2023年高考數(shù)學(xué)命題角度3.3獨(dú)立性檢驗(yàn)及回歸分析大題狂練文

命題角度3.3獨(dú)立性檢驗(yàn)及回歸分析1.隨機(jī)抽查這100名學(xué)生中的一名學(xué)生，抽到善于使用學(xué)案的學(xué)生概率是0.6．〔1〕請(qǐng)將上表補(bǔ)充完整〔不用寫(xiě)計(jì)算過(guò)程〕；〔2〕試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析：有多大的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與對(duì)待學(xué)案的使用態(tài)度有關(guān)？〔3〕假設(shè)從學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)中隨機(jī)抽取10人繼續(xù)調(diào)查，采用何種方法較為合理，試說(shuō)明理由．【答案】〔1〕善于使用學(xué)案不善于使用學(xué)案總計(jì)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀401050學(xué)習(xí)成績(jī)一般203050總計(jì)6040100〔2〕故有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與對(duì)待學(xué)案的使用態(tài)度有關(guān)．〔3〕分別從善于使用學(xué)案和不善于使用學(xué)案的學(xué)生中抽取8人和2人，這樣更能有效的繼續(xù)調(diào)查．〔1〕善于使用學(xué)案不善于使用學(xué)案總計(jì)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀401050學(xué)習(xí)成績(jī)一般203050總計(jì)60401002.某種多面體玩具共有12個(gè)面，在其十二個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3，…，12.假設(shè)該玩具質(zhì)地均勻，那么拋擲該玩具后，任何一個(gè)數(shù)字所在的面朝上的概率均相等.為檢驗(yàn)?zāi)撑婢呤欠窈细瘢贫z驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)為：屢次拋擲該玩具，并記錄朝上的面上標(biāo)記的數(shù)字，假設(shè)各數(shù)字出現(xiàn)的頻率的極差不超過(guò)0.05.那么認(rèn)為該玩具合格.〔1〕對(duì)某批玩具中隨機(jī)抽取20件進(jìn)行檢驗(yàn)，將每個(gè)玩具各面數(shù)字出現(xiàn)頻率的極差繪制成莖葉圖〔如下圖〕，試估計(jì)這批玩具的合格率；〔2〕現(xiàn)有該種類玩具一個(gè)，將其拋擲100次，并記錄朝上的一面標(biāo)記的數(shù)字，得到如下數(shù)據(jù)：朝上面的數(shù)字123456789101112次數(shù)978610998109781〕試判定該玩具是否合格；2〕將該玩具拋擲一次，記事件：向上的面標(biāo)記數(shù)字是完全平方數(shù)〔能寫(xiě)成整數(shù)的平方形式的數(shù)，如，9為完全平方數(shù)〕；事件：向上的面標(biāo)記的數(shù)字不超過(guò)4.試根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，完成以以下聯(lián)表〔其中表示的對(duì)立事件〕，并答復(fù)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，能否認(rèn)為事件與事件有關(guān).合計(jì)合計(jì)100〔參考公式及數(shù)據(jù)：，〕【答案】〔1〕85%;〔2〕1〕該玩具合格;2〕見(jiàn)解析.試題解析：〔1〕由題意知，20個(gè)樣本中，極差為0.052,0.071,0.073的三個(gè)玩具不合格，故合格率可估計(jì)為，即這批玩具的合格率約為85%.〔2〕1〕由數(shù)據(jù)可知，5點(diǎn)或9點(diǎn)對(duì)應(yīng)最大頻率0.10,4點(diǎn)對(duì)應(yīng)最小頻率0.06，故頻率極差為，故該玩具合格.2〕根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得以以下聯(lián)表：于是的觀測(cè)值，故在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，能認(rèn)為事件與事件有關(guān).3.某城市隨機(jī)抽取一年〔365天〕內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)API的檢測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：API大于300空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數(shù)413183091115記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失〔單位：元〕，空氣質(zhì)量指數(shù)為.在區(qū)間對(duì)企業(yè)沒(méi)有造成經(jīng)濟(jì)損失；在區(qū)間對(duì)企業(yè)造成經(jīng)濟(jì)損失成直線模型〔當(dāng)為150時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為500元，當(dāng)為200時(shí)，造成的經(jīng)濟(jì)損失為700元〕；當(dāng)大于300時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元.〔1〕試寫(xiě)出的表達(dá)式；〔2〕估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失大于200元且不超過(guò)600元的概率；〔3〕假設(shè)本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成以下列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)？0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.322.072.703.845.026.637.8710.82非重度污染重度污染合計(jì)供暖季非供暖季合計(jì)100【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕有95%的把握認(rèn)為空氣重度污染與供暖有關(guān).試題解析：〔1〕.〔2〕設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失大于200元且不超過(guò)600元〞為事件.由，得，頻數(shù)為39，所以.〔3〕根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如以下聯(lián)表：的觀測(cè)值.所以有95%的把握認(rèn)為空氣重度污染與供暖有關(guān).