江蘇省蘇州市平江中學(學士街校區(qū))2021-2022學年高三數(shù)學文測試題含解析

江蘇省蘇州市平江中學(學士街校區(qū))2021-2022學年高三數(shù)學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知三棱錐P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A．π B．4π C．π D．16π參考答案：D【考點】LG：球的體積和表面積．【分析】根據(jù)正弦定理得出截面圓的半徑為1，利用球的幾何性質(zhì)把空間轉(zhuǎn)化為平面為梯形PANO，利用平圖形的幾何性質(zhì)求解．【解答】解：根據(jù)題意得出圖形如下；O為球心，N為底面△ABC截面圓的圓心，ON⊥面ABC∵，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，∴根據(jù)正弦定理得出：=2r，即r=1，∵PA⊥面ABC，∴PA∥ON，∵PA=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R，∴根據(jù)等腰三角形得出：PAO中PA=2d=2，d=∵R2=12+（）=4，∴三棱錐的外接球的表面積為4πR2=16π故選：D2.已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸是直線，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略3.函數(shù)在點（x0，y0）處的切線方程，則等于A、－4

B、－2

C、2

D、4參考答案：D4.若對?x，y∈（0，+∞），不等式4xlna＜ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立，則正實數(shù)a的最大值是（）A． B．e C．e D．2e參考答案：A【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】綜合題；推理和證明．【分析】設f（x）=ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2，原不等式恒成立，即為不等式4xlna≤f（x）恒成立．運用基本不等式和參數(shù)分離可得2lna≤在x＞0時恒成立，令g（x）=，通過求導判斷單調(diào)性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．【解答】解：設f（x）=ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2，不等式4xlna≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立，即為不等式4xlna≤f（x）恒成立．即有f（x）=ex﹣2（ey+e﹣y）+2≥2+2ex﹣2（當且僅當y=0時，取等號），由題意可得4xlna≤2+2ex﹣2，即有2lna≤在x＞0時恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即有（x﹣1）ex﹣2=1，令h（x）=（x﹣1）ex﹣2，h′（x）=xex﹣2，當x＞0時h（x）遞增，由于h（2）=1，即有（x﹣1）ex﹣2=1的根為2，當x＞2時，g（x）遞增，0＜x＜2時，g（x）遞減，即有x=2時，g（x）取得最小值，為1，則有2lna≤1．∴0＜a≤當x=2，y=0時，a取得最大值．故選：A．【點評】本題考查不等式恒成立問題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)運用導數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關鍵．5.已知實數(shù)滿足，每一對整數(shù)對應平面上一個點，則過這些點中的其中三點可作多少個不同的圓

（

）

A．70

B．61

C．52

D．43參考答案：答案：D6.已知集合,則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1=1，公差d=2，Sn+2﹣Sn=36，則n=（） A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：D【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)． 【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】由Sn+2﹣Sn=36，得an+1+an+2=36，代入等差數(shù)列的通項公式求解n． 【解答】解：由Sn+2﹣Sn=36，得：an+1+an+2=36， 即a1+nd+a1+（n+1）d=36， 又a1=1，d=2， ∴2+2n+2（n+1）=36． 解得：n=8． 故選：D． 【點評】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的通項公式，是基礎題． 8.已知雙曲線E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，|F1F2|=6，P是E右支上一點，PF1與y軸交于點A，△PAF2的內(nèi)切圓在邊AF2上的切點為Q，若|AQ|=，則E的離心率是（）A．2 B． C． D．參考答案：C【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由雙曲線的定義和內(nèi)切圓的切線性質(zhì)：圓外一點向圓引切線，則切線長相等，結(jié)合離心率公式即可得到所求值．【解答】解：設△PAF2的內(nèi)切圓在邊PF2上的切點為M，在AP上的切點為N，則|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|=，|QF2|=|MF2|，由雙曲線的對稱性可得|AF1|=|AF2|=|AQ|+|QF2|=+|QF2|，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PM|﹣|MF2|=+|QF2|+|AN|+|NP|﹣|PM|﹣|MF2|=2=2a，解得a=，又|F1F2|=6，即有c=3，離心率e==．故選：C．9.已知=b+i（a，b∈R），其中i為虛數(shù)單位，則a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點】復數(shù)代數(shù)形式的混合運算．【分析】先化簡復數(shù)，再利用復數(shù)相等，解出a、b，可得結(jié)果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由復數(shù)相等的意義知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），則﹣a=1，b=2，a+b=1．故選B．10.已知直線l：交雙曲線：于A，B兩點，過A作直線l的垂線AC交雙曲線于點C．若，則雙曲線的離心率為(

