2023屆江蘇省徐州市第七中學高三年級上冊學期12月學情檢測數(shù)學試題【含答案】

2023屆江蘇省徐州市第七中學高三上學期12月學情檢測數(shù)學試題一、單選題1．等差數(shù)列為遞增數(shù)列，為其前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式基本量運算公式計算出公差，進而利用求和公式計算出答案.【詳解】設數(shù)列的公差為，由，，得：，解得：，又因為數(shù)列遞增，所以，，所以．故選：A．2．設為可導函數(shù)，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導數(shù)值的定義算出，由導數(shù)的幾何意義，即為在點處的切線的斜率.【詳解】，則根據(jù)導數(shù)值的定義：，由導數(shù)的幾何意義可知，在點處的切線的斜率為.故選：B3．已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，是的前項和，則等于（）A． B． C．10 D．0【答案】D【分析】由a1，a3，a4成等比數(shù)列，可得=a1a4，再利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．【詳解】∵a1，a3，a4成等比數(shù)列，∴=a1a4，∴=a1?（a1+3×2），化為2a1=-16，解得a1=-8．∴則S9=-8×9+×2=0，故選D．【點睛】本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4．函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由導數(shù)的幾何意義判斷【詳解】由圖象可知在上單調遞增故，即故選：B5．數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由數(shù)列的遞推關系知奇數(shù)項構成等差數(shù)列，偶數(shù)項構成等比數(shù)列，由此可分組求和.【詳解】解：因為且為奇數(shù)時，所以所有奇數(shù)項構成為首項，為公差的等差數(shù)列，又因為且為偶數(shù)時，，即所有偶數(shù)項構成為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.故選：D.6．嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造衛(wèi)星.為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，以此類推，其中，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨取數(shù)列，，按照題目條件，計算，然后逐一分析選項進行比較.【詳解】，不妨取，則，，，，，，，，，則，故A錯誤；，則，故B錯誤，，則，故C錯誤，，則，D正確．故選：D．7．已知偶函數(shù)，當時，，則的圖象在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導后，代入可得，由此可得時，；根據(jù)奇偶性可求得時，的解析式，求導后代入即可得到切線斜率.【詳解】當時，，，解得：，當時，；當時，，，又為偶函數(shù)，，即時，，則，.故選：A.8．已知數(shù)列滿足，．記數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意首先整理所給的遞推關系式，得到數(shù)列的通項的范圍，然后利用裂項相消法求和即可確定前100項和的范圍．【詳解】解：因為，所以，所以，，，故，由累加法可得當時，，又因為當時，也成立，所以，所以，，故，由累乘法可得當時，，所以，所以．故選：A．二、多選題9．已知等差數(shù)列，其前n項的和為，則下列結論正確的是A．數(shù)列|為等差數(shù)列 B．數(shù)列為等比數(shù)列C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】設等差數(shù)列的首項為，公差為,，其前n項和為，結合等差數(shù)列的定義和前n項的和公式以及等比數(shù)列的定義對選項進行逐一判斷可得答案.【詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為,其前n項和為選項A.

，則（常數(shù)）所以數(shù)列|為等差數(shù)列，故A正確.選項B.,則（常數(shù)），所以數(shù)列為等比數(shù)列，故B正確.選項C.

由，得，解得所以，故C正確.選項D.由，則，將以上兩式相減可得：，又所以，即，所以D不正確.故選：ABC【點睛】關鍵點睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義的應用以及等差數(shù)列的前n項和公式的應用，解答本題的關鍵是利用通項公式得出，從中解出，從而判斷選項C，由前n項和公式得到，，然后得出，在代入中可判斷D，屬于中檔題.10．下列曲線在x=0處的切線的傾斜角為鈍角的是（

）A．曲線 B．曲線C．曲線 D．曲線【答案】BC【分析】利用導數(shù)的幾何意義進行逐一判斷即可.【詳解】若，則，當時，，故選項A不符合題意；若，則，當時，，故選項B符合題意；若，則，當時，，故選項C符合題意；若，則，當時，，故選項D不符合題意，故選：BC11．已知等比數(shù)列滿足，其前項和．（