【方法點(diǎn)睛】此題主要考查分段函數(shù)的解析式圖、古典概型概率公式以及獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于難題.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：〔1〕根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；〔2〕根據(jù)公式計(jì)算的值；(3)查表比擬與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷.〔注意：在實(shí)際問(wèn)題中，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，得到的結(jié)論也可能犯錯(cuò)誤.〕4.在中學(xué)生綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)某個(gè)維度的測(cè)評(píng)中，分優(yōu)秀、合格、尚待改良三個(gè)等級(jí)進(jìn)行學(xué)生互評(píng).某校高一年級(jí)有男生500人，女生400人，為了了解性別對(duì)該維度測(cè)評(píng)結(jié)果的影響，采用分層抽樣方法從高一年級(jí)抽取了45名學(xué)生的測(cè)評(píng)結(jié)果，并作出頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表如下：表一：男生表二：女生〔1〕從表二的非優(yōu)秀學(xué)生中隨機(jī)抽取2人交談，求所選2人中恰有1人測(cè)評(píng)等級(jí)為合格的概率；〔2〕由表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“測(cè)評(píng)結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)〞.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.012.7063.8416.635【答案】〔1〕.〔2〕見(jiàn)解析.試題解析：〔1〕設(shè)從高一年級(jí)男生中抽出人，那么，，那么從女生中抽取20人，所以，.表二中非優(yōu)秀學(xué)生共5人，記測(cè)評(píng)等級(jí)為合格的3人為，，，尚待改良的2人為，，那么從這5人中任選2人的所有可能結(jié)果為，，，，，，，，，，共10種，設(shè)事件表示“從表二的非優(yōu)秀學(xué)生中隨機(jī)選取2人，恰有1人測(cè)評(píng)等級(jí)為合格〞，那么的結(jié)果為，，，，，，共6種，所以，即所求概率為.〔2〕列聯(lián)表如下：點(diǎn)睛：首先要了解分層抽樣的特點(diǎn)，按照抽取比例分層抽取即可，對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)敲葱枋煜ち新?lián)表的寫(xiě)法明確公式中的每一個(gè)數(shù)值代入即可5.某醫(yī)學(xué)院讀書(shū)協(xié)會(huì)欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，該協(xié)會(huì)分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下頻數(shù)分布直方圖：該協(xié)會(huì)確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).〔1〕求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個(gè)月的頻率；〔2〕選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù).〔i〕請(qǐng)根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出就診人數(shù)關(guān)于晝夜溫差的線性回歸方程；〔ii〕假設(shè)由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2人，那么認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問(wèn)該協(xié)會(huì)所得線性回歸方程是否理想？〔參考公式：，〕【答案】〔1〕；〔2〕〔i〕；〔ii〕是理想的.〔2〕〔i〕由數(shù)據(jù)求得，由公式求得，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為.〔ii〕當(dāng)時(shí)，，；同樣，當(dāng)時(shí)，，.所以，該協(xié)會(huì)所得線性回歸方程是理想的.6.某公司為評(píng)估兩套促銷(xiāo)活動(dòng)方案〔方案1運(yùn)作費(fèi)用為5元/件；方案2的運(yùn)作費(fèi)用為2元/件〕，在某地區(qū)局部營(yíng)銷(xiāo)網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn)〔每個(gè)試點(diǎn)網(wǎng)點(diǎn)只采用一種促銷(xiāo)活動(dòng)方案〕，運(yùn)作一年后，比照該地區(qū)上一年度的銷(xiāo)售情況，制作相應(yīng)的等高條形圖如下圖．〔1〕請(qǐng)根據(jù)等高條形圖提供的信息，為該公司今年選擇一套較為有利的促銷(xiāo)活動(dòng)方案〔不必說(shuō)明理由〕；〔2〕該公司產(chǎn)品的本錢(qián)為10元/件〔未包括促銷(xiāo)活動(dòng)運(yùn)作費(fèi)用〕，為制定本年度該地區(qū)的產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)格，統(tǒng)計(jì)上一年度的8組售價(jià)〔單位：元/件，整數(shù)〕和銷(xiāo)量〔單位：件〕〔〕如下表所示：售價(jià)3335373941434547銷(xiāo)量840800740695640580525460①請(qǐng)根據(jù)以下數(shù)據(jù)計(jì)算相應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果，選擇適宜的回歸模型進(jìn)行擬合；②根據(jù)所選回歸模型，分析售價(jià)定為多少時(shí)？利潤(rùn)可以到達(dá)最大.49428.7411512.43175.26124650〔附：相關(guān)指數(shù)〕【答案】〔1〕年度平均銷(xiāo)售額與方案1的運(yùn)作相關(guān)性強(qiáng)于方案2.〔2〕①采用回歸模型進(jìn)行擬合最為適宜.②試題解析：〔1〕由等高條形圖可知，年度平均銷(xiāo)售額與方案1的運(yùn)作相關(guān)性強(qiáng)于方案2.〔2〕①由數(shù)據(jù)可知，回歸模型對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)；回歸模型對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)；回歸模型對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù).