電磁場(chǎng)基本方程

電磁場(chǎng)基本方程第一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日21785年庫(kù)侖定律的提出，電磁場(chǎng)定理分析的開始1831年法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，導(dǎo)致發(fā)電機(jī)的發(fā)明和人類電氣時(shí)代的到來(lái).1864年麥克斯韋創(chuàng)立了普遍的電磁場(chǎng)方程組—麥克斯韋方程組，它是宏觀電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律，是本書學(xué)習(xí)的核心.本章將在復(fù)習(xí)“大學(xué)物理”電磁學(xué)部分的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出麥?zhǔn)戏匠探M，然后討論它的邊界條件、電磁場(chǎng)的能量關(guān)系和惟一性定理.這些是本課程其它章節(jié)的共同基礎(chǔ)。第二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日32.1靜態(tài)電磁場(chǎng)的基本定律和基本場(chǎng)矢量2.2法拉第電磁感應(yīng)定律和全電流定律2.3Maxwell方程組2.4電磁場(chǎng)的邊界條件2.5坡印廷定理和坡印廷矢量2.6惟一性定理第三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日2.1靜態(tài)電磁場(chǎng)的基本規(guī)律和基本場(chǎng)矢量靜電場(chǎng)：由靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)重要特征：對(duì)位于電場(chǎng)中的電荷有電場(chǎng)力作用；電場(chǎng)強(qiáng)度矢量:描述電場(chǎng)分布的基本物理量，反映電場(chǎng)的強(qiáng)弱

？空間某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度定義為置于該點(diǎn)的單位點(diǎn)電荷（又稱試驗(yàn)電荷）受到的作用力，即？源點(diǎn)第四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日5如果電荷是連續(xù)分布呢？對(duì)于N個(gè)電荷所組成的系統(tǒng)，在空間任一點(diǎn)所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為：?jiǎn)挝唬篤/m（伏/米）或N/C（牛/庫(kù)）qq1q2q3q4q5q6q7第五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日6體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)面密度為的面分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度線密度為的線分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度第六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日72.1.2高斯定理1.靜電場(chǎng)的通量和散度從而，作任意閉曲面S包圍S0，穿過(guò)S0的電力線也必定全部穿過(guò)S，即穿過(guò)任意閉曲面通量的有效值相當(dāng)于在球面上的投影，上式推廣為點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，穿過(guò)以點(diǎn)電荷為球心半徑為r的球面S0，其電通量為多少？

第七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日S內(nèi)含電荷體密度為時(shí)，得S內(nèi)含N個(gè)點(diǎn)電荷時(shí)，得8表明，空間任意一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的散度與該處的電荷密度有關(guān)，靜電荷是靜電場(chǎng)的通量源。利用散度定理

導(dǎo)出：高斯定理積分形式高斯定理微分形式表明，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量穿過(guò)閉合曲面S的通量等于該閉合曲面所包圍的總電荷與之比。高斯定理微分形式第八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日以上討論的是真空媒質(zhì)的情形。對(duì)一般媒質(zhì)，我們引入描述電場(chǎng)的另一基本量-電通（量）密度，又稱為電位移矢量。定義：（C/m2）介電常數(shù)，也稱為電容率。真空中，?=?0高斯定理積分形式高斯定理微分形式第九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日10電場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，即保守場(chǎng)2.靜電場(chǎng)的旋度第十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日112.靜電場(chǎng)的旋度

表明在靜電場(chǎng)中，沿任意閉合路徑C的積分恒等于0。其物理意義是將單位正電荷沿靜電場(chǎng)中的任一個(gè)閉合路徑移動(dòng)一周，電場(chǎng)力不做功。利用斯托克斯定理

導(dǎo)出：靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)（1）靜電場(chǎng)是由通量源、不是由旋渦源產(chǎn)生的場(chǎng)；（2）靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)。第十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日12

例2.1

求真空中均勻帶電球體的電場(chǎng)強(qiáng)度和電通密度分布。已知球體半徑為a，電荷密度為0。

解：應(yīng)用高斯定理，取半徑為r的同心球面為高斯面（r>a和r<a兩種情況）（2）求球體內(nèi)一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng),r<aar0rrEa（1）球外某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，r>a第十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日13

