2023年天津市高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題答案經(jīng)管類

２023年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考解答(經(jīng)管類)填空題（本題1５分，每小題3分)：設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且,則設(shè),若則設(shè)是連續(xù)函數(shù),且其中由x軸、y軸以及直線圍成,則選擇題（本題1５分，每小題３分):設(shè)則在處，(B),（C),（Ｄ)不可導(dǎo).答:(A)設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),且滿足方程已知?jiǎng)t（A)在的某個(gè)鄰域中單調(diào)增長(zhǎng)，(B）在的某個(gè)鄰域中單調(diào)增少,(C)在處取得極小值,(Ｄ)在處取得極大值.答：(C)圖中曲線段的方程為，函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則積分表達(dá)(A)直角三角形AＯB的面積,(B）直角三角形AOＣ的面積，(C）曲邊三角形AＯB的面積，(D)曲邊三角形ＡOC的面積.答:(D)設(shè)在區(qū)間上的函數(shù)且令則(A）(Ｂ)(C)（D)答:(C)設(shè)函數(shù)連續(xù),且,則取值為答：（Ｂ)(7分)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可微,求極限解由導(dǎo)數(shù)的定義和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(７分)設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且,記，求的導(dǎo)數(shù)，并討論在處的連續(xù)性.解由已知的極限知從而有當(dāng)時(shí),從而有由于所以，在處連續(xù).當(dāng)時(shí),在處，由有所以,而故在處連續(xù).(7分)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是三次多項(xiàng)式,其圖像如下圖所示:(Ⅰ)關(guān)于函數(shù),填寫下表:單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)曲線向下凸區(qū)間曲線向上凸區(qū)間曲線的拐點(diǎn)(Ⅱ）若還知道的極大值為６，點(diǎn)在曲線上,試求出的表達(dá)式.解（Ⅰ)單調(diào)增區(qū)間(-２,0)，單調(diào)減區(qū)間，(０，2)極大值點(diǎn)0極小值點(diǎn)-2,２曲線向下凸區(qū)間曲線向上凸區(qū)間曲線的拐點(diǎn)（Ⅱ)設(shè)則由得故從而再由得所以(7分)設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo),且滿足(Ⅰ)研究在區(qū)間的單調(diào)性和曲線的凹凸性.(Ⅱ)求極限解(Ⅰ)當(dāng)時(shí),有故在區(qū)間單調(diào)增長(zhǎng).從而當(dāng)時(shí)，也單調(diào)增長(zhǎng).可見，曲線在區(qū)間向下凸.(或當(dāng)時(shí),可得可見，曲線在區(qū)間向下凸．）（Ⅱ)由題設(shè)知,應(yīng)用洛必達(dá)法則（7分)設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且試證證令則在連續(xù),且對(duì),又由題設(shè)知,當(dāng)時(shí),令則在上連續(xù)，且故有因此于是在上單調(diào)增長(zhǎng),取,即得所證結(jié)論成立.(7分)（Ⅰ)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，為偶函數(shù)，滿足條件(為常數(shù))．證明:;(Ⅱ)設(shè)其中為正整數(shù),計(jì)算定積分.解(Ⅰ)對(duì)于上式右邊的第一個(gè)積分，令有所以（Ⅱ)由于而當(dāng)時(shí)，因此,容易驗(yàn)證,是偶函數(shù)．應(yīng)用(Ⅰ)的結(jié)論(7分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),并且對(duì)任一,存在使得證明:存在使證法一應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理,存在,使由題設(shè)，對(duì)于,存在，使得可見現(xiàn)在證明:事實(shí)上，假如由題設(shè)，存在,使此與“是在上的最小值”矛盾.綜上,得到結(jié)論：于是,應(yīng)用介值定理,存在使證法二任取一個(gè)由題設(shè)存在使從而存在使如此繼續(xù)下去，可得數(shù)列使由于有界無窮數(shù)列必有一個(gè)收斂的子數(shù)列,可設(shè)存在一個(gè)，使由的連續(xù)性,證畢.（７分）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且直線是曲線上任意一點(diǎn)處的切線,其中記直線與曲線以及直線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為試問為什么值時(shí)取得最小值.解切線的方程為即于是可見，在連續(xù)，在可導(dǎo).令,由于在內(nèi)有唯一的駐點(diǎn)并且,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),因此,在處取得最小值．十一.（７分)設(shè)(1)閉曲線是由圓錐螺線：，（從0變到)和直線段構(gòu)成，其中，;（2)閉曲線將其所在的圓錐面劃提成兩部分,是其中的有界部分.在面上的投影區(qū)域?yàn)?(Ⅰ)求上認(rèn)為曲頂?shù)那斨w的體積;(Ⅱ）求曲面的面積．解（Ⅰ)在面上的投影區(qū)域?yàn)?在極坐標(biāo)系下表達(dá)為: ?故所求曲頂柱體的體積為? (Ⅱ)所在的圓錐面方程為，曲面上任一點(diǎn)處向上的一個(gè)法向量為故所求曲面的面積? ? 十二．(７分)設(shè)圓含于橢圓的內(nèi)部,且圓與橢圓相切于兩點(diǎn)(即在這兩點(diǎn)處圓與橢圓都有公共切線).(Ⅰ)求與滿足的等式；(Ⅱ)求與的值,使橢圓的面積最小解(Ⅰ)根據(jù)條件可知,切點(diǎn)不在軸上.否則圓與橢圓只也許相切于一點(diǎn).設(shè)圓與橢圓相切于點(diǎn),則既滿足橢圓方程又滿足圓方程,且在處橢圓的切線斜率等于圓的切線斜率,即．注意到因此,點(diǎn)應(yīng)滿足由(１)和(２）式，得(４)由(3)式得代入(4）式化簡(jiǎn)得或(５）(Ⅱ)按題意,需求橢圓面積在約束條件（5)下的最小值.構(gòu)造函數(shù)令(6)·a?(7)·b,并注意到,可得.代入（8)式得,故從而由此問題的實(shí)際可知,符合條件的橢圓面積的最小值存在,因此當(dāng)時(shí)，此橢圓的面積最小.