高中數(shù)學(xué)圓錐曲線橢圓及其性質(zhì)(題型全歸納)

考綱解讀了解圓錐曲線的實際背景及其在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.掌握橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何圖形及其簡單性質(zhì)了解橢圓的簡單應(yīng)用理解數(shù)形結(jié)合的思想命題趨勢研究橢圓是圓錐曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓的基本性質(zhì)，橢圓方程的求法，橢圓定義的運用和橢圓中各個量的計算，尤其是對離心率的求解，更是高考的熱點問題，在各種題型中均有題型預(yù)測2019年高考對本節(jié)考查內(nèi)容為：（1）利用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)，尤其是離心率的求值及取值范圍問題.（2）利用已知條件求出橢圓的方程，特別是與向量結(jié)合求方程更是重點.橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)及直線相交問題的考查以中檔題目為主，每年高考分值大多保持在5分.知識點精講

一、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F,F的距離之和等于常數(shù)2a(2a>1FFI)的點的軌跡叫做橢圓,1212這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語言表示為：{PIIPFI+1PF1=2a(2a>IFF1=2c>0)}1212注明：當(dāng)2a=2c時，點的軌跡是線段；當(dāng)2a<2c時，點的軌跡不存在.二、橢圓的方程、圖形與性質(zhì)橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示.(如下表10-1)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形n%b?標(biāo)準(zhǔn)方程蘭+蘭=i(a>b>0)a2b2竺+乂=1(a>b>0)a2b2統(tǒng)一方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m豐n)參數(shù)方程\x=acos0小、「亠、”小、{7?n,e為參數(shù)3W[0,2兀])[y=bsinUFx=acosU—亠、”皿、4.n，U為參數(shù)(Uw[0,2兀])[y=bsinU第一定義到兩定點F、F的距離之和等于常數(shù)2a，即IMFI+IMFI=2a(2a>IFFI)121212范圍-a<x<a且-b<y<b-b<x<b且-a<y<a頂點A(-a,0)、A(a,0)12B(0,-b)、B(0,b)12A(0,-a)、A(0,a)12B(-b,0)、B(b,0)12軸長長軸長=2a短軸長=2b長軸長=2a短軸長=2b對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱焦占八\、八、、F(-c,0)、F(c,0)12F(0,-c)、F(0,c)12

焦距IffI=2c12(c2=a2-b2)離心率“cjc2Ja2一b2Lb2(0<e<1)e———41—+F丄aYa2Va2Va2準(zhǔn)線方程x=士a2（不考）c>1'外［外X2y2>1點和橢圓4.y—o+—^<a2b2=1o點(X,y)在橢圓<00上y2x2-0+a2b210點（x,y）在橢圓＜上的關(guān)系<1內(nèi)00內(nèi)l<1聾+尋=1((x,y)為切點)a2b2oo尊+冨=1((x,y)為切點)a2b200切線方程對于過橢圓上一點（X,y）的切線方程,只需將橢圓方程中x2換為xx,y2換為000yoy便得切點弦所在xxy_aL丿八-=1（點（X,y）在橢圓外）尋+x=1（點（x,y）在橢圓外）的直線方O10—a2b200a2b200程①COS0二:-1,°=ZFBF,（B為短軸的端點）rrmax12121C0[c|y|,焦點在x軸上.