例2.2

求真空中帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)強(qiáng)度和電通密度分布。已知球體半徑為a，帶電導(dǎo)體電量為Q

。解題中注意以下幾點(diǎn)：必須明確“導(dǎo)體的電荷分布于導(dǎo)體表面，孤立球的電荷均勻分布于球的表面”，由此可求出電荷面密度；面元ds的選取及面積分積分順序選取的技巧；一般球外場(chǎng)點(diǎn)的電場(chǎng)與位于球心的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)相同，球內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)恒為零（靜電屏蔽）。靜電屏蔽：導(dǎo)體的外殼對(duì)它的內(nèi)部起到了“保護(hù)”作用，使它的內(nèi)部不受外部電場(chǎng)的影響第十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日14[解]a)介質(zhì)層中的電場(chǎng)都沿徑向，垂直于內(nèi)外導(dǎo)體表面，其大小沿圓周方向是軸對(duì)稱的。應(yīng)用高斯定理，取半徑長(zhǎng)1的同軸圓柱為高斯面。作為封閉面，還應(yīng)加上前后圓盤底面，但是它們與相平行，因而沒(méi)有通量穿過(guò)，不必考慮。例2.3如圖所示，同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a和b。在內(nèi)外導(dǎo)體間加電壓U，則內(nèi)導(dǎo)體通過(guò)的電流為I，外導(dǎo)體返回的電流為-I。a)設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體上單位長(zhǎng)度的帶電量分別為，求內(nèi)外導(dǎo)體間的；b)用電壓U來(lái)表示，則=？其最大值=？c)若給定b=1.8cm，應(yīng)如何選擇a以使用同軸線承受的耐壓最大？圖

同軸線得于是第十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日15故同軸線內(nèi)最大電場(chǎng)強(qiáng)度EM發(fā)生于內(nèi)導(dǎo)體表面處：c)EM最大值發(fā)生于得故b)第十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日16

當(dāng)電場(chǎng)分布具有一定對(duì)稱性的情況下，可以利用高斯定理計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度。

總結(jié)：利用高斯定理計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度具有以下幾種對(duì)稱性的場(chǎng)可用高斯定理求解：

球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。均勻帶電球體帶電球殼多層同心球殼第十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日17

無(wú)限大平面電荷：如無(wú)限大的均勻帶電平面、平板等。

軸對(duì)稱分布：如無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。(a)(b)第十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日18（3）E相等的面不構(gòu)成閉合面時(shí)，另選法線方向垂直于E的面，使其成為閉合面。（1）分析電場(chǎng)是否具有對(duì)稱性。（2）取合適的高斯面(封閉面)，即取在E相等的曲面上。（4）分別求出，從而求得及。第十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日19

電流密度，電荷守恒定律說(shuō)明：電流通常是時(shí)間的函數(shù)，不隨時(shí)間變化的電流稱為恒定電流，用I表示。形成電流的條件：

存在可以自由移動(dòng)的電荷存在電場(chǎng)單位:A（安培）,標(biāo)量電流方向:正電荷的流動(dòng)方向電流——電荷的定向運(yùn)動(dòng)而形成，用i表示，其大小定義為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)某一橫截面S的電荷量，即第十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日20方向：所在點(diǎn)上正電荷流動(dòng)方向大?。捍怪庇谠摲较虻膯挝幻娣e上，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的電荷量單位：A/m2一般情況下，在空間不同的點(diǎn)，電流的大小和方向往往是不同的。電流描述的是某一界面上電荷流動(dòng)的總情況，但不能描述界面上任意點(diǎn)處電荷流動(dòng)的總情況。在電磁理論中，常用體電流密度、面電流密度和線電流密度來(lái)描述截面處任意點(diǎn)處電荷的流動(dòng)情況。

1.體電流密度

流過(guò)任意曲面S的電流為體電流密度矢量正電荷運(yùn)動(dòng)的方向第二十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

