2021年高考數(shù)學(xué)真題試題(北京卷)(Word版答案解析)

22??????3偶數(shù)，最大值為22??????3偶數(shù)，最大值為2021高數(shù)真試（京）一、選題共10小題，每小題4分，共40分，在小題列的四個選項，選出合題目要求的項．（共10題；分）已集合??，，??（）A.

B.

在平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足(1，（）A.

B.??

已是定義在上的函數(shù)，那“函在上調(diào)遞增是函??(在上的最大值為”的（）A.充而不必要條件充必要條件

B.要而不充分條件不充分也不必要條件某面體的三視圖如圖所示，該四面體的表積為（）A.

B.4C.

+√3

2雙線

??

22

????

22

過點√√

，且離心率為，則該雙曲線的標準方程為（）A.

??3

B.

3

??

??3

2

3

2

??

6.??

和{??是個等差數(shù)列，其中??

????

??

為常值，??

，??，??，則??

（）A.64B.128C.256函，判斷函數(shù)的奇偶性及最大值（）A.奇數(shù)，最大值為2B.偶函數(shù)，最大值為2奇數(shù)，最大值為

定24小內(nèi)降水在平地上積水厚度（）判斷降雨程．其中小雨（），中雨（10

），大雨（

），暴雨（

），小明用一個圓錐形容器接了小的水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級（）

??1??????1????A.小已圓??

2

2

B.中雨大雨暴，直線，變時，截得圓弦長的最小值為2，則（）A.

B.

±√2

510.數(shù)列

是增的整數(shù)數(shù)列，且??，+，則??的大值為（）112??A.9B.10C.D.12二、填題小題，每題5分，共25分．（共5題；共25分）11.

展開式中常數(shù)項________．12.已知拋物線??:

2

，點為，點為物線上點，且，則??的坐標是________；軸，則

________．13.若點與

??

關(guān)于軸稱，寫出一個符合題意的??________．14.已知函數(shù)，出下列四個結(jié)論：①若，則??(有兩個零點；②，得有一個零點；③，得有三個零點；④，得有三個零點．以上正確結(jié)論得序號________．15.，，(0,1)，________；?________．三、解題共6小題，分解答應(yīng)出文說明，算步驟或證過程．共6題；共85分）16.已知在中，2，

2??

．（）??的大小；（）下列三條件中選擇一個作為已知，使存且唯一確定，并求出邊上的中線的長度．

??????111111111111112??????111111111111112??????+????????????5????①

；周為

；面為

；17.已知正方體????????

，點??為

中點，直線????

交平面??于點．（）明：點為????的中點；（）點為棱??

上一點，且二面角??的弦值為

，求

??????

的值．18.為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機構(gòu)采“k合1檢法”，即將k個人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的；若為陽性，則還需要對本組的每個人再做檢測．現(xiàn)有人已知其中人染病毒．（）若采“10合檢測”，且兩名患者在同一組，求總測次數(shù)；②已分成一組，分10，兩名感染患者在同一組的概率為

111

，定義隨機變量X為檢測次，求檢測次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望()；（）采用5合1檢”，檢測次數(shù)的期望為Y，試比較(X(Y的接寫出結(jié)果．19.已知函數(shù)．2??（）??，在(1,??(1))處線方程；（）函數(shù)在處取得極值，求的調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值．20.已知橢圓

??

22

??過，以四個頂點圍成的四邊面積為52

．（）橢圓的標準方程；（）點P(0，的線l斜為k，交圓E于同的兩點B，

，直線AB，AC交=-3于點M、，直線交y于N，|PM|+|PN|，求k的值范圍．21.定義??

數(shù)列??

：對實數(shù)，滿足：????，????；??1

,????????

；????????,??????1}，??,??

．（）于前4項，，，的列，可以是數(shù)嗎？說明理由；（）??

是??

數(shù)列，求??的；（是存在p，使得存在??

數(shù)列??

，對??,????

？若存在，求出所有這樣的p若不存在，說明理由．

答案解析部分一、選擇題共10小，每小題4分共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求一項．【案】【考點】并集及其運算【解析】【解答】解：根據(jù)并集的定義易??}故答案為：【分析】根據(jù)并集的定義直接求解即.【案】【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算

，【解析】【解答】解：

????????

??

，故答案為：【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則直接求解即.【案】【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【解析【解答】解①【充分性若函數(shù)在0,上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可函f(x)在0,1]的大值為所以函f(x)在0,上調(diào)遞增為函f(x)在0,的最大值為“的充分條件；必性函數(shù)f(x)在0,1]的大值為，數(shù)f(x)0,上可能先遞減再遞增，且最大值為f(1)，所以函f(x)在0,上調(diào)遞增不“函f(x)在0,1]的大值為“必要條件，所以函f(x)在0,1]上單調(diào)遞增是函f(x)在0,的最大值為的充分而不必要條.故答案為：【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的判定直接求解即.【案】【考點】由三視圖求面積、體積，由三視圖還原實物圖，棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

°112??222(2【解析】【解答】解：由三視圖可知該四面體如下圖所示：°112??222(2該四面體為直三棱錐，其中SA平面ABC，則SB=SC=BC=

，則所求表面積為(11)√故答案為：【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，結(jié)合棱錐的表面積公式求解即.【案】【考點】雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】解：由

????