②S=—rrsin0=b2tan—=0(0=ZFPF)APF1F22122[c|x|,焦點在y軸上120焦占三角八\、八、、714形面積J「當(dāng)P點在長軸端點時，（rr）Min=b2J③＜12［當(dāng)P點在短軸端點時，（rr）max=a2J12焦點三角形中一般要用到的關(guān)系是1MF1+1MF1=2a(2a>2c)12VS=丄PF||PF|sinZFPF)APF1F2212121FF|2=|PF|2+1PF|2-21PFIIPF1cosZFPF*12121212焦半徑左焦半徑：MF=a+ex又焦半徑：MF=a-ex上焦半徑：MF=a-ey11丨0下焦半徑：MF|=a+ey焦半徑最大值a+c,最小值a-c通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑:通徑長=2魚(最短的過焦點的弦)a設(shè)直線與橢圓的兩個交點為A(&y1)，B(y2),J=k,則弦長|AB=J1+k2片-xI=J1+k2J(x-x)2-4xxrv1212弦長公式11=J1+日Ty2)24yyJ1+k2121a1(其中a是消y后關(guān)于x的一元二次方程的x2的系數(shù)，A是判別式)題型歸納及思路提示題型136橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程思路提示定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2,b2的值，再結(jié)合焦點位置，直接寫出橢圓方程.待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出a,b,c的方程組，解出a2,b2，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設(shè)方程為Ax2+By2二1(A>0,B>0,A豐B).TOC\o"1-5"\h\zx2y2x2y2②與橢圓一^―=1共焦點的橢圓可設(shè)為+=1(k>-m,k>-n,m豐n).mnm+kn+kx2y2x2y2③與橢圓一+廠=1(a>b>0)有相同離心率的橢圓，可設(shè)為一+廠=k(k>0，a2b2a2b211x2y2焦點在x軸上)或一+]=k(k>0，焦點在y軸上).a2b222一．橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的求解例10.1動點P到兩定點F(-4,0),F(4,0)的距離之和為10，則動點P的軌跡方程是12））A.x2y2+=116A.x2y2+=1169B.x2y2+=1259C.x2y2+=12516D.x2y2+=110036解析依題意，動點P的軌跡是橢圓，且焦點在x軸上，設(shè)方程為x2y2+=1(a>b>0)，由c=4,2a=10,a=5，得b=\；a2-c2=3，則橢圓方程為a2b2x2y225+~9=1，故選B.變式1求焦點的坐標(biāo)分別為F1（-4,0）,F2（4,0），且過點P（學(xué)3）的橢圓的方程.4J5變式2已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為〒和告5，過點P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求此橢圓的方程.例10.2在厶ABC，已知A（-2,0）,B（2,0），動點C使得△ABC的周長為10,則動點C的軌跡方程為.解析由題意ICAI+1CB1=10-1AB1=10-4=6>1ABI，故動點C的軌跡是以A,B為焦點，長軸長為6的橢圓（除去左右頂點），即a=3,c=2，則b2=a2-c2=5，x2y2則軌跡方程為—+丁=1（y豐0）變式1已知動圓P過定點A（-3,0），且與圓B：（x一3）2+y2=64相切，求動圓圓心P的軌跡方程.變式2已知一動圓與圓O:(x+3)2+y2=1外切，與圓O:(x-3)2+y2=81內(nèi)切,12試求動圓圓心的軌跡方程.變式3已知圓O:(x+2)2+y2=16，圓圓O:(x-2)2+y2=4，動圓P與圓O內(nèi)121切，與圓O外切，求動圓圓心P的軌跡方程.2例10.3已知橢圓的長軸長是8,離心率是4，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()x2y2A—^―=1.169x2y2x2y2B1=1或1=1167或716x2y2C.+=11625x2y2x2y2D——+——=1或——+——=1D.1625或2516TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"c3解析因為橢圓的長軸長是8,即2a=8，所以a=4，離心率為丁，則一=丁,c=3，a4x2y2x2y2所以b2=a2—c2=7，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是石：+—=1或+=1.故選B167716變式1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F,F在x軸上，離心12率為蘭［.