河北省承德市清泉鄉(xiāng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

河北省承德市清泉鄉(xiāng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=sinx－lgx的零點(diǎn)有個(gè)數(shù)為（

）

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C略2.函數(shù)（其中）的圖象如圖1所示，為了得到的圖象，則只需將的圖象(

)A.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位

B.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位

D.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位參考答案：A3.函數(shù)在上的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取最小值，且最小值。4.等差數(shù)列｛an｝與｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn與Tn,若,則（

）

參考答案：A在等差數(shù)列中,選A.5.已知都是定義在上的函數(shù)，且滿足以下條件：

①；②；③．若，則等于(

)

A.

B.

C.

D.

2或參考答案：A6.將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M，N分別在拋物線C上，且，直線MN交l于點(diǎn)P，，垂足為，若的面積為，則F到l的距離為（

）A.12 B.10 C.8 D.6參考答案：D【分析】作，垂足為，過(guò)點(diǎn)N作，垂足為G，設(shè)，則，結(jié)合圖形可得，，從而可求出，進(jìn)而可求得，，由的面積即可求出，再結(jié)合為線段的中點(diǎn)，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設(shè)，由，得，則，.過(guò)點(diǎn)N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn)，所以F到l的距離為．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．8.甲箱子里裝有個(gè)白球和個(gè)紅球，乙箱子里裝有個(gè)白球和個(gè)紅球．從這兩個(gè)箱子里分別摸出一個(gè)球，設(shè)摸出的白球的個(gè)數(shù)為，摸出的紅球的個(gè)數(shù)為，則（

）A．，且

B．，且C.，且

D．，且參考答案：D可取，；，，，，，故選D.

9.已知為第二象限角，，則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A10.雙曲線的漸近線方程為（）A．y=± B．y=±x C．y=±2x D．y=±4x參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】把雙曲線，其漸近線方程是，整理后就得到雙曲線的漸近線方程．【解答】解：雙曲線，其漸近線方程，整理得y=±．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，令標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”為“0”即可求出漸近線方程．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，若直線與公共點(diǎn)，則的取值范圍是

.

參考答案：：不等式組表示的平面區(qū)域如圖為三角形ABC區(qū)域，其中A、B坐標(biāo)分別為(1，1)，(0，4)，實(shí)數(shù)a為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)(－1，0)連線的直線的斜率，顯然經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)斜率最小為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)斜率最大為4，所以實(shí)數(shù)a的范圍是12.直線的一個(gè)單位法向量為（填一個(gè)即可）．參考答案：或13.若直線是曲線的切線，則實(shí)數(shù)的值為

.

參考答案：設(shè)切點(diǎn)為，由得，故切線方程為，整理得，與比較得，解得，故14.（原創(chuàng)）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，則角B的最大值為

參考答案：∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac.由余弦定理得當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)等號(hào)成立，∴cosB的最小值為∴角B的最大值為【考點(diǎn)】解三角形，已知三角函數(shù)值求角，基本不等式，.15.已知函數(shù).①當(dāng)時(shí)，函數(shù)g(x)有

個(gè)零點(diǎn)；②若函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是

．參考答案：1，①當(dāng)時(shí)，時(shí)，,得，即；時(shí)，，無(wú)解，綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，得，時(shí)，有兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，，得時(shí)有一個(gè)根，綜上：時(shí)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).

16.若關(guān)于x的不等式2－x2=|x－a|至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．參考答案：[－，2)y＝2－x2是開(kāi)口向下的拋物線，y＝|x－a|是與x軸交于(a,0)點(diǎn)的“V字形”折線，顯然當(dāng)a＝2時(shí)，y＝2－x2(x<0)的圖象都在折線下方，由2－x2＝x－a得x2＋x－a－2＝0，由Δ＝1＋4a＋8＝0得a＝－，此時(shí)y＝x－a與y＝2－x2(x<0)相切，故－≤a<2.17.若，則___________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作方向向量的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求證：為定值．參考答案：（1）因?yàn)榈慕裹c(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸為，故可設(shè)橢圓的方程為（），

