二項式定理教學設計金惠萍

[課題]二項式定理（一）教材：人教A版選修2-3第一章第三節(jié)授課教師：浙江省義烏中學金惠萍［教案內容解讀］在多項式的運算中，二項式定理有著非常重要的地位，它是帶領我們進入微積分學領域大門的一把金鑰匙，只是在中學階段還沒有顯示機會.本小節(jié)內容安排在計數(shù)原理之后，一方面是因為二項式定理的推導過程及證明要用到計數(shù)原理，另一方面二項式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，因此本課的學習對排列組合部分知識的深化認識有好處.另外，二項式定理也為學習隨機變量及其分布做準備.二項式定理還可以解決近似計算、整除、不等式證明等問題，有著綜合性強、聯(lián)系不同知識點的特點。［教案目標設置］依據(jù)課程標準，結合學生的認知發(fā)展水平和心理特征，確定本節(jié)課的教案目標如下：（一）教案目標、知識與技能：1(1)理解二項式定理是代數(shù)乘法公式的推廣.(2)理解并掌握二項式定理，能利用計數(shù)原理證明二項式定理.過程與方法：2.通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養(yǎng)學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式．情感、態(tài)度與價值觀：3.培養(yǎng)學生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會數(shù)學語言的簡潔和嚴謹．（二）重、難點分析44重點：)xax1?)?((的展開式，歸納得到二項式定理．用計數(shù)原理分析、難點：用計數(shù)原理分析二項式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項式展開式各項的形成規(guī)律．［學生學情分析］本節(jié)課授課的對象是高二年級的學生，他們已掌握了計數(shù)原理和排列組合知識，具備一定的分析和解決問題的能力，邏輯思維也初步形成，但要把二項式定理與排列組合問題聯(lián)系起來，還是比較困難的，因此需要創(chuàng)設一個環(huán)境，從語言感知，文字感知及圖形感知等各個方面構建學生的思維認知。［教案策略分析］為了突出重點、突破難點，在教案中采取了以下策略：1．教法分析新的數(shù)學課程標準提出：掌握數(shù)學知識只是結果，而掌握知識的活動過程才是途徑，通過這個途徑，來挖掘人的發(fā)展?jié)撃懿攀悄康模Y果應讓位于過程.因此，在教案中，必須貫徹好過程性原則.也就是說，在教案過程中，充分揭示每一個階段的思維活動過程，通過思維活動過程的暴露和數(shù)學創(chuàng)新活動過程的演變，使教案活動成為思維活動的教案，由此來啟發(fā)、引導學生直接或間接地感受和體驗知識的產(chǎn)生、發(fā)展和演變過程.變傳統(tǒng)的“接受性、訓練性學習”為新穎的“探究式、發(fā)現(xiàn)式的學習”，變教師是傳授者為組織者、合作者、指導者，在學習過程中，教師想盡辦法激發(fā)學生探究式、發(fā)現(xiàn)式學習的興趣，并使其作為一種教案方式應用于概念、定理、公式和解題教案中，讓學生在探究、發(fā)．.現(xiàn)中獲取知識，發(fā)展能力.從而增強學生的主體意識，提高學生學習的效果．學法分析根據(jù)學生思維的特點，遵循“教必須以學為主立足點”的教案理念，讓每一個學生自主2參與整堂課的知識構建。在教案的各個環(huán)節(jié)中引導學生進行歸納、類比遷移，對照學習。學生在教師營造的“可探索”的環(huán)境里，積極參與，生動活潑地獲取知識，掌握規(guī)律、主動發(fā)現(xiàn)、主動發(fā)展。［教案過程］（一）近似估算，引出問題n引題：2如何近似計算高次方根，比如34【設計意圖】222揭示估算方法驗證方法的可推廣性，用通過用試探近似估算方法可行性，用n)x(1?展開項的必要性，也吻合數(shù)學史發(fā)展的歷程。的源頭問題，引出研究二項式（二）逐步探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律x4項的系數(shù)是多少？展開式中1.探究一：)?x(14x項是怎么形成的？展開式中問題一：)?x(1問題二:系數(shù)是多少？，引導學生從多項式【設計意圖】從特殊的二項式中的指定的某項開始探究，大大降低學習的思維難度乘法法則出發(fā)，運用組合思想解決項的形成問題，突破本節(jié)課思維難點。4展開式還有哪些項？探究二：2.)1?x(問題一：每一項是怎么產(chǎn)生的?問題二。