過F的直線l交C于A,B兩點，且△ABF的周長為16,那么C的方程為212變式2已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為且過P(—5,4)變式2圓的方程為變式3經(jīng)過A(1,變式3經(jīng)過A(1,2310),B(2,兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．橢圓方程的充要條件x2y2例10.3若方程才〒+?=1表示橢圓，則k的取值范圍是5—kk—3—k>0解析由題意可知<k—3>0，解得3<k<4或4<k<55—k豐k—3故k的取值范圍為(3,4)(4,5)評注易錯點：忽略5kk3.x2y21表示橢圓的充要條件為：m0,n0,mn；mnx2y21表示雙曲線方程的充要條件為：mn0:mnx2y21表示圓方程的充要條件為：mn0:mn變式1如果x2ky22表示焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是.變式2“mn0”是“方程mx2ny21表示焦點在y軸上的橢圓”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件變式3若方程(5m)x2(m2)y28表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是.題型137離心率的值及取值范圍思路提示求離心率的本質(zhì)就是探究a，c之間的數(shù)量關(guān)系，知道a,b,c中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出e的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法和定義法.x2y2例10.4已知橢圓1?b0)a2b2若長軸長，短軸長，焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為.若長軸長，短軸長，焦距成等比數(shù)列，則該橢圓的離心率為.解析⑴由題設(shè)可知2bac,且a2b2c2,故b2a2c2(仝”)2，ac即ac廠，即3a5c，c3所以e■a5(2)由題設(shè)可知b2ac，且a2b2c2，故a2c2ac，

c即c2+ac-a2=0，所以e=可得,a解得e=孝或e=二^(舍去)所以e所以e=<5-12x2y2變式1橢圓藥+t=1(a>b>0)的左右頂點分別是A，B，左右焦點分別是Fi，F(xiàn)2.若|AF|,|FF|,|BF|成等差數(shù)列，則此橢圓的離心率為.1121x2y2變式2已知橢圓一+—=1(a>b>0)的左頂點為A，左焦點為F，上頂點為B,a2b2若ZBAO+ZBFO=9Oo，則該橢圓的離心率是.x2y2例10.6過橢圓-+-=1(a>b>0)的左焦點件作x軸的垂線交橢圓于點P，為右焦點，若AFPF=600，則橢圓的離心率為()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解法一：(定義法)令I(lǐng)PF1=1，貝y在R^PFF中，由ZFPF=60。，11212可知IPFl=2,IFFI=p3，由橢圓定義得2a=IPFl+IPFI=3，2c=朽，212122c朽

所以e==.故選B.TOC\o"1-5"\h\z2a3解法二因為P（-c,土），再由ZFPF=600，所以ZPFF=30。，得IPFI=2IPFI，a1221213b2b22Ib^J33IPF=2a,=2a,2a2=3b2，故—=斤所以e=、'1—=.故選B.1aa23a23b2IFFI廠解法三同解法二，因為P（-c,土），在RUPFF中，得-^^-=tan600=p3，即a12IPFI12c2acbr7'故有2ac=73b2=>/3(a2一c2)，返c2+2ac-73a2=0，腭e2+2e-運=0所以e=~3或e=一€3.故選B.評注求離心率的過程就是探求基本量a,b,c的齊次式間的等量關(guān)系，常見的離心率公cLb2Lb2式應(yīng)熟悉：①e=—；②e=J1(橢圓)③e=J1H(雙曲線)，另外，在求解離aVa2ya2心率過程中要有以下意識:①利用定義的意識(定義中有2a，且|FF|=2c[②獲得了a,b,c12中的任意的兩個參數(shù)間的數(shù)量關(guān)系都可以求解離心率e.TOC\o"1-5"\h\z變式1已知正方形ABCD，以A,B為焦點，且過C,D兩點的橢圓的離心率為.變式2已知橢圓5+養(yǎng)=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2,且竹=2c，點A在橢圓上’且年垂直于x軸，碼-碼=c2，則橢圓的離心率e等于()3<3-15-12A?