電荷在一個(gè)厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱為面電流，引入面電流密度矢量，其大小為單位時(shí)間內(nèi)垂直通過(guò)單位寬度的電荷量212.面電流密度單位：A/m。線電流密度：電荷在一個(gè)橫截面積可以忽略的細(xì)線中做定向流動(dòng)所形成的電流，可認(rèn)為電流是集中在細(xì)導(dǎo)線的軸線上。

電流元：長(zhǎng)度元dl中流過(guò)電流I，將Idl稱為電流元。面電流密度矢量4.簡(jiǎn)單導(dǎo)電媒質(zhì)中，任意點(diǎn)的體電流密度與該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的本構(gòu)關(guān)系：電導(dǎo)率，單位是西門子/米(S/m)歐姆定律微分形式第二十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日222.1.3.

電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律:電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體。電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。電流連續(xù)性方程：若在體電流密度所分布的空間內(nèi)取一封閉面s，它包圍的體積v，則通過(guò)s面對(duì)總電流為它是單位時(shí)間內(nèi)流出s面的電荷量，應(yīng)等于體積v內(nèi)每單位時(shí)間所減少的電荷量積分形式電流連續(xù)性方程微分形式第二十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日23設(shè)定閉合面S所限定的體積V不隨時(shí)間變化，則將積分形式中的全導(dǎo)數(shù)寫成偏導(dǎo)數(shù)又因?yàn)镾為任意取的閉合曲面，則其所包圍的體積V也是任意的。故：根據(jù)散度定理：電流連續(xù)性方程的微分形式第二十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日24恒定電流是無(wú)源場(chǎng)，電流線是連續(xù)的閉合曲線，既無(wú)起點(diǎn)也無(wú)終點(diǎn)恒定電流的電流連續(xù)性方程這表明從任意閉合面?zhèn)鞒龅暮愣娏鳛?，或恒定電流是一個(gè)無(wú)散度的場(chǎng)。第二十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日251.

安培力定律:電流相互作用力公式實(shí)驗(yàn)表明，真空中的載流回路C1對(duì)載流回路C2的作用力，載流回路C2對(duì)載流回路C1的作用滿足牛頓第三定律力2.1.4安培力定律磁感應(yīng)強(qiáng)度(磁通密度)

根據(jù)安培力定律，有其中電流I1在電流元

處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度2、磁感應(yīng)強(qiáng)度(磁通密度)：電流在其周圍空間中產(chǎn)生磁場(chǎng)，描述磁場(chǎng)分布的基本物理量，單位為T（特斯拉）

第二十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日26任意電流回路C產(chǎn)生的磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度電流元產(chǎn)生的磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度體電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度面電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度第二十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日27

例2.4

長(zhǎng)為2l的直導(dǎo)線上流過(guò)電流I，求真空中P點(diǎn)的磁通密度。載流直導(dǎo)線任一點(diǎn)P的磁通密度為

解：采用柱坐標(biāo)，電流元到P點(diǎn)的距離矢量是若z=0，則對(duì)無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，l趨近無(wú)窮大3/2第二十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日28而場(chǎng)點(diǎn)P的位置矢量為

，故得

例2.5

計(jì)算線電流圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。載流圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)P(0,0,z)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

解：設(shè)圓環(huán)的半徑為a，流過(guò)的電流為I。為計(jì)算方便取線電流圓環(huán)位于xy平面上，則所求場(chǎng)點(diǎn)為P(0,0,z),如圖所示。采用圓柱坐標(biāo)系，圓環(huán)上的電流元為，其位置矢量為第二十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日29可見，線電流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有軸向分量，這是因?yàn)閳A環(huán)上各對(duì)稱點(diǎn)處的電流元在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度的徑向分量相互抵消。當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)P遠(yuǎn)離圓環(huán)，即z>>a時(shí)，因，故

在圓環(huán)的中心點(diǎn)上，z=0，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，即由于，所以第二十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日301.

