2023版高考數(shù)學(xué)考點47條件概率與二項的分布試題解讀與變式

考點47條件概率與二項的分布【考綱要求】了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨立的概念；理解n次獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ图岸椃植?，并能解決一些簡單問題.【命題規(guī)律】條件概率與二項的分布問題在選擇題、填空題以及解答題中都會考查，在解答題中出現(xiàn)時難度較大.【典型高考試題變式】〔一〕二項分布例1.【2023課標(biāo)II】一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，那么.【答案】【變式1】隨機(jī)變量X服從二項分布B(n，p)，假設(shè)E(X)＝30，D(X)＝20，那么p＝________.【答案】【解析】由E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(np＝30，,np〔1－p〕＝20，))解得.【變式2】設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生的概率相同，且在三次獨立重復(fù)試驗中，假設(shè)事件A至少發(fā)生一次的概率為eq\f(63,64)，那么事件A恰好發(fā)生一次的概率為________．【答案】【解析】假設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生說明試驗成功，設(shè)每次試驗成功的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)X～B(3，p)，那么有1－(1－p)3＝eq\f(63,64)，得p＝eq\f(3,4)，那么事件A恰好發(fā)生一次的概率為Ceq\o\al(1,3)×eq\f(3,4)×＝.〔二〕條件概率例2.(2023·課標(biāo)Ⅱ)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料說明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6.某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，那么隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【解析】設(shè)“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良〞為事件A，“連續(xù)兩天為優(yōu)良〞為事件AB，那么某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為P(B|A)．由條件概率可知，P(B|A)＝eq\f(P〔AB〕,P〔A〕)＝eq\f(0.6,0.75)＝eq\f(4,5)＝0.8，應(yīng)選A.【名師點睛】計算條件概率有兩種方法．(1)利用定義P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)；(2)假設(shè)n(C)表示試驗中事件C包含的根本領(lǐng)件的個數(shù)，那么P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).【變式1】先后擲骰子〔骰子的六個面分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6個點〕兩次落在水平桌面后，記正面朝上的點數(shù)分別為x、y，設(shè)事件A為“x+y為偶數(shù)〞，事件B為“x、y中有偶數(shù)，且x≠y〞，那么概率P(B|A)=〔〕A．B．C．D．【答案】B【變式2】甲、乙兩人獨立地對同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)目標(biāo)被擊中，那么它是被甲擊中的概率為()A．0.45B．0.6【答案】D【解析】設(shè)目標(biāo)被擊中為事件B，目標(biāo)被甲擊中為事件A，那么由P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，得P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(PA,PB)＝eq\f(0.6,0.8)＝0.75.【數(shù)學(xué)思想】〔1〕函數(shù)方程思想.〔2〕轉(zhuǎn)化與化歸思想.【溫馨提示】〔1〕條件概率的問題中：①事件A與事件B有時是相互獨立事件，有時不是相互獨立事件，要弄清P(AB)的求法．②當(dāng)根本領(lǐng)件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的根本領(lǐng)件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的根本領(lǐng)件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n〔AB〕,n〔A〕).〔2〕注意二項分布滿足的條件：①每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的．②各次試驗中的事件是相互獨立的．③每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．④隨機(jī)變量是這n次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)．③注意弄清楚超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系.【典例試題演練】1.〔黑龍江省大慶第一中學(xué)2023屆高三下學(xué)期第二階段考試數(shù)學(xué)〔理〕試題〕先后擲骰子〔骰子的六個面分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6個點〕兩次落在水平桌面后，記正面朝上的點數(shù)分別為x、y，設(shè)事件A為“x+y為偶數(shù)〞，事件B為“x、y中有偶數(shù)，且x≠y〞，那么概率P(B|A)=〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】事件A為“為偶數(shù)〞所包含的根本領(lǐng)件數(shù)有,，，，共18種，事件AB為“x、y中有偶數(shù)，且x≠y，x+y為偶數(shù)〞，所包含的根本領(lǐng)件數(shù)有，共6種，由條件概率計算公式可得P(B|A)=.2.從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)〞，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)〞，那么P(B|A)＝()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)【答案】B【解析】P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，又A?B，那么P(AB)＝P(B)＝eq\f(1,10)，所以P(B|A)＝eq\f(P〔AB〕,P〔A〕)＝eq\f(P〔B〕,P〔A〕)＝eq\f(1,4).3.