丁B?丁C?丁D?丁X2y2變式3已知橢圓一+]=1(a>b>0)的左右焦點分別為F，F(xiàn)，焦距|FF|=2c，a2b2121121若直線y=x+c)與橢圓的一個交點M滿足ZMFF=2ZMFF，則橢圓的離心率e\o"CurrentDocument"1221等于.x2y2變式4設(shè)F，F(xiàn)是橢圓一+》=1(a>b>0)的兩焦點，以F為圓心，且過橢圓中12a2b22心的圓與橢圓的一個交點為M，若直線FM與圓F相切，則橢圓的離心率為()12A.<3-1B.2-占C.3D.222x2y2例10,7橢圓G:-+令=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1(-c‘0)，F(xiàn)2(c‘O)'橢圓

上存在點M使FM-FM=0，則橢圓的離心率e的取值范圍為.12解析解法一：由知識點精講中結(jié)論知，當(dāng)P為橢圓的短軸端點時，ZFPF取得最大12值，而由題意可知，若在橢圓上存在點M使得FM-FM=0，即ZFMF=90。，只需1212要焦點三角形的頂角最大值>90。即可，故只需保證當(dāng)點M落在橢圓短軸端點處情形時cZFMF彳MF2=900的即可，所以2=>血⑸=〒又因為“<1，故所求的橢圓離心率的取值范圍是解法二：由橢圓的定義知IMFI+IMFI=2a，在△FMF中，ZFMF=90。，由勾121212股定理得，IFM|2+|FM|2=1FF|2=4c2，將上式化簡得IFMI-1FM1=2(a2-c2)，121212根據(jù)韋達定理，可知1F1M1-1F2M】=2(a2-c2)是方程x2-2ax+2(a2-c2)=0的兩個根,則A=4a2—8(a2—c2)>0(—)2>，即e>，又因為e<1，故所求的橢圓離心率的a22取值范圍是-丿變式1已知F，1f2是橢圓02+備=1(a〉b〉0)的兩焦點，滿足申-可=0變式1已知F，1M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓的離心()A.(0,1)B.D.、A.(0,1)B.D.、,1丿x2y2例10-8橢圓02+厲=1(a>b>0)的兩個焦點F1，F(xiàn)2，若卩為其上一點，且IPFI=2IPFI，F(xiàn)，則此橢圓離心率的取值范圍為122分析根據(jù)橢圓的定義IPFI+IPFI=2a求解..12解析解法一，由IPFI+IPFI=2a，IPFI=2IPFI得1212IPFI=4a，IPFI=迥，又IPFI—IPFI<2c，即2c>色,1323123111121111222得3<e<1,故離心率的取值范圍為［1，1'.「九一1X2+蘭a2b2評注若橢圓上存在點P，使得IPF"IPFI。〉0,“1)X2+蘭a2b2變式1橢圓二+「=1(a>b>0)的兩個焦點J仆橢圓上存在P使得IPFI=3IPFI橢圓方程可以是(1A.蘭+竺=13635B.乂+蘭=11615A.蘭+竺=13635B.乂+蘭=11615C.蘭+竺=12524D.變式2x2已知橢圓五+著=1(a>b>0)的左右焦點分別為FL0)，F(xiàn)2(C，°)，若橢sinZPFFc圓上存在一點P使打2=，則橢圓的離心率e的取值范圍為.sinZPFFa21題型138焦點三角形思路提示焦點三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點到橢圓兩焦點將距離問題常用定義，即IPFI+IPF1=2a.12x2y2例10.9已知F，F(xiàn)是橢圓C:-+厲=1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且丐丄點，且丐丄匹，若"FF的面積為9,則b=12解析焦點三角形PF1F2中,丐丄碼，故S“FF=2|PFH叫,12又IPF|2+|PF|2=1FF|2,|PFI+IPF1=2a121212=4c2，(PF]I+[PF?I)-2|PF|-|PFI=|FFI2，4a2-=4c2，所以|PF|.所以|PF|.|PF|=2b2，則S=b2=9，故b=3.APF1F2評注若APFF為一般三角形，則S二1PF卜|PF|sin9(用0表示ZFPF).12APF1F22212由余弦定理得\PF|2+|PF|2-2|PF卜|PF|\PF|2+|PF|2-2|PF卜|PF|cos9=|FF|2，又|PF|+|PF|=2a1212121^2|)-2|PF|?|PF|-(1+cos9)=4c2,12|家|=2c,所以HpfJ+\PF所以2|PFI?|PFI?(1+cos9)=4b2,|PFj?|PFj=2b21+cos9所以SAPF1F2=1|PF|?