恒定磁場(chǎng)的通量和散度無(wú)線長(zhǎng)載流直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)，穿過(guò)以坐標(biāo)原點(diǎn)為心的球面S0，其磁通量為多少？上式可推廣到任意分布電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)，穿過(guò)任意閉曲面S的通量也滿足第三十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日31上式看出，自由空間中磁感應(yīng)強(qiáng)度穿過(guò)任意閉曲面的磁通量為零，磁力線是無(wú)頭無(wú)尾的閉曲線。恒定磁場(chǎng)的磁通量形式為高斯定理積分形式。利用散度定理，導(dǎo)出上式看出自由空間中某點(diǎn)的恒定磁場(chǎng)無(wú)散度源。恒定磁場(chǎng)的散度的形式為高斯定理微分形式。高斯定理微分形式第三十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日上式可推廣于任意分布電流的磁場(chǎng)沿環(huán)繞電流的任意閉曲線Cl積分，其環(huán)量322.

恒定磁場(chǎng)的環(huán)量和旋度對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)的載流直導(dǎo)線，沿著以坐標(biāo)原點(diǎn)為心的圓周線Cl積分，則其環(huán)量是多少？對(duì)應(yīng)的微分形式第三十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日33利用斯托克斯定理導(dǎo)出看出恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，穩(wěn)恒電流是恒定磁場(chǎng)的旋渦源。恒定磁場(chǎng)的基本性質(zhì)（1）恒定磁場(chǎng)不是由通量源，而是由旋渦源產(chǎn)生的；（2）恒定磁場(chǎng)是無(wú)源有旋場(chǎng)。第三十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日34為了不考慮媒質(zhì)的磁導(dǎo)率μ，引入磁場(chǎng)強(qiáng)度，安培環(huán)路定律磁場(chǎng)強(qiáng)度沿著閉合路徑的線積分等于該路徑所包圍的電流I磁場(chǎng)存在漩渦源第三十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)小結(jié)：高斯定理表明：靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)，電場(chǎng)線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷。1.靜電場(chǎng)散度與高斯定理環(huán)路定理表明：靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，是保守場(chǎng)，電場(chǎng)力做功與路徑關(guān)。2.靜電場(chǎng)旋度與環(huán)路定理3.

恒定磁場(chǎng)的散度與磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理表明：恒定磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，磁場(chǎng)線是無(wú)起點(diǎn)和終點(diǎn)的閉合曲線。安培環(huán)路定理表明：恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，是非保守場(chǎng)、電流是場(chǎng)的旋渦源。4.恒定磁場(chǎng)的旋度與安培環(huán)路定理第三十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日2.2電磁感應(yīng)定律和全電流定律362.2.1電磁感應(yīng)定律

自從1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)之后，人們開始研究相反的問(wèn)題，即磁場(chǎng)能否產(chǎn)生電流。

1881年法拉第發(fā)現(xiàn)，當(dāng)穿過(guò)導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中就會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流和電動(dòng)勢(shì)，且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁通量的變化有密切關(guān)系，由此總結(jié)出了著明的法拉第電磁感應(yīng)定律。

電磁感應(yīng)定律——揭示時(shí)變磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)

位移電流——揭示時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)

重要結(jié)論：在時(shí)變情況下，電場(chǎng)與磁場(chǎng)相互激勵(lì)，形成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)。第三十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日37負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)總是阻止磁通量的變化。1.

法拉第電磁感應(yīng)定律的表述

設(shè)任意導(dǎo)體回路C圍成的曲面為S，其單位法向矢量為，則穿過(guò)回路的磁通為

當(dāng)通過(guò)導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)in的大小等于磁通量的時(shí)間變化率的負(fù)值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即第三十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日38

導(dǎo)體回路中有感應(yīng)電流，表明回路中存在感應(yīng)電場(chǎng)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可表示為

感應(yīng)電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng)所激發(fā)的電場(chǎng)；感應(yīng)電場(chǎng)是有旋場(chǎng)；

感應(yīng)電場(chǎng)不僅存在于導(dǎo)體回路中，也存在于導(dǎo)體回路之外的空間；對(duì)空間中的任意回路（不一定是導(dǎo)體回路）C，都有因而有

對(duì)感應(yīng)電場(chǎng)的討論：第三十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日39相應(yīng)的微分形式為(1)

回路不變，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化這就是推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律。2.