）A．數(shù)列的公比為 B．數(shù)列為遞增數(shù)列C． D．當取最小值時，【答案】BD【解析】先結合已知條件，利用找到的關系，由判斷選項A錯誤，由判斷B正確，利用通項公式和前n項和公式代入已知式計算判斷C錯誤，將代入，利用基本不等式求最值及取等號條件，判斷D正確.【詳解】依題意，等比數(shù)列，，其前項和，設公比是q，時，，作差得，，即，故，即，即.選項A中，若公比為，則，即，即時，數(shù)列的公比為，否則數(shù)列的公比不為，故錯誤；選項B中，由知，，故是遞增數(shù)列，故正確；選項C中，由，，，知，，故C錯誤；選項D中，因為，故，當且僅當，即時等號成立，取得最小值1，此時，，故正確.故選：BD.【點睛】方法點睛：由數(shù)列前n項和求通項公式時，一般根據(jù)求解；2、當兩個正數(shù)的積為定值，要求這兩個正數(shù)的和式的最值時，可以使用基本不等式，當且僅當取等號.12．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則下列結論正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則數(shù)列的前項和為C．若，則是等比數(shù)列D．若，則【答案】ACD【解析】當時，化簡得，得到，求得，進而求得，得到A正確，B不正確；當時，得到，求得，求得，可判定C正確，D正確.【詳解】因為數(shù)列的前項和為，且滿足，當時，可得，即，所以，可得，即，又因為，所以，則，可得，故A正確，B不正確.當時，由已知得，即，所以，所以，所以，所以，所以，故C正確，D正確.故選：ACD.【點睛】利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式的策略：1、對于遞推關系轉化為（常數(shù)）或（常數(shù)）可利用等差、等比數(shù)列的通項公式求解；2、對于遞推關系式可轉化為的數(shù)列，通常采用疊加法（逐差相加法）求其通項公式；3、對于遞推關系式可轉化為的數(shù)列，并且容易求數(shù)列前項積時，通常采用累乘法求其通項公式；4、對于遞推關系式形如的數(shù)列，可采用構造法求解數(shù)列的通項公式.三、填空題13．已知，則__________.【答案】【分析】直接求導即可得出答案.【詳解】，則，則故答案為：14．數(shù)列滿足，且對任意的都有，則數(shù)列的前100項的和為__________.【答案】【分析】先根據(jù)累加法求出數(shù)列的通項公式，然后利用裂項求和進行求解.【詳解】由，則，……，于是，則，故數(shù)列的前項的和為：.故答案為：15．已知數(shù)列對于任意，，有，若，則_____________．【答案】4【分析】按遞推公式先求出，再導出，然后求出，再導出，進而求出，由此可求出．【詳解】由題意得，,故答案為:4．四、雙空題16．對于三次函數(shù)，給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”，同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且拐點就是對稱中心，若，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，求：（1）函數(shù)的對稱中心為___________；（2）計算___________.【答案】

【分析】（1）利用拐點的定義求解；（2）根據(jù)（1）的結論，得到求解.【詳解】（1），，令，解得，∴，∴函數(shù)的對稱中心為；（2）∵的對稱中心為，∴，∴，，故答案為：（1）；（2）.五、解答題17．平面直角坐標系中，過坐標原點和點分別作曲線：的切線和，求直線、與軸所圍成的封閉圖形的面積.【答案】【分析】設直線與曲線切于，直線與曲線切于，由導數(shù)的幾何意義求出直線、的方程，再求交點坐標，直線、與軸所圍成的封閉圖形是以點、點之間的線段為底，為高的三角形，求出面積即可.【詳解】，設直線與曲線切于點，其斜率為，的方程為，因為在直線上，所以，解得，的方程為，設直線與曲線切于點，其斜率為，的方程為，因為在直線上，所以，解得，的方程為，由解得，所以直線、的交點坐標為，直線、與軸所圍成的封閉圖形是以點、點之間的線段為底，為高的三角形，所以封閉圖形的面積為.18．已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，.（1）求和；（2）求和：.【答案】(1)..(2)【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式,可得方程組,解方程組即可求得數(shù)列與數(shù)列的通項公式.（2）根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式,可先求得的通項公式,進而根據(jù)分組求得即可求得.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為.由題意,得,解得,∴∵等比數(shù)列的各項均為正數(shù)由解得或（舍）∴（2）由（1）得,.【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式的求法,等比數(shù)列前n項和公式的簡單應用,屬于基礎題.19．記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關系,進而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因為，所以，所以．在中，當時，．故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學歸納法證明．當時顯然成立．假設當時成立，即．那么當時，．綜上，猜想對任意的都成立．即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．(2)由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，,,當n=1時，,當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.【整體點評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關系，進而替換相除消項得到相鄰兩項的關系，從而證得結論；方法二先從的定義，替換相除得到，再結合得到，從而證得結論，為最優(yōu)解；方法三由，得，由的定義得，進而作差證得結論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學歸納法證得結論．（2）由（1）的結論得到，求得的表達式,然后利用和與項的關系求得的通項公式；20．已知函數(shù)滿足，，，．(1)求函數(shù)的表達式；(2)若，數(shù)列滿足，，設，，求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）求出導函數(shù)，然后列方程組求得，得函數(shù)解析式；（2）由（1）得，求出的遞推關系，從而得出的遞推式，得其為等比數(shù)列，從而易得通項公式.【詳解】（1）由題意，所以，解得或，所以或；（2），則，，，，，則，又，所以是等比數(shù)列，.21．已知數(shù)列的前n項和為,（n∈N*）．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和；（3）數(shù)列中是否存在三項，它們可以構成等差數(shù)列？若存在，求出一組符合條件的項；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）不存在滿足條件的三項【分析】（1）由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是等比數(shù)列，結合等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列的通項公式；（2）把數(shù)列的通項公式代入，然后利用錯位相減法求數(shù)列的前項和；（3）假設存在，且，使得成等差數(shù)列，然后推出矛盾可得假設不成立,從而可得不存在滿足條件的三項．【詳解】（1）證明：∵，∴，則，∴，即，∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，,，則，∴；（2）解：，，令，①，②①-②得，，，∴；（3）解：設存在，且，使得成等差數(shù)列，則，即，即，，∵為偶數(shù)，為奇數(shù)，∴不成立，故不存在滿足條件的三項．【點睛】本題考查數(shù)列遞推式，訓練了錯位相減法求數(shù)列的和，考查數(shù)列的函數(shù)特性，訓練了學生的邏輯思維能力與推理運算能力，是中檔題．22．設函數(shù)，.（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為正整數(shù)，設的解集為，求及數(shù)列的前項和；（3）對于（2）中的數(shù)列，設，求數(shù)列的前項和的最大值.【答案】(1);(2);(3).【分析