|PFIsin0^212b2sin91+cos92b2sin99cos—22本題ZFPF=90。，則S=b2=9,易得b=3,故熟記橢圓焦點三角形PFF的12APF1F2129面積公式S=b2tan，對于求解選、填空題有著很大的優(yōu)勢.APF1F22x2y2變式1已知F,F是橢圓p+三-=1的兩個焦點，P為該橢圓上一點，且12169cosZFPF=，求AFPF的面積.TOC\o"1-5"\h\z121312變式2已知F,F是橢圓E:+y2=1的左、右焦點，P為橢圓E上一點，且\o"CurrentDocument"124ZFPF=60。，貝y點P到x軸的距離為.12x2y2例10.10已知橢圓一r+2=1的左、右焦點分別為F,F，P是橢圓上的一動點.4312(1)求的『件卜|PF|取值范圍;⑵求的PF1?PF2取值范圍；解析：⑵求的PF1?PF2取值范圍；解析：(1)|PF|?|PF|=|PF|?Ga-|PF|1故當(dāng)|PFI=a-c或a+c時，\PF卜|PF|當(dāng)|PF|=a時，(PF|?|PF|)2,a2l即所以PF?PFg2max=a2.)=-("」-)=-c2+a2=b2.maxa丄+a2，又|PFIgla-c,a+clPF?PFg22(2)解法~:2PFi-PF=PF2+PF2—122a2+(2)解法~:2PFi-PF=PF2+PF2—122a2+4b2=PF2+2a—+PF2即PF-PF=2PF12丨/Ia-a2+2b2又|PF|gla-c,a+cl故當(dāng)PF^=a時,F-PF=2b2—a2.12max當(dāng)|PFI=a—c或a+c時，Pf-PF，=c2—a2+2b2=b2.所以PF-PFgLb2—a2,b21即PF-PFgb,3].12122max解法二設(shè)P（xo,y。）,xoe[-a，aI則PF-PF=(—c—x，—y)?(c—x，—y)=x2+y2—c2=OP2—c2.12000000又OP12=x2+y2=x2+b2——x2=—x2+b2gb2,a21000a20a20故PF-PF=OP2一c2gLb2—a2,b2112評注：（1）若本題的第（1）問只求|PF^|-|PF|的最大值，則使用橢圓的定義求取更為簡潔;由橢圓定義知PF+PF=2a，又因為2a=|PFj+pFj>2』戶件|-|PFj，故有|PF|-|PF|Ja2，故『F卜『FJ的最大值為4.x2y2（2）通過本題的求解，可得到橢圓一+】=1（a>b>0）有以下重要結(jié)論:a2b2①|(zhì)PFIgL-c,a+c]②代卜lPF2Gb2,a212|I③PF-PF=OP2—c2g?b2—a2,b2」；12④cosZFPF④cosZFPF=122b2PFI-|PF122b2—1>—1(當(dāng)且僅當(dāng)|PF|=|PF|=a，即P為橢圓的短a212軸端點時，cosZFPF2取得最小值，且此時點P對兩個焦點的張角ZF1PF2最大）.以上結(jié)論在求解橢圓的焦點三角形問題時有重要的應(yīng)用，值得同學(xué)們熟記.x2y2變式1橢圓M:a2+b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為FF2，p為橢圓上任一點,且PF1-PF；的最大值的取值范圍是12,3c2」,其中c=,則橢圓M的離心率e的取值范圍（）A.[4,2A.[4,2]r1近[r1jB.C.——,1D.-,12212J12丿x2y2變式2設(shè)p是橢圓0+寧=1上一動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是左、右兩個焦點，則cos0PF；的最小值是（5-9-5-9-D1-9-CA.B.2x2y2變式3設(shè)橢圓02+右=1（a>b>°）的焦點為曾匚，P是橢圓上任一點，若"1PF22兀的最大值為丁，則此橢圓的離心率為有效訓(xùn)練題42（限時45分鐘）已知點MG-'3,0），橢圓才+y2=1與直線y=k\+⑶k豐0）交于A,B，則AABM的周長（）A.4B.8C.12D.16已知P為橢圓器+筈=1上的一點，M,N分別為圓（x+3》+y2=1和圓2516（x-3》+y2二4上的點，則PM+|PN|的最小值為（）A.B.C.D.A.B.C.D.x2y23?橢圓而+護1的焦點為F1，F(xiàn)2，橢圓上的點P滿足OPF廣600，則AF1PF2的面積是（）A.64爲(wèi)3A.64爲(wèi)3D.64T4.如圖10-4所示，橢圓中心在原點，F(xiàn)是左焦點，直線ac與BF交于D,且ZBDC=90°,則橢圓的離心率為()x25.若橢圓+A.3話-1B.則橢圓的離心率為()x25.若橢圓+A.3話-1B.