引起回路中磁通變化的幾種情況：磁通量的變化由磁場(chǎng)隨時(shí)間變化引起，因此有

若空間同時(shí)存在由電荷產(chǎn)生的電場(chǎng),則總電場(chǎng)應(yīng)為與之和，即。由于，故有第三十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日40稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，這就是發(fā)電機(jī)工作原理。(2)

導(dǎo)體回路在恒定磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)(3)

回路在時(shí)變磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第四十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日41

（1），矩形回路靜止；xbaoyx均勻磁場(chǎng)中的矩形環(huán)L

（3），且矩形回路上的可滑動(dòng)導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動(dòng)。

解：(1)均勻磁場(chǎng)

隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化，而回路靜止，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由磁場(chǎng)變化產(chǎn)生的，故

例2.6長(zhǎng)為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場(chǎng)

垂直穿過(guò)，如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

（2），矩形回路的寬邊b為

常數(shù)，但其長(zhǎng)邊因可滑動(dòng)導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動(dòng)而隨時(shí)間增大；第四十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日42(3)矩形回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由磁場(chǎng)變化以及可滑動(dòng)導(dǎo)體L在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，故得(2)均勻磁場(chǎng)

為恒定磁場(chǎng)，而回路上的可滑動(dòng)導(dǎo)體以勻速運(yùn)動(dòng)，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)全部是由導(dǎo)體L在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，故得或第四十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日43

（1）線圈靜止時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；

解:（1）線圈靜止時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由時(shí)變磁場(chǎng)引起，故

（2）線圈以角速度ω

繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

例2.7在時(shí)變磁場(chǎng)中，放置有一個(gè)的矩形線圈。初始時(shí)刻，線圈平面的法向單位矢量與成α角，如圖所示。試求：xyzabB時(shí)變磁場(chǎng)中的矩形線圈第四十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日44

（2）線圈繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，的指向?qū)㈦S時(shí)間變化。線圈內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可以用兩種方法計(jì)算。

利用式計(jì)算

假定時(shí)，則在時(shí)刻t時(shí)，與y軸的夾角，故第四十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日452.2.2位移電流和全電流定律

靜態(tài)情況下的電場(chǎng)基本方程在非靜態(tài)時(shí)發(fā)生了變化，即

這不僅是方程形式的變化，而是一個(gè)本質(zhì)的變化，其中包含了重要的物理事實(shí)，即時(shí)變磁場(chǎng)可以激發(fā)電場(chǎng)

。恒定磁場(chǎng)安培環(huán)路定理：

在時(shí)變情況下，安培環(huán)路定理是否要發(fā)生變化？有什么變化？隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)要產(chǎn)生電場(chǎng)，那么隨時(shí)間變化的電場(chǎng)是否會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)？時(shí)變場(chǎng)：第四十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日461.全電流定律時(shí)變情況下，由電流連續(xù)性方程有

發(fā)生矛盾

解決辦法：對(duì)安培環(huán)路定理進(jìn)行修正由將修正為：矛盾解決時(shí)變電場(chǎng)會(huì)激發(fā)磁場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)：因此，可得，在時(shí)變的情況下不適用第四十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日47全電流定律：——

微分形式——

積分形式法拉第電磁感應(yīng)定律揭示了時(shí)變磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)；位移電流的假說(shuō)，對(duì)安培環(huán)路定理進(jìn)行了修正，揭示了時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)。從而，全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也可以激發(fā)磁場(chǎng)。它與變化的磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)形成自然界的一個(gè)對(duì)偶關(guān)系。第四十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日482.位移電流密度電位移矢量隨時(shí)間的變化率，能像電流一樣產(chǎn)生磁場(chǎng)，故稱“位移電流”。注：在絕緣介質(zhì)中，無(wú)傳導(dǎo)電流，但有位移電流；在理想導(dǎo)體中，無(wú)位移電流，但有傳導(dǎo)電流；在一般介質(zhì)中，既有傳導(dǎo)電流，又有位移電流。位移電流只表示電場(chǎng)的變化率，與傳導(dǎo)電流不同，它不產(chǎn)生熱效應(yīng)。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關(guān)重要的一步，它揭示了時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)這一重要的物理概念。第四十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日493.全電流連續(xù)性原理全電流：傳導(dǎo)電流密度運(yùn)流電流密度位移電流密度又全電流連續(xù)性原理物理含義：穿過(guò)任一封閉面的各類電流之和恒為零。第四十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日50例2.8已知平板電容器的面積為,相距為d,介質(zhì)的介電常數(shù)，極板間電壓為U。試推導(dǎo)電容器的電流與電壓的關(guān)系。平板電容器[解]忽略極板的邊緣效應(yīng)和感應(yīng)電場(chǎng)電場(chǎng)位移電流密度位移電流二平板間位移電流等于傳導(dǎo)電流第五十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日2.3麥克斯韋方程組51麥克斯韋方程組——宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場(chǎng)的基本方程

