應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析 付德印課件01. 緒論

1應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析

2第一章緒論

本章主要討論:●多元統(tǒng)計(jì)分析概述●多元統(tǒng)計(jì)分析的應(yīng)用●線性代數(shù)基礎(chǔ)

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第一節(jié)多元統(tǒng)計(jì)分析概述

本節(jié)基本內(nèi)容:

一、多元統(tǒng)計(jì)分析的涵義二、多元統(tǒng)計(jì)研究的內(nèi)容和方法

4一、多元統(tǒng)計(jì)分析的涵義多元統(tǒng)計(jì)分析（簡稱多元分析），是運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來研究多變量問題的理論和方法，它是一元統(tǒng)計(jì)學(xué)的推廣。在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)現(xiàn)象涉及到的變量不止一個(gè)，而經(jīng)常是多個(gè)變量，這些變量之間往往存在一定的聯(lián)系。按照一元統(tǒng)計(jì)方法分析多變量問題，往往不容易取得好的研究結(jié)論。這就需要同時(shí)對多個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行分析研究。

5從應(yīng)用上講，多元統(tǒng)計(jì)分析實(shí)際上是以個(gè)變量的次觀測數(shù)據(jù)形成矩陣為依據(jù)，根據(jù)實(shí)際問題的需要所給出種種分析方法。一、多元統(tǒng)計(jì)分析的涵義6多元統(tǒng)計(jì)研究的內(nèi)容和方法概括為(Kendall)：理論基礎(chǔ)隨機(jī)向量、矩陣抽樣分布理論，統(tǒng)計(jì)推斷理論等。降維問題主成分分析，因子分析，對應(yīng)分析等。歸類問題聚類分析，判別分析等。相依問題典型相關(guān)分析、回歸分析等。二、多元統(tǒng)計(jì)研究的內(nèi)容和方法7

第二節(jié)多元統(tǒng)計(jì)分析的應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析方法是解決實(shí)際問題有效的數(shù)據(jù)處理分析方法，隨著電子計(jì)算機(jī)使用的日益普遍，多元統(tǒng)計(jì)分析方法廣泛應(yīng)用于地質(zhì)科學(xué)、氣象科學(xué)、醫(yī)療衛(wèi)生、體育、語言學(xué)、考古學(xué)、教育學(xué)、心理學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)等自然學(xué)科、社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。其中，僅就在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用，主要可集中在如下的場合：8對多變量進(jìn)行降維處理，選擇數(shù)目較少的變量子集合。對研究對象需要進(jìn)行分類研究、分類處理、構(gòu)造分類模式。建立經(jīng)濟(jì)模型和利用模型進(jìn)行外推。研究經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間相互關(guān)系。

第二節(jié)多元統(tǒng)計(jì)分析的應(yīng)用9

第三節(jié)線性代數(shù)基礎(chǔ)

本節(jié)基本內(nèi)容:對《應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)》課程學(xué)習(xí)過程中所須具備的線性代數(shù)知識作簡單的回顧和介紹。包括：

向量、矩陣及基本運(yùn)算，行列式，逆矩陣和矩陣的秩，特征根、特征向量，矩陣的跡，正定矩陣和非負(fù)定矩陣，投影矩陣，矩陣微商。10約定：向量用小寫粗體字母(如