丁y2=1的離心率emc.c.vT53f，則mx2y2若點O和點F分別為橢圓+2=1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則43OP-FP的最大值為()A.2B.3c.6D.8已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，若線段BF的延長線交C于點D，TOC\o"1-5"\h\z且BF=2FD，則C的離心率為.x2y2橢圓——+[=1(a>b>0)的左，右頂點分別是A,B，左、右焦點分別是F,F，若\o"CurrentDocument"a2b212\o"CurrentDocument"|AF|,|FF2|,|FB|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為.x2y29?橢圓丁+石=1上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m，則m當(dāng)取最大值時，點P的坐標(biāo)是.\o"CurrentDocument"x2y213\o"CurrentDocument"10.已知橢圓—+—=1(a>b>0)的離心率為〒，經(jīng)過點P(1,—)，a2b222求橢圓C的方程；設(shè)F是橢圓C的左焦點，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.x2y211.已知橢圓——+1=1(a>b>0)的長、短軸端點分別為A,B，從此橢圓上一點M，a2b2

(在X軸上方)向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F,AB//OM.1求橢圓的離心率e；設(shè)Q是橢圓上任意一點，F(xiàn),F分別是左、右焦點，求ZFQF的取值范圍.121212.已知橢圓C的中心在原點，一個焦點F(-2,0)，且長軸長與短軸長的比是2:^3，求橢圓C的方程；設(shè)點M(m，0)在橢圓C的長軸上，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)|mp|最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數(shù)m的取值范圍.例10．1變式1】解析由橢圓的定義知2a=從而a-解析由橢圓的定義知2a=從而a-5,c=3,b2=a2一c2=16又焦點在y軸上,y2x2故橢圓的方程為+礦1評注也可用待定系數(shù)法，設(shè)橢圓方程為乙+-=l(a>b>0)32+a2b32+a2b2求出a2二25,b2二16.【例10.1變式2】

解析解法一：若焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是蘭+二=l(a>b>0),左右焦點a2b2分別為F(-c,0),F(c,0)，則2a=1PFI+1PF1=2J5，所以a=5,在方程二+二=11212a2b2中，令x=±c，得IyI=冬=，又a=J5，所以b2=10，即橢圓的方程為a33x23y2y23x2y+話=1，同理可得焦點在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程十+帀=123解法二：設(shè)橢圓的兩個焦點分別為仆?23|PF|垂直于長軸.2510，于^是b2=a2—c2=-，332a=IPFI|PF|垂直于長軸.2510，于^是b2=a2—c2=-，331212故在RtKPFF中，(2c)2=IPF|2—IPFTOC\o"1-5"\h\z12123x23y2又所求的橢圓的焦點可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為丁+希=1或y23x2—+——=1\o"CurrentDocument"510?評注(1)用待定系數(shù)法求橢圓方程時，當(dāng)題目的條件不能確定橢圓的焦點位置時，應(yīng)注意分兩種情況來設(shè)方程，分別計算；有時也可以直接設(shè)成m+寧=1(m>0,n>0,m豐“)?2b2(2)過橢圓焦點與長軸垂直的直線截橢圓的弦叫作通徑，其長度為?a【例10.2變式1】解析如圖10-49所示，由題設(shè)知動圓P與圓B內(nèi)切，設(shè)動圓P和定圓B內(nèi)爭于點M動點P到定點A(—3,0)和圓心B(3,0)的距離之和等于圓B的半徑，即IPAI+IPBI=IPMI+IPBI=IBMI=8>6=IABI.