麥克斯韋方程組的微分形式:積分形式

空間任意點(diǎn)場(chǎng)地變化規(guī)大范圍場(chǎng)與場(chǎng)源的關(guān)系2.3.1麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式第五十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日52麥克斯韋第一方程，表明傳導(dǎo)電流和變化的電場(chǎng)都能產(chǎn)生磁場(chǎng)麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)麥克斯韋第三方程表明磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，磁力線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場(chǎng)全電流定律：電流和時(shí)變電場(chǎng)都將激發(fā)磁場(chǎng)；法拉第定律：時(shí)變磁場(chǎng)將激發(fā)電場(chǎng)；磁通連續(xù)性原理：穿過(guò)任一封閉面的磁通量恒等于零；高斯定理：穿過(guò)任一封閉面的電通量等于該面所包圍的自由電荷電量。第五十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日53麥克斯韋方程組中的四個(gè)方程并不都是獨(dú)立的。兩個(gè)散度方程可以由兩個(gè)旋度方程導(dǎo)出。？由于t=0時(shí)，由于t=0時(shí)，第五十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日電流連續(xù)性方程都可以由Maxwell方程導(dǎo)出54證明：對(duì)兩邊取散度因此，不必把電流連續(xù)性方程列入Maxwell方程組為什么不必把電流連續(xù)性方程列入Maxwell方程組？第五十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日55麥克斯韋方程組時(shí)變場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)緩變場(chǎng)迅變場(chǎng)電磁場(chǎng)(EM)準(zhǔn)靜電場(chǎng)(EQS)準(zhǔn)靜磁場(chǎng)(MQS)靜磁場(chǎng)(MS)小結(jié)：麥克斯韋方程適用范圍：一切宏觀電磁現(xiàn)象靜電場(chǎng)(ES)恒定電場(chǎng)(SS)第五十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日靜態(tài)場(chǎng)電磁場(chǎng)量一般是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。特殊情況下，它們不隨時(shí)間變化，因此Maxwell方程組中對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為0，故得：56靜態(tài)電場(chǎng)方程靜電場(chǎng)僅由電荷產(chǎn)生靜態(tài)磁場(chǎng)方程靜磁場(chǎng)僅由電流產(chǎn)生靜態(tài)情況下，電流連續(xù)性原理為：第五十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日57式中的k為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度。

例

2.9在無(wú)源自由空間的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

解自由空間的傳導(dǎo)電流密度為0，故由式,得第五十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日582.3.2媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

代入麥克斯韋方程組中，有：限定形式的麥克斯韋方程,適用于特定的媒質(zhì)（均勻媒質(zhì)）各向同性線性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為第五十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日59時(shí)變電場(chǎng)的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場(chǎng)；而時(shí)變磁場(chǎng)的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)不再相互獨(dú)立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)整體——

電磁場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別是電磁場(chǎng)的兩個(gè)分量。在離開輻射源（如天線）的無(wú)源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場(chǎng)和磁場(chǎng)仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。第五十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日60在無(wú)源空間中，兩個(gè)旋度方程分別為