得，=c22=3a2則可設(shè)雙曲線方程為：2

????2

1，將點(√3)解得a2

代入上式，得2)(3)22

故所求方程為：??

??

=1故答案為：【分析】根據(jù)雙曲線的離心率的定義，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)和標準方程求解即【案】【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)

1??，??1所以【解析】解答：題意得【，則，則??5????1922??23211時，取得最1??，??1所以【解析】解答：題意得【，則，則??5????1922??23211時，取得最大值)1.?28??1501122222553??15

5

192642

.故答案為：【分析】根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即.【案】【考點】偶函數(shù)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值【解析】【解答】解f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x)f(x)為函數(shù)又f(x)=cosx-cos2x=-2cosx+cosx+1令t=cosx，y=-2t，[-1,1]，則當(dāng)

112??????故答案為：【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的最值求解即【案】【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）【解析】【解答】解：如圖所示，由題意得，則r=50100300則雨水的體積為π3

π50

150，則降雨的厚度（高度）

π

13

π×150π

(??故答案為：【分析】根據(jù)圓錐的體積公式，及圓柱的體積公式求解即.

??2????1n??100【案】??2????1n??100【考點】點到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系【解析】【解答】解：由題意可設(shè)弦長為n圓心到直線的離為，則

2

2

()2

，則當(dāng)取小值2時，d取最值

，則

????

2

當(dāng)k=0，d取最大值3

，則??|3解得??故答案為：【分析】根據(jù)直線與圓的位置，以及相交弦的性質(zhì)，結(jié)合點到直線的距離公式求解即10.【答案】【考點】等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的前n項【解析】【解答】解數(shù)列

是增的整數(shù)數(shù)列n要最大d盡可能為小的整數(shù)，故可假設(shè)d=1a=3，a=n+2??

??2??2

??

2

5??2則S，S=102>100故n的大值為11.故答案為：【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式求解即.二、填空題5小，每小題5分，共25分11.【答案】-4【考點】二項式定理，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式定理的應(yīng)用【解析】【解答】解：由題意得二項展開式的通項公式????1

??

??()??

)12??令12-4k=0，得k=3故常數(shù)項為

(故答案為：【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式直接求解即.12.【答案】5；√【考點】拋物線的簡單性質(zhì)，拋物線的應(yīng)用【解析】【解答】解：由題意知焦點F為（1,0，準線為x=-1，點M為x,y）則有0，得x=5，25不妨取點為(5)

，

11（滿足ππππ【解析】【解答】解：由題意得，11（滿足ππππ【解析】【解答】解：由題意得，則??)·，則

??|×4√22故答案為：，√【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式求解即.13.【答案】

????1212

??,即可）【考點】誘導(dǎo)公式【解析】【解答】解：由題意得

??

π6

，對比導(dǎo)公式sinα=sin(，α=-cos(α)(6得π?π，6解得πk12當(dāng)k=0故答案為：12

π12【分析】根據(jù)點的對稱性，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即.14.【答案】②④【考點】函數(shù)的零點【解析】【解答】解：令|lgx|-kx-2=0即y=與y=kx+有個交點，原函數(shù)就有幾個零點，①k=時，如圖1畫函數(shù)圖像，f(x)=|lgx|-2，得正確；

1100

，所有兩個零點，項②時y=kx+2過點0,2)，圖2畫出兩個函數(shù)的圖像故項確；

，使得函數(shù)存在兩個交點，③時y=kx+2過點0,2)，圖3畫出兩個函數(shù)的圖像，不存在時，使得兩函數(shù)存在三個交點，故項誤；④時y=kx+2過點0,2)，圖4畫出兩個函數(shù)的圖像故項確故答案為：②【分析】根據(jù)函數(shù)的零點的幾何性質(zhì)，運用數(shù)形結(jié)合思想求解即.15.【答案】0；【考點】平面向量的坐標運算，平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

，使得函數(shù)存在三個交點，·??22()

??3??，2，解得????eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)??332111故??3??，2，解得????eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)??332111【分析】根據(jù)向量的坐標運算，及向量的數(shù)量積運算求解即.三、解答題共小，共分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（），由正弦定理可得??，??，∵，33

????33

，????；36（）選①：正弦定理結(jié)合）可得

√3212

3，與??