)A. B. C.2 D.參考答案：A【分析】聯(lián)立直線xy和雙曲線方程可得A，B的坐標，以及|AB|，直角三角形的性質(zhì)可得|AC||AB|，設出直線AC的方程，聯(lián)立雙曲線方程，運用韋達定理可得C的橫坐標，由弦長公式，化簡計算可得a＝b，進而得到所求離心率．【詳解】聯(lián)立直線xy和雙曲線方程可得x2，y2，可設A（，），可得|AB|＝2|OA|，在直角三角形ABC中，∠ABC＝60°，可得|AC||AB|，設直線AC的方程為yx，代入雙曲線方程可得（b2﹣3a2）x2x﹣a2b20，可得xC，即有|xC﹣xA|＝||，可得|AC|＝2?，即為a2+b2＝|b2﹣3a2|，可得a＝b，e．故選：A．【點睛】本題考查雙曲線的方程和運用，考查直線和雙曲線的位置關系，以及聯(lián)立方程組，運用韋達定理，考查化簡運算能力，屬于綜合題．求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（不等式選做題）已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|，則不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集為

．參考答案：略12.已知、是雙曲線（）的兩焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是

．參考答案：13.設關于x的不等式的解集是，則實數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：14.已知正四棱柱的底面邊長為2，高為3，則該正四棱柱的外接球的表面積為

．參考答案：17π15.在如圖所示的算法流程圖中，若輸入m=4，n=3，則輸出的a=

．參考答案：12略16.在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O為極

點，射線Ox為極軸的極坐標系中，曲線的方程為，曲線與交于M、N兩點，則線段MN的長度為_______．參考答案：略17.已知函數(shù)若，則實數(shù)＝

.參考答案：2

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數(shù)（），．(1)若函數(shù)圖象上的點到直線距離的最小值為，求的值；(2)關于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)的取值范圍；(3)對于函數(shù)與定義域上的任意實數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”．設，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．參考答案：（1）因為，所以，令得：，此時，…………2分則點到直線的距離為，即，解之得．…………4分（3）設，則．所以當時，；當時，．因此時，取得最小值，則與的圖象在處有公共點．…………12分設與存在“分界線”，方程為，19.（本小題滿分12分）PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的細顆粒物，它對人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量的影響很大．2012年2月，中國發(fā)布了《環(huán)境空氣質(zhì)量標準》，開始大力治理空氣污染．用依次表示2013年到2017年這五年的年份代號，用表示每年3月份的PM2.5指數(shù)的平均值（單位：）．已知某市2013年到2016年每年3月份的PM2.5指數(shù)的平均值的折線圖如下：（Ⅰ）根據(jù)折線圖中的數(shù)據(jù)，完成下列表格：年份2013201420152016年份代號（）1234PM2.5指數(shù)（）

（Ⅱ）建立關于的線性回歸方程；（Ⅲ）在當前治理空氣污染的力度下，預測該市2017年3月份的PM2.5指數(shù)的平均值．附：回歸直線方程中參數(shù)的最小二乘估計公式：．參考答案：(Ⅰ)表格見解析；(Ⅱ)；（Ⅲ）.考點：折線圖、線性回歸方程及運用．20.（滿分12分）如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中點．（Ⅰ）求證：B1C//平面A1BD；（Ⅰ）求二面角A—A1B—D的余弦值．參考答案：解：(1)證明：連交于點，連.則是的中點，∵是的中點，∴∵平面，平面，∴∥平面.…6分

(2)法一：設,∵,∴,且，作，連∵平面⊥平面，∴平面，∴∴就是二面角的平面角，在中，，在中，，即二面角的余弦值是.………12分解法二：如圖，建立空間直角坐標系.則，，，∴，，，設平面的法向量是，則由，取設平面的法向量是，則由，取記二面角的大小是，則，即二面角的余弦值是.…………12分21.已知函數(shù)，（Ⅰ）當時，求的極大值；（Ⅱ）當時，（1）試討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）當時，曲線上總存在相異兩點、，使得曲線在點、處的切線互相平行，求的取值范圍.參考答案：解（Ⅰ）當時，

…

…

…

…

1分當或時，；當時，

∴在和上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

…

3分故

…

…

…

…

……

4分（Ⅱ）（1）

…

…

…

…

…

…5分①當時，則，故時，；時，此時在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

…

…

…

6分②當時，則，故，有恒成立，此時在上單調(diào)遞減；

…

…

…

…

…

…

7分③當時，則，故時，；時，此時在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

…

…

…

8分（2）由題意，可得（，且）即

…

…

9分∵，由不等式性質(zhì)可得恒成立，又∴對恒成立

…

10分令，則對恒成立∴在上單調(diào)遞增，∴

…

…

11分故

…

…

…

…

…

…

……

…

13分從而“對恒成立”等價于“”∴的取值范圍為

…

…

…

…

…

…

…

14分

略22.如圖，正方形ADMN與矩形ABCD所在的平面相互垂直，AB=2AD=6，點E為線段AB上一點．（1）若點E是AB的中點，求證：BM∥平面NDE；（2）若直線EM與平面所成角的大小為，求VE﹣ADMN：VE﹣CDM．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【分析】（1）連結(jié)AM，設AM∩ND