為g(t)。

2.4.2傳遞函數(shù)的表達(dá)式傳遞函數(shù)一般是復(fù)變函數(shù)，可以變換為各種形式。第27頁/共40頁第二十七頁，共41頁。

1．有理分式形式

傳遞函數(shù)最常用的形式是下列有理分式形式（2.65）

傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式D(s)稱為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，D(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，D(s)=0的根稱為系統(tǒng)的特征根或極點(diǎn)。第28頁/共40頁第二十八頁，共41頁。

分母多項(xiàng)式的階次定義為系統(tǒng)的階次。對于實(shí)際的物理系統(tǒng)，多項(xiàng)式D(s)、N(s)的所有系數(shù)為實(shí)數(shù)，且分母多項(xiàng)式的階次n高于或等于分子多項(xiàng)式的階次m，即n≥m。

2．零極點(diǎn)形式將傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式變?yōu)槭滓欢囗?xiàng)式，然后在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，得

n≥m（2.66）

第29頁/共40頁第二十九頁，共41頁。

式中，稱為系統(tǒng)的零點(diǎn)；為系統(tǒng)的極點(diǎn)；k為系統(tǒng)的根軌跡放大系數(shù)。系統(tǒng)零點(diǎn)、極點(diǎn)的分布決定了系統(tǒng)的特性，因此，可以畫出傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)圖，直接分析系統(tǒng)特性。在零極點(diǎn)圖上，用“

”表示極點(diǎn)位置，用“

”表示零點(diǎn)第30頁/共40頁第三十頁，共41頁。

狀態(tài)變量選為則

位置。

第31頁/共40頁第三十一頁，共41頁。

例如，傳遞函數(shù)

的零極點(diǎn)圖如圖2.9所示。第32頁/共40頁第三十二頁，共41頁。

3．時間常數(shù)形式將傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式變?yōu)槲惨欢囗?xiàng)式，然后在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，得（2.67）（2.68）

第33頁/共40頁第三十三頁，共41頁。

式中，K為傳遞系數(shù)，通常也為系統(tǒng)的放大系數(shù)；為系統(tǒng)的時間常數(shù)。2.4.3線性系統(tǒng)的基本環(huán)節(jié)1．問題的提出不同性質(zhì)的物理系統(tǒng)常常有相同的數(shù)學(xué)模型。任何線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以看作一些基本環(huán)節(jié)組合而成。第34頁/共40頁第三十四頁，共41頁。

2．傳遞函數(shù)的一般形式

純滯后現(xiàn)象：實(shí)際系統(tǒng)大多數(shù)都有延時效應(yīng)，即在輸入作用一段時間τ后，系統(tǒng)才有輸出響應(yīng)，在時間τ內(nèi)輸入雖然作了變化，但系統(tǒng)輸出量并不作相應(yīng)變化。輸出量的變化落后于輸入量變化的時間τ稱為純滯后時間。第35頁/共40頁第三十五頁，共41頁。

例2.13圖2.10所示為溶解槽溶解系統(tǒng)，料斗中的溶質(zhì)用皮帶輸送機(jī)送至加料口。若在料斗處加大送料量，溶解槽中的溶液濃度要等增加的溶質(zhì)由料斗送到加料口并落入槽中后才改變，也就是說，溶液濃度的變化比加料量的改變落后輸送帶輸送的時間，這就是純滯后現(xiàn)象，純滯后時間為第36頁/共40頁第三十六頁，共41頁。

第37頁/共40頁第三十七頁，共41頁。

下面推導(dǎo)該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。首先不考慮純滯后，即假設(shè)料斗的溶質(zhì)直接落入溶解槽，則溶液濃度與料斗加料量的關(guān)系為

傳遞函數(shù)為

當(dāng)溶質(zhì)由輸送機(jī)輸送時，即考慮純滯后，其微分方程應(yīng)為

第38頁/共40頁第三十