(10.1)-第9章正規(guī)子群和商群

1正規(guī)子群商群第9章正規(guī)子群和商群

(NormalsubgroupsandFactorGroups)

第9章正規(guī)子群和商群商群的應用內(nèi)直積一、正規(guī)子群定義

正規(guī)子群（NormalSubgroup）

群G的子群H稱為是G的正規(guī)子群,若gH=Hg對所有g(shù)∈G成立.記為

正規(guī)子群2如何驗證一個子群是否正規(guī)？下面的定理9.1更方便一些.定理

9.1群G的子群H在G中正規(guī)當且僅當一、正規(guī)子群正規(guī)子群3定理

9.1群G的子群H在G中正規(guī)當且僅當證明：必要性：若H在G中正規(guī),由定義知：gH=Hg對所有g(shù)∈G成立.而由第七章陪集性質(zhì)8，可知gH=Hg當且僅當H=gHg-1.充分性：假設任取a∈G.

在上面包含關(guān)系中取g=a,

有

即

在上面包含關(guān)系中取g=a-1,有

即例1：任一群G的中心Z(G)是G的正規(guī)子群.正規(guī)子群4常見的正規(guī)子群例子(其證明均可利用定理9.1)例2：設n為正整數(shù).則n級交錯群An是n級對稱群Sn的正規(guī)子群.

(提示：對任意置換x和任意偶置換y,x-1yx仍為偶置換)例3：設L=<R360/n>.則L的每個子群都是Dn的正規(guī)子群.(提示：對任意旋轉(zhuǎn)R和反射F,F-1RF=R-1)例4(常用結(jié)論)：若H是群G的某個階的唯一子群，則證：任取a∈G,

驗證:aHa-1≤G且|H|=|aHa-1|,

從而H=aHa-1

例5：證：由上表可以得到H是A4的唯一4階子群.但是正規(guī)子群5常用結(jié)論：

H是A4的僅有的非平凡的正規(guī)的真子群.例6(定理)設G是群,

則正規(guī)子群6利用正規(guī)子群可構(gòu)造新的子群.證:利用一步子群判定定理.首先其次可知這里因H正規(guī)，所以從而本次課到此結(jié)束謝謝！8正規(guī)子群商群第9章正規(guī)子群和商群

(NormalsubgroupsandFactorGroups)

第9章正規(guī)子群和商群商群的應用內(nèi)直積二、商群證：關(guān)鍵是證明上述運算是良定義的.即證明下面對應法則是映射.為此,假設G/H顯然非空.1)單位元：eH=H.2)aH

逆元:a-1H

3)結(jié)合律：(aHbH)(cH)=(ab)H(cH)=(ab)cH=a(bc)H=aH(bHcH).

定理9.2設G是群，則在運算(aH)(bH)=abH下構(gòu)成群.商群9正規(guī)子群的重要性還體現(xiàn)在其可用于構(gòu)造商群,這是群論研究中的強有力方法.需要指出的是:若H在G的左陪集集合上的對應法則(aH)(bH)=abH定義了一個群運算,則H在G中正規(guī).(即上述定理的逆成立，請讀者自行驗證)例8:令則有商群

G/H={0+H,1+H,2+H,3+H,4+H,5+H}.

(5+H)+(4+H)=5+4+H=9+H=3+6+H=3+H.

商群10例7

任給n>0,令則值得注意的是：商群G/H

中|gH|既表示作為元素的階,又表示作為陪集的基數(shù),要根據(jù)上下文判定其代表的含義.例8中：3+H階為2，基數(shù)為3.例7證明:Z/nZ={nZ,1+nZ,2+nZ,…,(n-1)+nZ}=<1+nZ>≈Zn.本次課到此結(jié)束謝謝！12正規(guī)子群商群第9章正規(guī)子群和商群

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第9章正規(guī)子群和商群商群的應用內(nèi)直積三、商群的應用商群的應用13商群在群論研究中為什么如此重要？商群G/H通常比G小且構(gòu)造簡單，但卻保留了G的某些有用的性質(zhì)有時，我們可將G/H看作G的近似，并可從G/H推導出G的某些性質(zhì)下面我們看商群的幾個重要應用定理9.3(G/Z-Theorem)設Z(G)是群G的中心，若G/Z(G)循環(huán),則G交換.證：任取a,b∈G.要證ab=ba.設G/Z(G)=<gZ(G)>.則aZ(G)=gmZ(G),bZ(G)=gnZ(G),其中m,n∈Z.從而,有進一步,

商群的應用14G/Z定理的幾點重要說明：更一般的形式：若H≤Z(G)且G/H循環(huán),則G交換(讀者自行證明).常用其逆否命題.比如：階為兩個素數(shù)乘積的非交換群的中心平凡.若G/Z(G)循環(huán),則必有|G/Z(G)|=1,即G=Z(G).定理9.4