所以點P的軌跡是以A，B為兩焦點，長半軸長為4,短半軸長為b=\'42-32=J7的橢圓，故其標(biāo)準(zhǔn)方程11x2y2為16+冷【例10.2變式2】解析依題意，兩定圓的圓心和半徑分別為O(—3,0),r=1,O(3,0),r=9，設(shè)動圓圓心1122M(x,y),半徑為R,則由題意可得IMOI二1+R,IMOI二9—R,故12IMOI+IMOI二10>IOOI1212由橢圓的定義知，M在以O(shè)1‘O2為焦點的橢圓上，且a=5,c=3，所以x2y2b2=a2—c2=25—9=16，故動圓圓心的軌跡方程為+石7=1.2516【例10.2變式3】解析如圖10-50所示，設(shè)動圓P的半徑為r，圓O的半徑為r，圓O的半徑為r，則1122IPOI=r一r,IPOI=r+r,IPOI+IPOI=r+r=4+2=6，11221212即a二3,b二、;a2一c2=-J5，x2y2從而軌跡方程為?+=1‘設(shè)點AB分別為圓q與圓O2的交點，又圓P在圓O1內(nèi),且在圓o夕卜，p點向右可無限靠近圓o與圓o的交點212TOC\o"1-5"\h\zf(x+2)2+y2=1633A,B，由f，解得x=，故x<，l(x—2》+y2=42P2x2y2X2yx2y2所以點P的軌跡方程為肓+~z~=1—3-x.9595k2丿95例10.3變式1】解析設(shè)橢圓方程為fl+=1(a>b>0)，如圖10-51所示,因為AABF的周長為IABI+IBFI+IAFI=IAFI+IAFI+IBFI+IBFI，2221212即4a=16，圖10-51圖10-51=1=11TOC\o"1-5"\h\z2c<2a2故a2=16，由e=■知，一二，即c2==8,2a22故b2=a2-c2=16-8=8,x2y2所以橢圓C的方程為弋+%=1.168【例10.3變式2】解析解法一：由e=，可得一=三-，則—=7，可得a2=5c2,5a5a25b2=a2-c2=4c2，設(shè)橢圓方程為二+二=1，將P(-5,4)代入，可得c2=95c24c2x2y2故橢圓的方程為站+36=1解法二：由題意e=解法二：由題意e=b2a2-c24故有==1一e2=a2a25a2故設(shè)橢圓方程為f+T=血>0)，又因橢圓過點卩(-5,4)，代入橢圓方程，可得“9x2y2x2y2故橢圓的方程為§+才=9，即45+36=「cLb2評注應(yīng)牢牢掌握與離心率e有關(guān)的幾個數(shù)量關(guān)系?在橢圓中，e==］：1--,aVa2b2-c'b2b2-=1-e2；在雙曲線中，e==、,1+，=e2-1.a2aa2a2【例10.3變式3】解析設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(m>0,n>0,m豐n),mn由題設(shè)得915由題設(shè)得915+、4m4nIm=9解得In=5x2y2故所求的方程為?+—=評注將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為Ax2+By2=1（A>0,B>0，且A主B），解方程組更方便.【例10．4變式1】解析由w+—1表示焦點在y軸上的橢圓，則〒>2，解得k&（0,1）.22kk【例10．4變式2】解析x2y解析x2y2把橢圓方程化為丁+1—1表示焦點在y軸上的橢圓o11>——nm>0，mnm>n>0，故選C【例10．4變式3】x2y2解析原方程標(biāo)準(zhǔn)化為一^+-8—15-mm-2因為焦點在x因為焦點在x上，所以>5-m>0，解得mge—2ce—2c所以e—需—1<2+1例10．5變式1】解析由題設(shè)可知|AF|—a-c,|FF|—2c,|BF|—a+c，1121故4c—a-c+a+c，即2c—a，c1所以e——.a2【例10．5變式2】bb解析因為/BAO+上BFO—9Oo，所以tanZSAO.ZSFO—1，即一x——1，得b2—ac，acc又a2—b2+c2，故a2—ac+c2，即c2+ac—a2—0，由e—可得e2+e—1—0，解得a舍去），所以e—【例10．6變式1】解析如圖10-52所示，不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為1根據(jù)橢圓定義知2a=IACI+IBCI=+1,1ABI—2c—1，