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

解得，

（1分）所以，橢圓的方程為．

（2）設(shè)（），由已知，直線的方程是，

由（*）

設(shè)，，則、是方程（*）的兩個(gè)根，所以有，，

所以，（定值）．

所以，為定值．

19.已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥2；（2）若存在實(shí)數(shù)x，使得成立，試求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（1）若a=﹣1，則f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|，運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)分區(qū)間，討論當(dāng)x≥3時(shí)，當(dāng)﹣1≤x＜3時(shí)，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，化簡(jiǎn)不等式求解，最后求并集即可；（2）由題意知這是一個(gè)存在性的問(wèn)題，須求出不等式左邊的最大值，可運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得最大值，再令其大于等于，即可解出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）若a=﹣1，則f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|，若x≥3，由f（x）≥2，得（x+1）﹣（x﹣3）≥2不等式顯然成立，若﹣1≤x＜3，由f（x）≥2，得（x+1）+（x﹣3）≥2，解得x≥2．又﹣1≤x＜3，∴2≤x＜3．若x＜﹣1，由f（x）≥2，得﹣（x+1）+（x﹣3）≥2不等式不成立．∴不等式f（x）≥2的解集為{x|x≥2}．綜上所述，不等式f（x）≥2的解集為{x|x≥2}；（2）不等式即|x﹣a|﹣|x﹣3|．|x﹣a|﹣|x﹣3|≥﹣|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=﹣|a﹣3|，若a＞3，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x≥3，若a=3，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x∈R，若a＜3，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x≤3．∴﹣|a﹣3|，即|a﹣3|，若a≥3，則（a﹣3），解得a≥6．若a＜3，則﹣（a﹣3），解得a≤2．∴a的取值范圍是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．綜上所述，a的取值范圍是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．20.(本題滿分12分)如圖，是以為直徑的半圓上異于點(diǎn)的點(diǎn)，矩形所在的平面垂直于該半圓所在平面，且．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)設(shè)平面與半圓弧的另一個(gè)交點(diǎn)為

①.求證：//;②.若，求多面體的體積V.參考答案：(Ⅰ)∵E是半圓上異于A、B的點(diǎn)，∴AE⊥EB,又∵矩形平面ABCD⊥平面ABE，且CB⊥AB，由面面垂直性質(zhì)定理得：CB⊥平面ABE，∴平面CBE⊥平面ABE，且二面交線為EB，由面面垂直性質(zhì)定理得：AE⊥平面ABE，又EC在平面ABE內(nèi)，故得：EA⊥EC…………4分(Ⅱ)①由CD//AB，得CD//平面ABE，又∵平面CDE∩平面ABE于直線EF，∴根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得：CD//EF，CD//AB，故EF//AB

…………7分②分別取AB、EF的中點(diǎn)為O、M，連接OM，則在直角三角形OME中，，因?yàn)榫匦嗡诘钠矫娲怪庇谠摪雸A所在平面，即OM為M到面ABCD之距，又//，E到到面ABCD之距也為，

…………9分則

…………12分21.(本小題滿分12分)某高校在2012年自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組：第1組[75，80)，第2組[80，85)，第3組[85，90)，第4組[90，95)，第5組[95，100]得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)分別求第3，4，5組的頻率；(2)若該校決定在筆試成績(jī)較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，(ⅰ)已知學(xué)生甲和學(xué)生乙的成績(jī)均在第三組，求學(xué)生甲和學(xué)生乙恰有一人進(jìn)入第二輪面試的概率；(ⅱ)學(xué)校決定在這已抽取到的6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官L的面試，設(shè)第4組中有名學(xué)生被考官L面試，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：(1)

第三組的頻率為0．065=0．3；第四組的頻率為0．045=0．2；第五組的頻率為0．025=0．1．

…3分(2)(ⅰ)設(shè)“學(xué)生甲和學(xué)生乙恰有一人進(jìn)入第二輪面試”為事件A,第三組應(yīng)有3人進(jìn)入面試則:

P(A)==

……6分(ⅱ)第四組應(yīng)有2人進(jìn)入面試，則隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2．

…………7分且，則隨機(jī)變量的分布列為:012P

……10分

……12分22.已知等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠1），等差數(shù)列{bn}的公差也為q，且a1+2a2=3a3．（Ι）求q的值；（II）若數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為2，其前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)n≥2時(shí)，試比較bn與Tn的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）由已