可以看到兩個(gè)方程的右邊相差一個(gè)負(fù)號(hào)，而正是這個(gè)負(fù)號(hào)使得電場(chǎng)和磁場(chǎng)構(gòu)成一個(gè)相互激勵(lì)又相互制約的關(guān)系。當(dāng)磁場(chǎng)減小時(shí)，電場(chǎng)的漩渦源為正，電場(chǎng)將增大；而當(dāng)電場(chǎng)增大時(shí)，使磁場(chǎng)增大，磁場(chǎng)增大反過(guò)來(lái)又使電場(chǎng)減小。第六十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日以無(wú)源區(qū)()為例:再將代入上式，并考慮無(wú)源情況，得到電場(chǎng)的齊次波動(dòng)方程同理可得對(duì)兩端取旋度:方程的解是一種電磁波動(dòng)，其傳播速度是媒質(zhì)中的光速。如何利用Maxwell方程組寫出電磁波矢量波動(dòng)方程？第六十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日62有源區(qū)：場(chǎng)強(qiáng)與場(chǎng)源的關(guān)系復(fù)雜，一般不直接求解上述方程，而是引入位函數(shù)來(lái)求解和.可見，第六十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日632.3.3電磁場(chǎng)的位函數(shù)目的：將非齊次波動(dòng)方程的求解化為較簡(jiǎn)單的位函數(shù)的求解，在求出位函數(shù)后便可容易地得出場(chǎng)量和。a)矢量位函數(shù)

從電磁場(chǎng)基本方程組出發(fā),圖由場(chǎng)源求場(chǎng)的兩種方法b)標(biāo)量位函數(shù)這樣，我們就將

和用矢量和標(biāo)量表示

或第六十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日64由位函數(shù)的非齊次波動(dòng)方程洛侖茲規(guī)范（條件）定義的散度:因此，非齊次波動(dòng)方程若場(chǎng)不隨時(shí)間變化若場(chǎng)不隨時(shí)間變化第六十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日[解]根據(jù)麥?zhǔn)戏匠淌剑╝’）有例2.10試用麥克斯韋方程組導(dǎo)出圖2.3-5所示的RLC串聯(lián)電路的電壓方程（電路全長(zhǎng)遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)）。將回路電壓分段表示，得，（例2.2-2得：）圖2.3-5RLC串聯(lián)電路第六十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日66設(shè)外加電場(chǎng)為則有因?yàn)榛芈分械碾s散磁通可略，從而得——

基爾霍夫電壓定律

采用復(fù)數(shù)表示（設(shè)角頻率為)：可見，電路理論的基本方程不過(guò)是場(chǎng)方程的一種特殊化。第六十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日67例2.11利用電流連續(xù)性方程和麥?zhǔn)戏匠探M證明導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)部

[證]

電流連續(xù)性方程

將簡(jiǎn)單媒質(zhì)中麥?zhǔn)戏匠檀肷鲜?，?/p>

因有其解為

第六十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日2.4電磁場(chǎng)的邊界條件68

什么是電磁場(chǎng)的邊界條件?

為什么要研究邊界條件?媒質(zhì)1媒質(zhì)2

如何討論邊界條件?

實(shí)際電磁場(chǎng)問(wèn)題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁場(chǎng)矢量滿足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場(chǎng)的基本屬性。物理：由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變，場(chǎng)在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側(cè)失去意義，必須采用邊界條件。數(shù)學(xué)：麥克斯韋方程組是微分方程組，其解是不確定的，邊界條件起定解的作用。

麥克斯韋方程組的積分形式在不同媒質(zhì)的分界面上仍然適用，由此可導(dǎo)出電磁場(chǎng)矢量在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件。第六十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日69

邊界條件一般表達(dá)式媒質(zhì)1媒質(zhì)2

分界面上的電荷面密度

分界面上的電流面密度第六十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

在介質(zhì)分界面兩側(cè)，選取如圖所示的小環(huán)路，Δl緊貼邊界，Δh→0為一高階微量，小回路所包圍的面積也是高階微量，由70（1）電磁場(chǎng)量的切向邊界條件

邊界條件的推證

媒質(zhì)1媒質(zhì)2adcbΔs→0小回路中包圍電流第七十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日71或同理得媒質(zhì)1媒質(zhì)2adcb故得或聯(lián)立上面兩等式，可得的切向分量不連續(xù)，其差等于面電流密度；否則，的切向分量是連續(xù)的。任何分界面上的切向分量是連續(xù)的。第七十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日72（2）電磁場(chǎng)量的法向邊界條件令Δh→0，則由媒質(zhì)1媒質(zhì)2PS即同理，由