因?yàn)?，所以采用回歸模型進(jìn)行擬合最為適宜.②由〔1〕可知，采用方案1的運(yùn)作效果較方案2好，故年利潤(rùn)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)售價(jià)時(shí)，利潤(rùn)到達(dá)最大.7.在“一帶一路〞的建設(shè)中，中石化集團(tuán)獲得了某地深海油田區(qū)塊的開(kāi)采權(quán)，集團(tuán)在該地區(qū)隨機(jī)初步勘探了幾口井，取得了地質(zhì)資料.進(jìn)入全面勘探時(shí)期后，集團(tuán)按網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)來(lái)布置井位進(jìn)行全面勘探.由于勘探一口井的費(fèi)用很高，如果新設(shè)計(jì)的井位與原有井位重合或接近，便利用舊井的地質(zhì)資料，不必打這口新井，以節(jié)約勘探費(fèi)用.勘探初期數(shù)據(jù)資料下表：(1)在散點(diǎn)圖中號(hào)舊井位置大致分布在一條直線附近，借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸線方程為，求，并估計(jì)的預(yù)報(bào)值；(2)現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井，假設(shè)通過(guò)1、3、5、7號(hào)井計(jì)算出的的值(精確到0.01)相比于(1)中的值之差(即：)不超過(guò)10%，那么使用位置最接近的已有舊井，否那么在新位置打井，請(qǐng)判斷可否使用舊井？(參考公式和計(jì)算結(jié)果：,)(3)設(shè)出油量與鉆探深度的比值不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井，在原有井號(hào)的井中任意勘探3口井，求恰好2口是優(yōu)質(zhì)井的概率.【答案】(1)，的預(yù)報(bào)值為24；(2)可以使用位置最接近的已有舊井；(3).試題解析：(1)因?yàn)?，回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，那么，故回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，，即的預(yù)報(bào)值為24；(2)因?yàn)椋?，，即，，均不超過(guò)10%，因此可以使用位置最接近的已有舊井；點(diǎn)睛：一是回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的線性回歸方程才有實(shí)際意義，否那么，求出的線性回歸方程毫無(wú)意義．二是根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值．8.參加衡水中學(xué)數(shù)學(xué)選修課的同學(xué)，對(duì)某公司的一種產(chǎn)品銷(xiāo)量與價(jià)格進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖：定價(jià)〔元/〕年銷(xiāo)售〔參考數(shù)據(jù)：〕〔I〕根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，與哪一對(duì)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性〔給出判斷即可，不必說(shuō)明理由〕？〔II〕根據(jù)〔I〕的判斷結(jié)果有數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程〔方程中的系數(shù)均保存兩位有效數(shù)字〕；〔III〕定價(jià)為多少元/時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.【答案】〔I〕由散點(diǎn)圖可知，與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性;〔II〕;〔III〕定值為元/時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.試題解析：〔I〕由散點(diǎn)圖可知，與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性.〔II〕由題得，，，，又，那么，∴線性回歸方程為，那么關(guān)于的回歸方程為.9.在“新零售〞模式的背景下，某大型零售公司咪推廣線下分店，方案在市的區(qū)開(kāi)設(shè)分店，為了確定在該區(qū)開(kāi)設(shè)分店的個(gè)數(shù)，該公司對(duì)該市已開(kāi)設(shè)分店聽(tīng)其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到以下表格．記表示在各區(qū)開(kāi)設(shè)分店的個(gè)數(shù)，表示這個(gè)個(gè)分店的年收入之和．〔個(gè)〕23456〔百萬(wàn)元〕2.5344.56〔1〕該公司已經(jīng)過(guò)初步判斷，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；〔2〕假設(shè)該公司在區(qū)獲得的總年利潤(rùn)〔單位：百萬(wàn)元〕與之間的關(guān)系為，請(qǐng)結(jié)合〔1〕中的線性回歸方程，估算該公司應(yīng)在區(qū)開(kāi)設(shè)多少個(gè)分店時(shí)，才能使區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤(rùn)最大？〔參考公式：，其中〕【答案】(1);(2)該公司應(yīng)開(kāi)設(shè)4個(gè)分店時(shí)，在該區(qū)的每個(gè)分店的平均利潤(rùn)最大.【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)所給數(shù)據(jù)，按照公式計(jì)算回歸方程中的系數(shù)即可；〔2〕利用〔1〕得利潤(rùn)與分店數(shù)之間的估計(jì)值，計(jì)算，由根本不等式可得最大值．試題解析：〔1〕由表中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得：，，∴，∴，∴．10.在某次測(cè)試后，一位老師從本班48同學(xué)中隨機(jī)抽取6位同學(xué)，他們的語(yǔ)文、歷史成績(jī)?nèi)绫恚簩W(xué)生編號(hào)123456語(yǔ)文成績(jī)6070749094110歷史成績(jī)586375798188〔Ⅰ〕假設(shè)規(guī)定語(yǔ)文成績(jī)不低于90分為優(yōu)秀，歷史成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀，以頻率作概率，分別估計(jì)該班語(yǔ)文、歷史成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)；〔Ⅱ〕用表中數(shù)據(jù)