(1.3.1)-1.1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根

復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)數(shù)的三角表示式和指數(shù)表示式1平面曲線的復(fù)數(shù)方程2復(fù)數(shù)的乘冪3復(fù)數(shù)的方根4一、復(fù)數(shù)的三角表示式和指數(shù)表示式1三角表示式利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可以將復(fù)數(shù)表示為稱為復(fù)數(shù)z的三角表示式。一、復(fù)數(shù)的三角表示式和指數(shù)表示式2指數(shù)表示式再利用歐拉公式：又可以將復(fù)數(shù)z

表示為稱為復(fù)數(shù)z

的指數(shù)表示式。z

表示為說明①式中r表示復(fù)數(shù)

z的模；②式中表示復(fù)數(shù)

z的輻角；③由于輻角不唯一，故復(fù)數(shù)的三角表示式和指數(shù)表示式并不唯一。例1.4寫出復(fù)數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式。解①②由于z

在第四象限，故可得從而z

的三角表示式為z

的指數(shù)表示式為二、平面曲線的復(fù)數(shù)方程利用復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，一方面，很多平面圖形能用復(fù)數(shù)的方程或不等式來表示；另一方面，也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程或不等式來確定它所表示的圖形。例1.5將通過兩點(diǎn)與的直線用復(fù)數(shù)形式的方程表示。解通過兩點(diǎn)與的直線可以用參數(shù)方程表示為例1.5因此，令得到該直線的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為說明：當(dāng)時(shí)，該參數(shù)方程表示到的直線段。例1.6求下列方程所表示的曲線：(1)(2)解(1)由復(fù)數(shù)的幾何意義，方程表示復(fù)平上所有與點(diǎn)z=1距離為3的點(diǎn)的軌跡，即以z=1為中心，3為半徑的圓。xyO13例1.6求下列方程所表示的曲線：(1)(2)解(2)由復(fù)數(shù)的幾何意義，方程表示到點(diǎn)與距離相等的點(diǎn)的軌跡，即連接點(diǎn)與的線段的垂直平分線。xyO三、復(fù)數(shù)的乘冪設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)則于是有1乘積由此可知(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模，等于它們模的乘積；(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角，等于它們輻角的和。幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為與先把按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度再把它的模擴(kuò)大到倍，所得向量就表示乘積注意由于輻角的多值性，上述等式兩端都是由無它表示兩端可能取的值的全體是相同的。窮個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)集，2除法當(dāng)時(shí)，則有于是由此可知(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)商的模，等于它們模的商；(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)商的輻角，等于它們輻角的差。如果用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù)那么它們的乘積和商還可以表示為3乘冪定義n

個(gè)相同的復(fù)數(shù)z的乘積稱為

z的n次冪，記作易知如果定義那么當(dāng)

n

為負(fù)整數(shù)時(shí)，上式仍然成立。定義設(shè)z

是不等于0的復(fù)數(shù)，若存在復(fù)數(shù)

w，使得則稱w為

z的n

次方根，記作設(shè)則有得到因此，所以四、復(fù)數(shù)的方根當(dāng)時(shí)，得到n個(gè)相異的根：當(dāng)k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又重復(fù)出現(xiàn)。由此可見1.任何非零復(fù)數(shù)的

n次方根有且僅有

n個(gè)相異的值2.它們具有相同的模3.兩個(gè)相鄰的輻角相差故在幾何上，w

的n

個(gè)值分布在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓內(nèi)接正n