故橢圓的離心率為'2-1.例10．6變式2】解析因為AF垂直于x軸，所以礙碼W2=c故橢圓的離心率為'2-1.例10．6變式2】解析因為AF垂直于x軸，所以礙碼W2=c2，故|A>c，又IFFl=2c，所12以丨AF1=5c,22cFF2c245-12aAF+AF運c+c運+12112故選C．評注也可由IAFI=—=c直接去解e.1a【例10．6變式3】分析利用橢圓定義尋求a,b,c之間的關(guān)系，進一步求解離心率.解析已知F1（-c，o）,FGo），直線y"3（x+c）過點F1，且斜率為朽，所以傾斜角ZMFF=6Oo.12如圖10-53所示，因為ZMFF21=2午F2=300,所以ZFMF=9Oo，12所以=c,|MF|=J3c,由橢圓定義知|M^|+\MF^=c+、：3c=2a，2所以離心率e=a=刁f3—l例10．6變式4】解析由直線F1M與圓F2相切得MF1丄MFj又MF|=c,|FF|=2cFF1MF+MF=2c<3c+c=2c<3c+c=￡3-1，故選A.故|MF|=J3c，所以e=F12a例10．7變式1】解析解法一：因為滿足吧?叫=0的點M總在橢圓內(nèi)部’故以坐標(biāo)原點為圓心，c為半1J2徑的圓總在橢圓內(nèi)部，即c<b,c2<a2—c2,e2<—，得0ve<---.解法二：因為滿足M阿2=0的點M總在橢圓內(nèi)部，所以對于橢圓上任意一點P都有.900J2J2上FPF<90。,故最大頂角小于900,從而0vevsin—，即0<e<,故選C.12222r、評注：若橢圓上存在點P使得ZFPF—a（F1,F2為焦點，dw（0,兀）），則egsin二,11,1212L2丿厶?a）反之，eg0,sin=.I2丿【例10.8變式1】-3|PF|時，|PF|+PF-4PF-2a,解析當(dāng)故eg|2,11，經(jīng)驗證只有選項D符合，故選D.【例10.8變式2】解析解法一：在APFF中，由正弦定理得」^12PFI2IsinZPFFsinZPFF2112PF2PFJsinZPFF所以-sinZPFF21由結(jié)論知彳—vev1得?邁-1vev1，則該橢圓的離心率的取值范圍是-1,1）-+1e，則竹—1PF2sinZPFF解法二：依題意，所以1廠sinZPFF21「PFI2——一PF\-〕PF|+e|PF|-2a

|PF|-e|PF|v2c，故|PFJ-e|PF1|,JI?|+|pFJ-2aJ<I11，即\|PF|-|PF|v2ceg（0,1），所以巨-1vev1，該橢圓的離心率的取值范圍是（邁-1,1）=匕V2c-ene2+2c-1>0,又因為1+e2a例10.9變式1】解析解法一：由C0S"1PF2-PF12+PFI2-FF12?2PF1PF2PF+—i——-2|"JIWIFFJ

2|叫|pf2|4b2-2|PF2門IPf2「wrjPF2—2b2-1-春得IPF』PFJ-罟-13-1112S=PFllPFIsinZFPF=—x13x=6.APF1F22」2'"122135g解法二：設(shè)ZFPF=0，由一=cos0=2cos2—-113211302=，tan=—2cos20923COS2—212g9gcos2=,1+tan2=2132g=b2tan=6.2例10．9變式2】SAPF1F2解析如圖10-54所示，=m,PF2在APFF中，由余弦定理可得12=m2+n2一2mncos60o,12即(m+n)2-2mn-mn=12，解得mn=,3又s1APF1F22=—mnsin6Oo=mn='-,43所以2xIF1FJ|yp所以yp1，即點P到x軸的距離為3.評注：求點P到x軸的距離等價于求P點的縱坐標(biāo)的絕對值，又ZFPF12=60o，所以=丁'SAPF1F2=加噸=tan300=f，即2x吶xlyp=丁'在橢圓7—=1(a>b>0)中，焦點三角形的面積S=b2tan，其中g(shù)=ZFpF，a2b2APF1F2212請同學(xué)們記住這個結(jié)論．【例10.10變式1】解析設(shè)P(x,y),PF=(—c-x,-y),PF=(c-x,-y)，12c2PF?PF=x2+y2-c2=x2+b2-c2<b212a2因此Cf?PF)=b2，則c2<b2<3c2，得2c2<a2<4c2,12max即—<e<尋，故選B.

【例10．10變式2】解析由例10.10評注內(nèi)容中的結(jié)論可知，當(dāng)P為橢圓的短軸端點時，cosZFPF取得最122a2一4c29一4【例10．10變式2】解析由例10.10評注內(nèi)容中的結(jié)論可知，當(dāng)P為橢圓的短軸端點時，cosZFPF取得最122a2一4c29一41小值cosz嚴(yán)2二-20-二1-2e2二1-22丁一9故選C．【例10．10變式3】2兀解析由例10.10評注內(nèi)容中的結(jié)論可知，ZFPF=—123當(dāng)點P為橢圓的短軸端點時取c.兀得最大值，故e二匚二sin3二最有效訓(xùn)練421?B解析如圖10-55所示，直線y=k\x+?3丿過橢圓T+y2二1的左焦點為橢圓的右焦點，因此AABM的周長為4a=8，故選B.2.B解析兩圓心C，D恰為橢圓的焦點，所以|PC|+|PD=10，無論P位于橢圓上的何處，均有|PM|+|PN|的最小值為10-1-2=7，故選B.3.解析S