在兩種媒質(zhì)的交界面上任取一點(diǎn)P，作一個(gè)包圍點(diǎn)P的扁平圓柱曲面S，如圖表示?；蚧蛉魏畏纸缑嫔系姆ㄏ蚍至渴沁B續(xù)的。在分界面上有面電荷（理想導(dǎo)體表面上）時(shí)，的法向分量不連續(xù)，其差等于面電荷密度；否則，的法向分量是連續(xù)的。第七十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日73兩種理想介質(zhì)分界面上的邊界條件

兩種常見的情況

在兩種理想介質(zhì)()分界面上，通常沒(méi)有電荷和電流分布，即JS＝0、ρS＝0，故

的法向分量連續(xù)

的法向分量連續(xù)

的切向分量連續(xù)

的切向分量連續(xù)媒質(zhì)1媒質(zhì)2

的法向分量連續(xù)媒質(zhì)1媒質(zhì)2

的切向分量連續(xù)第七十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日742.理想導(dǎo)體表面上的邊界條件

理想導(dǎo)體表面上的邊界條件設(shè)媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體，則E2、D2、H2、B2均為零，故

理想導(dǎo)體：電導(dǎo)率為無(wú)限大()的導(dǎo)電媒質(zhì)

特征：電磁場(chǎng)不可能進(jìn)入理想導(dǎo)體內(nèi)理想導(dǎo)體理想導(dǎo)體表面上的電荷密度等于的法向分量理想導(dǎo)體表面上的法向分量為0理想導(dǎo)體表面上的切向分量為0理想導(dǎo)體表面上的電流密度等于的切向分量在導(dǎo)體表面處，介質(zhì)中的電場(chǎng)只有法向分量而磁場(chǎng)只有切向分量。“電立不躺，磁躺不立”第七十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日例2.12一空心的長(zhǎng)直長(zhǎng)銅管通過(guò)電流I，銅管的內(nèi)外半徑分別為a和b，（1）求各區(qū)磁場(chǎng)強(qiáng)度，磁場(chǎng)強(qiáng)度的旋度及磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度；（2）驗(yàn)證邊界上的邊界條件。解：ab(1)(2)第七十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日第七十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日77(3)可見，各分界面兩側(cè)切向Ht分量都連續(xù)。同時(shí)，因法向Bn處處為0，故法向Bn分量也都是連續(xù)的。驗(yàn)證邊界條件第七十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D

同軸線橫截面[解]圓柱坐標(biāo)系下直流導(dǎo)體中通過(guò)的電流密度是均勻的。外導(dǎo)體（a）內(nèi)導(dǎo)體區(qū)域:

應(yīng)用Maxwell方程組的方程：

內(nèi)導(dǎo)體的電流密度大?。豪?.13同軸線通過(guò)直流電流I，內(nèi)外導(dǎo)體上電流大小相等，方向相反。求各區(qū)域中的磁場(chǎng)和其旋度，并驗(yàn)證各分界面處的邊界條件。第七十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日79圖

同軸線橫截面

第七十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日80所以各分界面處的切向磁場(chǎng)分量連續(xù)另外，法向分量Bn，即處處為0，因此它也是連續(xù)的。下面驗(yàn)證邊界條件：第八十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

?

電磁場(chǎng)是具有能量的。時(shí)變電磁場(chǎng)中的能量守恒定律的表達(dá)形式——坡印廷定理；?

坡印廷矢量是描述電磁場(chǎng)能量流動(dòng)的物理量。2.5坡印廷定理和坡印廷矢量

表征電磁能量守恒關(guān)系的定理（坡印廷定理）積分形式：微分形式：一般媒質(zhì)的坡印廷定理：簡(jiǎn)單媒質(zhì)的坡印廷定理：第八十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日82——熱損耗功率密度，單位(S/m)(V2/m2)=W/m3)

其中：——電場(chǎng)能量密度，單位(F/m)(V2/m2)=J/m3)——磁場(chǎng)能量密度，單位(H/m)(A2/m2)=J/m3)單位時(shí)