矛盾，故這樣的????不存在；若選擇：（）可得

??6

，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得??3，3

??6

，則周長33

，解得??，則??3

，由余弦定理可得邊的中線的長度為：31×；6若選擇：（）可得

??6

，即??，則??

113

，解得

，則由余弦定理可得邊的中線的長度為：2

+3

.【考點】正弦定理，余弦定理，正弦定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，三角形中的幾何計算【解析】【分析】1根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角和的性質(zhì)求解即可；（）選擇：根據(jù)正弦定理，結(jié)合）進行判斷即可；選擇：據(jù)正弦定理，及余弦定理求解即可；選擇：據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合余弦定理求解即.17.【答案】（）圖示，取

的中點

′，結(jié)??

′??

′

，

111111111111111111111111111111由于??

為正方體，??

′為點，故

，從而??,

′,

四點共面，即平面CDE即面據(jù)此可得：直線

交平面于點

′，當(dāng)直線與平面相交時只有唯一的交點，故點??與

′重合，即點為

中點.（以點為標原點，方向分別為??軸軸，軸方形，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)正方體的棱長為，設(shè)

1)

，則：??(1,2,2),??(1,0,2)，從而：，設(shè)平面的向量為：(,,??，則：??1111

，令??

?1可：

11

,，設(shè)平面的向量為：,,??，：??

，令??

?1可：?1)，從而：√5

11

,|

，

21132，??(30)130′21132，??(30)130′(，則??22(4則：

?

√5(

511??

5

3

，整理可得：??1)，??（??舍）422【考點空中直線與平面之間的位置關(guān)系，與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，用空間向量求平間的夾角【解析】【分析】1根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合直線與平面相交的性質(zhì)定理求證即可；（）據(jù)向量求二面角，結(jié)合方程的思想求解即.18.【答案】（）對組進行檢測，需要10次再對結(jié)果為陽性的組每個進行檢測，需要10次所以總檢測次數(shù)為次②由意，??可取，，20)

1110111111

，則??的布:

20111

3011所以??(20×

110320111111

；（）題意，可以取25，，設(shè)兩名感染者在同一組的概率為，，??(30)1，則??(255，若??若??若??

211211211

時，??(；時，??(；時，??(.【考點簡隨機抽樣，互斥事件與對立事件，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的望與方差【解析】【分析】1）根據(jù)“k合檢測”，結(jié)合隨機抽樣的定義求解即可；②根“k合檢測”，以及對立事件的概率，結(jié)合離散型隨機變量的分布列和期望求解即可；（）據(jù)“k合1檢法，及對立事件的概率，結(jié)合離散型隨機變量的期望求解即.19.【答案】（）時

322

，則

′(

2(3

，∴??(1)1，

′

，此時，曲線在點(1,處的切線方程為14(，4；（）為

322

2

??)22

2(3

2

，由題意可得

′(1)??1)2

，解得4，

′(，32211212??111221,′(，32211212??111221,212??1212故??(

32??1)(??4)2422

，列表如下：

∞1)

-1

4

∞

′(

+

0

-

0

+

增

極大值

減

極小值

增所以，函數(shù)的區(qū)間為

∞,1)

、(4,

∞

，單調(diào)遞減區(qū)間為

.當(dāng)??時，；當(dāng)時??(.2所以，

max

??(1)1，??(4)min

14

.【考點導(dǎo)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)求區(qū)間上函數(shù)的最值【解析】【分析】1根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（）據(jù)導(dǎo)數(shù)究函數(shù)的極值求得a值再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值即.20.【答案】（）為圓過

，故，因為四個頂點圍成的四邊形的面積為4，

12

2245，

，故橢圓的標準方程為：

??4

1

.（）??(,????，因為直線的率存在，故??，故直線

??

1

，令??3

，則

??

，同理

??

.??=3直線????3，由2??

可得

2

2

25，故

2

)，解得??

或??1.又??

2

30??12

2

，故??，以又

|

??2??

1122121212124+5??4+5??25??3022212??+2????31314441431341431122121212124+5??4+5??25??3022212??+2????313144414313414311413413112111111214??4(??+1)+14??+5??+(4??+5??)4514541??11224??14??14??4????

??????1

??????1

|=|

??

2????????2??????(??

????)+1

|

50??30??2222+14+5??4+5??

5|??|故5|??|15即??|3，綜上，3??1

或1??3.【考點】橢圓的標準方程，橢圓的簡單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的綜合問【解析】【分析】1根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解即可；（）據(jù)直線橢圓的位置關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長公式求解即.21.【答案】（）性③結(jié)合題意可知0

2,??2，31212矛盾，故前4項2,2,0,1

的數(shù)列，不可能是數(shù).（）質(zhì)0,0，由性質(zhì)，因此或??1，0或1，若??

0，由性②可34

，即

0或10，盾；1若??1,1，??有

1<1，盾因此只能是