對任意的群G，都有商群的應用15證：考慮對應法則其中先來證明T是單射顯然T是滿射.因內(nèi)自同構(gòu)乘法為

所以T保持運算.從而T是同構(gòu).例9：Inn(D6)≈D3.證：已知|Z(D6)|=2.所以|D6/Z(D6)|=6.由2p階群分類定理，知D6/Z(D6)≈Z6或D3.但因D6非交換,由G/Z定理,必有D6/Z(D6)≈D3.從而,由定理9.4，知Inn(D6)≈D3.商群的應用16作為G/Z定理的簡單應用,可以輕松地求出D6的內(nèi)自同構(gòu)群.本次課到此結(jié)束謝謝！18正規(guī)子群商群第9章正規(guī)子群和商群

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第9章正規(guī)子群和商群商群的應用內(nèi)直積三、商群的應用例10：

沒有6階子群.證：令G=A4.假設H是G的6階子群.則對任意的g∈G-H,G=H∪Hg=H∪gH,因不同的陪集彼此交為空,故Hg=gH,即H為G的正規(guī)子群.這樣，商群G/H為2階群,從而對任意的g∈G,g2H=H,即g2∈H.顯然,任意3-圈x=(x2)2∈H.由表5.1,即知H將含有所有8個3-圈，矛盾.商群的應用19常用結(jié)論：群G的指數(shù)為2的子群必正規(guī).(見Ex.9)定理9.5(Cauchy'sTheoremforAbelianGroups)

設G是有限交換群，p是|G|的素因子，則G中含有p

階元.證：對|G|用歸納法.顯然|G|≥2.當|G|=2時,定理顯然成立.假設|G|>2.任取1≠x∈G.

設|x|=qn,其中q是素數(shù),

則|xn|=q.不妨設|x|=q且p≠q.考慮商群H=G/<x>.顯然,H可交換且p||H|.由歸納假設,存在y∈G,使得|y<x>|=p.

那么|yp|=1或q.前者y就是p階元.后者|y|=pq,從而yq就是p階元.商群的應用20下面定理的證明是群論中商群與歸納法相結(jié)合證明技巧的典型范例.本次課到此結(jié)束謝謝！22正規(guī)子群商群第9章正規(guī)子群和商群

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第9章正規(guī)子群和商群商群的應用內(nèi)直積四、內(nèi)直積內(nèi)直積23前邊,我們學過的外直積是通過任兩個互不相干的群來構(gòu)造一個新的大群.現(xiàn)在我們將這個過程逆過來,即將一個群分解成它的兩個真子群的乘積使得其同構(gòu)于這兩個真子群的外直積.定義

內(nèi)直積(InternalDirectProduct)

稱群G是其子群H和K的內(nèi)直積,如果記為例11：12階二面體群D6可以寫出如下內(nèi)直積.定理7.2

設G是群，H和K是G的兩個有限子群.定義HK={hk|h∈H,k∈K}.則|HK|=|H||K|/(H∩K)四、內(nèi)直積內(nèi)直積24定義

內(nèi)直積(InternalDirectProduct)

稱群G是其子群H和K的內(nèi)直積,如果記為切記：驗證內(nèi)直積時,上面三個條件缺一不可.如,定義

內(nèi)直積(InternalDirectProduct)

稱群G是子群的內(nèi)直積，如果

記為

定理9.6

若則內(nèi)直積25我們還可以定義多個子群的內(nèi)直積.之所以如此定義多個子群的內(nèi)直積,是為了保證其與外直積同構(gòu).定理9.6

若則內(nèi)直積26證：斷言1：因為Hj正規(guī)于G,知同理,因為Hi正規(guī)于G,知所以,定理9.6

若則證：斷言2:如下定義的對應法則：是同構(gòu)映射.是映射：設.則

從而,

對后一個等式，重復上面討論,可得單射和滿射均顯然.由斷言1,可證明該映射也保持運算.(請讀者自行驗證)

內(nèi)直積27本次課到此結(jié)束謝謝！29正規(guī)子群商群第9章正規(guī)子群和商群

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第9章正規(guī)子群和商群商群的應用內(nèi)直積定理9.7

設p素數(shù),G是階群,則或內(nèi)直積30作為定理9.6的應用,可得到素數(shù)平方階群的分類定理.證：若G中含有p2

階元，則G為p2

階循環(huán)群.由拉格朗日定理推論2,下面設G的非單位元階都是p.斷言：任取1≠a∈G,<a>在G中正規(guī).

假若<a>在G中不正規(guī)，則存在b∈G使得注意

所以從而