，

等)表示，矩陣用大寫粗體字母(如

，

等)表示，標(biāo)量用斜體字母(如

，

等)表示。

第三節(jié)線性代數(shù)基礎(chǔ)11向量：由

個(gè)實(shí)數(shù)組成的一個(gè)數(shù)組稱為

維向量，記為，或

注意，我們提到的向量均指列向量；

行向量用列向量的轉(zhuǎn)置表示，如。

一、向量12維向量在幾何上表示一個(gè)有方向的線段。向量可以進(jìn)行數(shù)量乘法和加法運(yùn)算。令為任意常數(shù)，和，則向量的數(shù)量乘法和加法可分別定義為：一、向量13矩陣：將個(gè)數(shù)排成一個(gè)形如行列的長方形表：稱為矩陣，常記為，其中為第行，第列的元素。本書中假定均為實(shí)數(shù)。二、矩陣及基本運(yùn)算14矩陣的運(yùn)算矩陣加法。若與為矩陣，則與的和為矩陣對應(yīng)元素的和：數(shù)量乘積。若為一常數(shù)，它與的積定義為該常數(shù)與矩陣元素的乘積：二、矩陣及基本運(yùn)算15矩陣乘法。若，，則與的積定義為：在一般情況下，。從上述矩陣運(yùn)算定義中可以得到如下運(yùn)算規(guī)律：二、矩陣及基本運(yùn)算16若為方陣，滿足，則稱為正交矩陣。二、矩陣及基本運(yùn)算17矩陣分塊矩陣的分塊是處理階數(shù)較高的矩陣時(shí)常用的方法。有時(shí)，我們把一個(gè)高階矩陣看成是由一些低階矩陣組成的，就像矩陣由數(shù)值組成一樣。設(shè)為矩陣，將剖分稱四塊，表示成其中，表示矩陣，表示矩陣，表示矩陣，為矩陣。分塊矩陣也滿足一般矩陣的乘法和加法等運(yùn)算規(guī)律。二、矩陣及基本運(yùn)算18若矩陣與有相同的分塊，則若為矩陣，剖分成其中，為矩陣，為矩陣，為矩陣，為矩陣。則有二、矩陣及基本運(yùn)算19二、矩陣及基本運(yùn)算20（一）行列式一個(gè)階方陣對應(yīng)一個(gè)數(shù)，記為稱為的行列式。三、行列式、逆矩陣和矩陣的秩21直接由行列式的定義計(jì)算行列式是很麻煩的，通常利用行列式的一些性質(zhì)，可以簡化計(jì)算：(1)若矩陣的某行(或列)為零，則行列式。(2)。(3)將矩陣某行(或列)乘以數(shù)所得矩陣的行列式為。(4)若矩陣的兩行(或兩列)相同，則行列式。(5)若將矩陣兩行(或兩列)互換所得矩陣的行列式為。(6)若將矩陣的某一行(或列)乘上一個(gè)常數(shù)加到另一行相應(yīng)的元素上，所得矩陣的行列式不變，仍為。三、行列式、逆矩陣和矩陣的秩22（二）逆矩陣設(shè)一個(gè)階方陣，若，則稱為非奇異矩陣，若，則稱為奇異矩陣。若為階非奇異矩陣，則存在唯一的矩陣使得，稱為的逆矩陣，記為，可以證明其中，為的代數(shù)余子式。三、行列式、逆矩陣和矩陣的秩23逆矩陣具有如下性質(zhì)：

(1)。(2)。(3)若和均為階非退化矩陣，則。(4)。(5)若是正交矩陣，則有。(6)若非退化，即（），則。(7)若和為非退化方陣，則。三、行列式、逆矩陣和矩陣的秩24（三）逆矩陣的秩設(shè)為階矩陣。若存在的一個(gè)階子方陣的行列式不為零，而的一切階子方陣的行列式均為零，則稱的秩為，記為。矩陣的秩具有下列基本性質(zhì)：(1)，當(dāng)且僅當(dāng)。(2)若為階矩陣，且，則。(3)。(4)若為矩陣和為矩陣，則。三、行列式、逆矩陣和矩陣的秩25(5)若和為矩陣，則

(6)若和為非退化矩陣，則

(7)階方陣是非退化的，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)稱為滿秩矩陣。三、行列式、逆矩陣和矩陣的秩26設(shè)為階方陣，則方程的左邊為次多項(xiàng)式，由多項(xiàng)式的理論知道，該方程有個(gè)根(可能有重根)，記為，并稱為矩陣的特征根或特征值。若是方程的一個(gè)根，則為奇異矩陣，故存在一個(gè)維非零向量使得四、特征根、特征向量27即是矩陣的特征根，而稱為特征根對應(yīng)的特征向量。今后一般取為單位向量，即滿足。特征根和特征向量具有以下性質(zhì)：(1)矩陣和有相同的特征根。(2)若為矩陣，為矩陣，則和有相同的特征根。(3)若為實(shí)對稱矩陣，則的特征根全為實(shí)數(shù)，個(gè)特征根按大小依次表示為。四、特征根、特征向量28若，則相應(yīng)的特征向量和必正交，即

(4)若是矩陣的特征根，可逆，則的特征根為。(5)，即矩陣行列式等于其特征根的乘積。四、特征根、特征向量29若是階方陣，其對角線元素之和稱為矩陣的跡，記為

方陣的跡具有如下性質(zhì)：(1)若為階方陣的特征根，則

(2)五、矩陣的跡30(3)。(4)。(5)。(6)。五、矩陣的跡31設(shè)為階對稱矩陣，是一個(gè)維列向量，則稱為的二次型。若對于一切，有，則稱為正定矩陣，記為；若對于一切，有，則稱為非負(fù)定矩陣，記為。六、正定矩陣和非負(fù)定矩陣32正定矩陣和非負(fù)定矩陣具有如下性質(zhì)：(1)一個(gè)對稱陣是正(非負(fù))定矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它的特征根為正(非負(fù))。(2)若，則。(3)設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)。(4)，對于一切矩陣成立。六、正定矩陣和非負(fù)定矩陣33

(5)若(或），則必存在一個(gè)正交矩陣，使得其中，為矩陣的特征根，的列向量為相應(yīng)的特征向量，于是有。(6)由性質(zhì)(1)，均非負(fù)，即，記特別地，令，有，稱為的平方根矩陣。六、正定矩陣和非負(fù)定矩陣34

(7)若(或)，則存在(或)，使得。六、正定矩陣和非負(fù)定矩陣35若階方陣滿足