共有多少項？.【設計意圖】利用其它項的特征分析，進一步明確組合思路，為后續(xù)推廣作準備4展開式又是如何的？探究三：3.)?x(a【設計意圖】從一個量到兩個量都要考慮，這步探究的重點在于項的結構分析。通過幾個問題的層層遞n)b(a?的展開式提供了一種方法，進，引導學生進行再思考，分析各項的形式、項的個數(shù)，這也為推導使學生在后續(xù)的學習過程中有“法”可依．4.探究四：推廣到一般情況會是怎么樣的？44n)x(?x)a?(1)b(a?的展、展開式的探究方法，引發(fā)思考，由學生類比得出【設計意圖】通過仿照開式，從而上升形成一般結論。（三）形成定理，說理證明0n1n?1kn?kknnn*二項式定理：)?Nb(n?Cab??C?(a?b)C?a?Cabnnnnn)b(a?)ba?b(a?)(，由分步計數(shù)原理ba或選相乘，每個是n證明：個在相乘時，有兩種選擇，選n?kkn2ba(k?0,1,n)的形式，對于每一項項（包括同類項），其中每一項都是可知展開式共有n?kkba(a?b)(a?b)(a?b)個n選了kk，它是由個nb選了，－個a得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當于從kC的組合數(shù)個中取kb，將它們合并同類項，就得二項展開式，這就是二項式定理．n【設計意圖】二項式定理的證明采用“說理”的方法，從多項式乘法法則角度對展開過程進行分析，用計數(shù)原理概括出項的形式，用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數(shù)，從而得出用組合數(shù)表示的展開式．（四）熟悉定理，簡單應用1.二項式定理的公式特征：（由學生歸納，讓學生熟悉公式）①項數(shù)：共有項.1n?②次數(shù)：字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n．各項的次數(shù)都等于n．012knk③二項式系數(shù):依次為稱為二項式系數(shù).???C,,C?C,C,C,,，這里),C,(kn0,1nnnnnnkn?kk④二項展開式的通項:式中的叫做二項展開式的通項.用表示.TbCa1?knkn?kk即通項為展開式的第項:=T1k?bCa1k?n2.例題應用：5)?x(2的展開式1.例求.7)?2(x的展開式變式訓練：求.n)?b(a）的展開理解，并且進一步明確展開式中各項的規(guī)律【設計意圖】熟練公式，考察對.7展開式的第4求項.2.例)(1?2x7展開式的第6：求項的二項式系數(shù).變式1)(1?2x57項的系數(shù)：求.展開式的變式2x)?12x(【設計意圖】掌握通項，區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)，培養(yǎng)學生的運算能力.（五）課堂小結，課后延伸1.小結：0n1n?1kn?kknnn*公式知識層面：)N(n?b?Cab??Cb(a?)C?Ca?ab?：nnnnkn?kk通項：=，TbaCk?0,1,2,3,n1?kn方法層面：1.從特殊到一般的探究方式.2.從觀察到歸納，從猜想到證明的思維模式.2.作業(yè)鞏固型作業(yè)：課本31頁習題1、2、3、4623思維拓展型作業(yè)項的系數(shù).的展開式中含xyzy：試求(x+2+z)3.拓展知識觀看微視頻《二項式定理的那些事》教案設計說明二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運用，是學習概率的重要基礎．本節(jié)課的教案重點是“使學生掌握二項式定理的形成過程”，在教案中，采用“問題――探究”的教案模式，把整個課堂分為呈現(xiàn)問題、探索規(guī)律、總結規(guī)律、應用規(guī)律四個階段．讓學生體會研究問題的方式方法，培養(yǎng)學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式，讓學生體驗定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程．本節(jié)課的難點是用計數(shù)原理分析二項式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項式之和時各項系數(shù)的規(guī)．律．在教案中，設置了對多項式乘法的再認識，引導學生運用計數(shù)原理來解決項數(shù)問題，明確每一項的4)?x(1特征，為后面二項展開式的推導作鋪墊．為突破難點，本課采用有特殊到一般的推導思路，先以為對象進行一個量的變化探究，引導學生用計數(shù)原理