(eq\a\vs4\al(2023·新課標(biāo)Ⅱ))某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料說明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，那么隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8B.0.75C.0【答案】A4.【2023年第一次全國大聯(lián)考〔新課標(biāo)卷Ⅱ〕】甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加四項體育比賽，每人限報其中一項，記事件“4名同學(xué)所報比賽各不相同〞，事件“甲同學(xué)獨報一項比賽〞，那么〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，應(yīng)選A．5.某運(yùn)發(fā)動投籃命中率為0.6，他重復(fù)投籃5次，假設(shè)他命中一次得10分，沒命中不得分；命中次數(shù)為X，得分為Y，那么E(X)，D(Y)分別為()A.0.6，60B.3，12C.3，120D.3，1【答案】C【解析】X～B(5，0.6)，Y＝10X，所以E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2.D(Y)＝100D(X)＝120，應(yīng)選C.6.假設(shè)ξ～B(n，p)，且＝6，＝3，那么P(ξ＝1)的值為()A.B.C.D.【答案】C【解析】np＝6，npq＝3，∴q＝eq\f(1,2)，p＝1－q＝eq\f(1,2)，n＝12.∴p(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,12)·＝3·2－10，應(yīng)選C.7.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,4)，假設(shè)P(X＜2a－3)＝P(X＞a＋2)，那么aA．3B.eq\f(5,3)C．5D.eq\f(7,3)【答案】D【解析】因為X服從正態(tài)分布N(3,4)，P(X＜2a－3)＝P(X＞a＋2)．所以2a－3＋a＋2＝6，a＝eq\f(7,3).8.1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機(jī)取出一球，那么從2號箱取出紅球的概率是()A.eq\f(11,27)B.eq\f(11,24)C.eq\f(16,27)D.eq\f(9,24)【答案】A9.隨機(jī)變量X服從二項分布B(n，p)，假設(shè)E(X)＝30，D(X)＝20，那么p＝________.【答案】5【解析】由E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(np＝30，,np〔1－p〕＝20，))解得p＝eq\f(1,3).10.甲袋中有2個白球和4個紅球，乙袋中有1個白球和2個紅球.現(xiàn)在隨機(jī)地從甲袋中取出一球放入乙袋，然后從乙袋中隨機(jī)地取出一球，那么取出的球是白球的概率是________.【答案】【解析】設(shè)A表示事件“從甲袋放入乙袋中的球是白球〞，B表示事件“最后從乙袋中取出的球是白球〞.所以P(A)＝eq\f(2,6)，P(A)＝eq\f(4,6)，P(B|A)＝eq\f(2,4)，P(B|A)＝eq\f(1,4).P(B)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝eq\f(2,6)×eq\f(2,4)＋eq\f(4,6)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,3).11.如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)〞，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影局部)內(nèi)〞，那么P(B|A)＝________．【答案】【解析】依題意得，P(A)＝eq\f(\r(2)×\r(2),π)＝eq\f(2,π)，P(AB)＝eq\f(\f(1,2)×1×1,π)＝eq\f(1,2π)，那么由條件概率的意義可知，P(B|A)＝eq\f(P〔AB〕,P〔A〕)＝eq\f(1,4).12.【2023安徽阜陽二模】一企業(yè)從某生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，測量這些產(chǎn)品的某項技術(shù)指標(biāo)值，得到的頻率分布直方圖如圖.〔1〕估計該技術(shù)指標(biāo)值平均數(shù)；〔2〕在直方圖的技術(shù)指標(biāo)值分組中，以落入各區(qū)間的頻率作為取該區(qū)間值的頻率，假設(shè)，那么產(chǎn)品不合格，現(xiàn)該企業(yè)每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品檢測，記不合格產(chǎn)品的個數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.【解析】〔1〕，〔2〕由頻率分布直方圖可知，所以，所以13.【2023江西師大附中、臨川一中聯(lián)考】某理科考生參加自主招生面試，從7道題中〔4道理科題3道文科題〕不放回地依次任取3道作答.〔1〕求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；〔2〕規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對理科題的概率均為，答對文科題的概率均為，假設(shè)每題答對得10分，否那么得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題〔兩理一文〕，求其所得總分的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解析】〔1〕記“該考生在第一次抽到理科題為事件A〞，“該考生第二次和第三次均抽到文科題為事件B〞，那么，.所以該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次抽到文科題的概率為.〔2〕的可能取值為0，10，20，30，那么，，，.所以的分布列為0102030所以，的數(shù)學(xué)期望.14.甲乙兩班進(jìn)行消防平安知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對那么為本隊得1分，答錯不答都得0分，甲隊3人每人答對的概率分別為，乙隊每人答對的概率都是．設(shè)每人答復(fù)正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊總得分．〔1〕求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望E；〔2〕求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率．【解析】〔1〕的可能取值為0，1，2，3;;;,所以的分布列為0123,15.【2023年第一次全國大聯(lián)考〔山東卷〕】某社區(qū)為豐富居民節(jié)日活動，組織了“迎新春〞象棋大賽，由1,2,3號三位男性選手和4,5號兩位女性選手組成混合組參賽.象棋大賽共有三輪，設(shè)三位男性選手在一至三輪勝出的概率依次是；兩名女性選手在一至三輪勝出的概率依次是.〔1〕假設(shè)該組五名選手與另一組選手進(jìn)行小組淘汰賽，每名選手只比賽一局，共五局比賽，求該